1、1,彈性力學(第13講),武漢理工大學工程結構與力學系 翟鵬程 ,2,一、曲梁的純彎曲,3,問題及其描述,矩形截面曲梁：內半徑為 a ，外半徑為 b ，在兩端受有大小相等而轉向相反的彎矩 M 作用（梁的厚度為單位1），O 為曲梁的曲率中心，兩端面間極角為。,取曲梁的曲率中心 O 為坐標的原點，并按圖示建立坐標系。,由于各截面上彎矩M相同，因而可假定各截面上應力相同，構成一軸對稱問題（對稱軸為 z 軸）。,應力分量,4,邊界條件, 自然滿足,（1）,（2）,將應力分量代入，有,（a）,（b）,注：此處為單連體問題，,（3）,端部：,（c）,（d）,由軸對稱問題應力分量式,將其代入式（c）,5,代

2、入式（c），有,代入式（d），有,（分部積分）,6,將其代入，有,整理，有,（d）,（a）,（b）,聯(lián)立求解式（a）（b）（d）,可求得：,7,其中：,將其代入應力分量式，有,（f）,其截面上的應力分布如圖：,8,討論：,（1）,（2）,中性軸（ ）距內側纖維較近，離外側較遠，中性軸不過截面形心。,（3）,與材料力學中比較：,關于截面不再成線性分布，而是成雙曲線分布。但在曲率不大時這種影響較小；,擠壓應力 實際不為零；,9,曲梁的位移,假定：,（4-13）,代入位移分量式（4-13），確定得,代回位移分量式（4-13），即得相應的位移分量。這里只給出環(huán)向位移：,10,將上式對變量 r 求導，得

3、,由上式可知： 當 一定時，曲梁截面任意徑向線段 dr 轉角都相同，即平面 保持平面。,表明：材力中純彎曲曲梁的平面保持平面假設是正確的。,11,問題：,圖示為帶有一微小張角a 缺口的圓環(huán)，若將此圓環(huán)焊成一整環(huán)，試求此時環(huán)內的內力矩 M 。,解：,要使該圓環(huán)焊成一整環(huán)，需在兩端加上一對平衡力矩 M 。,使其產生環(huán)向位移為：,由兩端受力偶作用時的環(huán)向位移計算式：,由前面系數(shù) B 的計算式：,代入應力分量式，可求出圓環(huán)中的裝配應力。,12,將其代入應力分量式,將1cm厚鋼板卷成直徑2m的圓筒，則a=1，b=1.01，最大應力發(fā)生在r=1.0處，為：,13,二、圓盤在勻速轉動中的應力與位移,14,由

4、問題的幾何形狀與外力（體力）均對稱于軸 O ，因而為軸對稱問題。,等厚度圓盤，半徑為 a ，均勻旋轉的角速度為，回轉軸為O ，圓盤的密度為，求：圓盤內的應力與位移。,問題的描述,圓盤內任一點具有加速度（徑向）：,圓盤內任一點具有慣性力（徑向）：,由此可見，該問題為一變體力的問題，體力分量為：, 沿 r 方向線性變化的體力,所以有：,15,平衡方程、相容方程與應力函數(shù),平衡方程：,（a）,將上式兩邊同乘以 r ,有,引入函數(shù) ，,使得：,（b）,這里也稱 為應力函數(shù)。, 應力分量計算式,（但不是常體力下的應力函數(shù) ）,16,相容方程：,（變形協(xié)調方程）,軸對稱問題的幾何方程為：,在式（c）中消去

5、位移分量，有：, 應變表示的變形協(xié)調方程（相容方程）,由平面應力情形下的物理方程：,代入上式，有,再將應力分量式（b）代入，并整理得,（d）,17,（d）,兩邊同除 r2,也可簡寫成：,將上式對 r 積分一次，得：,兩邊同乘以 r，并積分，得：, 應力函數(shù)表示的相容方程,應力函數(shù)：,18,再將應力函數(shù)代入應力分量式（b），有,（ e）,式中：A、B 為任意常數(shù)。由定解條件確定。,應力分量,應力有界條件：,對實心圓盤，為保證 r = 0 處應力的有界性，應?。?邊界條件：, 自動滿足,代入式（e），有,19,（ f）,最大應力點位于圓盤的中心：,位移分量,由幾何方程，可得：,（ g）,最大位移點位于圓盤的邊緣：,20,最大位移點位于圓盤的邊緣：,2. 變厚度圓盤,作為自學（一般了解）內容,21,鋼材、半徑10cm：,轉速1000r