1、目錄一正弦定理和余弦定理1二正余弦定理的應(yīng)用5三數(shù)列的概念與簡單表示法9四等差數(shù)列13五等比數(shù)列16六數(shù)列三大基礎(chǔ)題型總結(jié)19七不等式的性質(zhì)及解法27八均值不等式和簡單的線性規(guī)劃30課堂練習(xí)參考答案35 【知識(shí)要點(diǎn)歸納】一正弦定理和余弦定理 一、三角形中的邊角關(guān)系及公式 二、特殊三角形中的邊角關(guān)系及公式1. 直角三角形 2. 正三角形 三、正弦定理和余弦定理 正弦定理 公式 余弦定理 面積公式 【經(jīng)例 1：解下列三角形 （1）已知在DABC中，c = 10, A = 450 ,C = 300 , 求a,b和B （2）在DABC中，b =3, B = 600 , c = 1,求a和A, C （3

2、） DABC中，c =6, A = 450 , a = 2, 求b和B, C 第 5 頁 共 36 頁 例 2：解下列三角形 DABC 0 求 和 （1） 中，a = 2 3, c =6 +2,B = 45 ,bA 62（2） 已知DABC 中， A, B, C 的對(duì)邊分別為a, b, c 若a = c =+且A = 75 ，則b = （ ） 3A2B4 232C4 - 2D 6 -例 3：證明平行四邊形各邊平方和等于對(duì)角線平方和例 4：證明角平分線定理 2例 5：(2011 全國文 16)在DABC 中，D 為 BC 邊上一點(diǎn)， BC = 3BD , AD =, ADB = 135o .若

3、AC =2AB ,則 BD= 例 6：在DABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊長，a= BC 上的高. 3 ，b= 2 ，1 + 2 cos(B + C ) = 0 ，求邊 例 7：如圖，A,B,C,D 都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面 A 處測得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為750 ，300 ，于水面 C 處測得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角均為600 ，AC0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求 B，D 的距離 例 8：如圖，某市擬在長為 8km 的道路 OP 的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲

4、線段 OSM，該曲線段 3為函數(shù) y=Asinw x(A0, w 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S(3，2)；賽道的后一部分為折線段 MNP， 為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定 MNP=120 o （I） 求 A , w 的值和M，P 兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 MNP 最長？ 【課堂練習(xí)】 4 1(2011 北京理 9)在ABC 中，若 b5，B ，tanA2，則 sinA ；a _. yPxOB2.（2011 西城二模文 6）函數(shù) y = sin px(x R) 的部分圖象如圖所示，設(shè)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P 是圖象的最高點(diǎn)， B 是圖象與 x 軸的交點(diǎn)，則tan

5、 OPB = （ ） （A） 10（B）8 8（D） 4（C）77 3.（2011 福建文 14）若ABC 的面積為 3，BC2，C60，則邊 AB 的長度等于 4.（2011 湖北理 16）（本小題滿分 10 分）設(shè)DABC 的內(nèi)角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為a、b、c .已知a = 1 ， b = 2 ， cos C = 1 .（）求DABC 的周長；（）求cos(A - C) 的值. 4 【知識(shí)要點(diǎn)歸納】一正弦定理：二正余弦定理的應(yīng)用 ，變形公式有兩個(gè)，第一個(gè)是： ，功能是 二余弦定理：，第二個(gè)是：。 ，功能是 ，變形公式有一個(gè)：，功能是 三三角形內(nèi)角和定理是，變形公式有兩個(gè)，第一個(gè)是：

6、 ，第二個(gè)是： ，功能是 【經(jīng)典例題】例 1：在DABC 中，內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊長分別為a 、b 、c ， （1） 已知a2 - c2 = 2b ，且sin A cos C = 3 cos A sin C, 求 b （2） 2a sin A = (2b + c) sin B + (2c + b) sin C ，求 A 例 2：在DABC 中，內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊長分別為a 、b 、c ， （1）（2011 江西文 17） 3a cos A = c cos B + b cos C ，求cos A 的值 2b（2）（2011 遼寧文 17）asinAsinB+bcos2A=a求 a 例

7、3：根據(jù)已知條件，判斷下列三角形的形狀 （1）bcosAacosB（2）（a+b+c）(a+b-c)=3ab,且 2cosAsinB=sinc 例 4： ABC 中， A, B, C 所對(duì)的邊分別為a, b, c（1） 已知 sinBsinCcos2 A ，判斷三角形形狀 2第 9 頁 共 36 頁 （2） tan C =sin A + sin Bcos A + cos B, sin(B - A) = cos C .求 A, C 例 5： cos( A - C) + cos B = 3 , b 2 = ac ，求 B. 2例 6：（2011 湖南文 17）在ABC 中，角 A, B, C 所對(duì)

8、的邊分別為a, b, c 且滿足c sin A = a cos C. p（I）求角C 的大?。唬↖I）求 3 sin A - cos(B +) 的最大值，并求取得最大值時(shí)角 A, B 的大小 4 【課堂練習(xí)】1（.（2011 浙江文 5）在DABC 中，角 A, B, C 所對(duì)的邊分a, b, c 若a cos A = b sin B ，則sin A cos A + cos2 B =（ A-1）1B 22C- 1D12.（2011 重慶慶文文8)若的內(nèi)角 、 、 滿足,則（） (A)(B)(C)(D) 3. 在ABC 中，sinA=2cosBsinC，則三角形為奎屯 4.(2011 全國文 1

9、8) DABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為a、b、c . 己知a sin A + csin C -2a sin C = b sin B, ()求 B；（）若 A = 75 , b = 2, 求a c. 35.（2010 浙江文數(shù)）在 ABC 中，角A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，設(shè)S 為ABC 的面積，滿足 S 4222（a b c ）.（）求角 C 的大小;（）求 sinAsinB 的最大值. ACcos B1p 6.（2010 天津文數(shù)）在D ABC 中，=。（）證明 B=C：（）若cos A =- ，求 sin 4B + 的值。 ABcos C sin BcosB33 證明

10、：（）在ABC 中，由正弦定理及已知得 sin C=.于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0. cosC因?yàn)?p B - C p ，從而 B-C=0.所以 B=C. 【能力提高】1.（2011 全國理 16）在ABC 中， B = 60, AC =3 ，則 AB + 2BC 的最大值為 。 2.（2011 江西理 17）（本小題滿分 12 分）在DABC 中，角 A 、 B 、C 的對(duì)邊分別是 a ， b ， c ，已知 Csin C + cos C = 1 - sin . 2（1）求sin C 的值；（2）若a 2 + b 2 = 4(a + b) - 8 ，

11、求邊c 的值. 三數(shù)列的概念與簡單表示法 【知識(shí)要點(diǎn)歸納】1. 數(shù)列的概念：按照一定 排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的 .數(shù)列的第一項(xiàng)a1 也稱為 項(xiàng)， an 是數(shù)列的第 n 項(xiàng)，也叫數(shù)列的 項(xiàng)。如果數(shù)列an 的第 n 項(xiàng)an 與項(xiàng)數(shù) n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，即an = f (n) ，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的 .數(shù)列的通項(xiàng)公式 第 11 頁 共 36 頁 就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列an 中， Sn2. 數(shù)列的分類： = a1 + a 2 + + a n ，叫做數(shù)列a n 的 .分類原則 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)

12、與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an+1 an其 中 n N *遞減數(shù)列 an+1 an常數(shù)列 an+1 = an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù) M，使 an M擺動(dòng)數(shù)列 an 的符號(hào)正負(fù)相間，如 1，-1，1，-1， 從第 2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3. 數(shù)列的表示法：（1） 列表法 （2） 圖象法 （3） 解析法 4. 遞推公式an an an- 1如果已知數(shù)列的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。 ,(n = 1)5. 通項(xiàng)公式與前 n

13、 項(xiàng)和的關(guān)系式：對(duì)于任意數(shù)列a n ，都有a n 與Sn 的關(guān)系式an = , (n 2)成立。 【經(jīng)典例題】例 1：寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： 1 3 7 15 31 (2)(1)4, 6,8,10,2 4 8 16 3221017 2637(3) , -1, , - , , - ,379 1113(4)3, 33, 333, 3333,例 2已知數(shù)列a 對(duì)任意的 p，q N* 滿足a= a + a，且a = -6 ，那么a 等于（） ： A -165nB -33p+qpqC -30210D -21例 3：定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

14、數(shù)列叫 做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且 a1=2，公和為 5，那么 a18 的值為 ， 這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 的計(jì)算公式為。 31= a例 4：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1= 2, an2n+1an+2(n N*) .若a2 =, 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值（不 4需證明）;例 5：（2011 海淀二模文 13）已知數(shù)列an 滿足a1 = 1 且an = n(an+1 - an ) （ n N* ），則a2 = ；an = .2例 6：(2012 東城一模文 14) 已知數(shù)列a ， a= m ， m N* ， a an ,= 若an為

15、偶數(shù) a 中有 n1且只有5 個(gè)不同的數(shù)字，則m 的不同取值共有個(gè) n+1 n,a 為奇數(shù) a +1n 2n 例 7：（2011 西城一模文 14） 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)， Sn 為其前n 項(xiàng)和，對(duì)于n = 1, 2, 3, ，有 第 17 頁 共 36 頁 a= 3an + 5, an為奇數(shù)， ， 當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 ； 當(dāng) a1 時(shí)， a = 5a =n+1 ana 為偶數(shù).其中k為使a為奇數(shù)的正整數(shù) 311 2k ,nn+1S1 + S2 + S20 = _. a = n cos np例 8：（2012 福建文 11）數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 n2 ，其前n 項(xiàng)和為 sn ，則 s

16、2012 等于（ ） A1006B2012C503D0例 9：已知數(shù)列an 分別滿足下列關(guān)系式，求通項(xiàng)公式 ann（1） S = n2 + 3n +1; n（2） S = 2n2 + 3n;【課堂練習(xí)】1. 若數(shù)列的前四項(xiàng)為 1，0，1，0，則下列表達(dá)式不能作為該數(shù)列的通項(xiàng)公式的是（ ） A. a n1+ (-1)n+1=2B. a nsin2 np2npC. an = sinD. a n2= 1 - cosnp212. 已知數(shù)列an 滿足a = 0, an +1 =an -3 3an + 1(n N * ) ，則a20 =（） A0B -3C 3D 3223. 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 S

17、n=n -9n，則其通項(xiàng) an=；若它的第k 項(xiàng)滿足 5ak 0, S13 0, n =1,2,，且a a= 22n (n 3) ，則當(dāng)n 1時(shí)， nn52n-5log2 a1 + log2 a3 + log2 a2n-1 = ( ) A. n(2n -1)B. (n +1)2C. n2D. (n -1)2 例 5：求解下列問題（1） 公差不為零的等差數(shù)列an的前n 項(xiàng)和為 Sn .若a4 是a3a7 的等比中項(xiàng), S8 = 32 ,則 S10 等于（ ） A. 18B. 24C. 60D. 90 （2） 設(shè)s 為等比數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和， 8a + a = 0S5 =nn25則 S2( )

18、(A)-11(B)-8(C)5(D)11 例 6：設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n 項(xiàng)和為 80，前 2n 項(xiàng)和為 6560，且前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為 54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比 q。 例 7：設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的 4 倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)和的 9 倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0. 3,lg3=0.4) 【課堂練習(xí)】1.若等比數(shù)列 a n滿足 a an n+1=16n，則公比為( ) A2B4C8D16 2.若數(shù)列a 滿足： a = 1,a= 2a (n N * ) ，則a =；前 8 項(xiàng)的和

19、S =_. n1n+1n58n3. 已知a 是遞增等比數(shù)列， a2 = 2,a4 - a3 = 4 ，則此數(shù)列的公比q = 1S44. 設(shè)等比數(shù)列a 的公比q = ，前n 項(xiàng)和為 S ，則 4n2na= 5.設(shè)等比數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，若 S6 =3 ，則 S9 =( ) 3nnSS678（A） 2（B） 3 （C） 3 （D）3 6.設(shè) f (n) = 2 + 24 + 27 + 210 + 23n+10 (n N ) ，則 f (n) 等于（ ） 2A.(8n2B.(8n+12C.(8n+3-1)D 2(8n+4-1) -1)-1)77777.等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為

20、sn ，已知S1 , S3 , S2 成等差數(shù)列 （1）求 an 的公比 q； （2）求a1 a3 3，求sn 【知識(shí)要點(diǎn)歸納】六數(shù)列三大基礎(chǔ)題型總結(jié)方法 條件 公式、思路、等價(jià)轉(zhuǎn)換 公式法 疊加法 疊乘法 取倒數(shù)法 待定系數(shù)法 一證明數(shù)列是等差等比數(shù)列二求數(shù)列的通項(xiàng)公式三方法 適用數(shù)列類型 公式、思路 公式法 裂項(xiàng)相消法 錯(cuò)位相減法 【經(jīng)典例題】例 1：在數(shù)列a 中， a = 1， a= 2a + 2n 設(shè)b = an 證明：數(shù)列b 是等差數(shù)列； n1n+1nn2n-1n 第 25 頁 共 36 頁 例 2：已知數(shù)列a 滿足， a1a = 2, a+anan+*1, n N .令b = a-

21、 a ，證明：b 是等比數(shù)列； n1 2n22nn+1nn例 3：設(shè)數(shù)列an的前n 項(xiàng)和為 Sn , 已知a1 =1, Sn+1 = 4an + 2 ，證明數(shù)列an+1 - 2an 是等比數(shù)列 例 4：成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于 15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上 2、5、13 后成為等比數(shù)列bn 中的b3, b4, b5 (I) 求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式； (II) 數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和為 Sn ，求證：數(shù)列Sn +5 是等比數(shù)列。4例 5：已知an 是以 a 為首項(xiàng)，q 為公比的等比數(shù)列， Sn 為它的前 n 項(xiàng)和 （）當(dāng)S1 、 S3 、S4 成等差數(shù)列時(shí)，求 q 的值； （）當(dāng) Sm 、 S

22、n 、Sl 成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k， am + k 、 an + k 、al + k 也成等差數(shù)列 例 6： a 、 b 都是各項(xiàng)為正的數(shù)列，對(duì)任意的n N + ，都有a 、b 2 、a成等差數(shù)列， b 2 、a、b 2 成 nnnnn +1nn+1n+1等比數(shù)列.試問 bn 是否為等差數(shù)列，為什么？ 例 7:設(shè) Sn 為數(shù)列an的前n 項(xiàng)和，已知下列式子，求通項(xiàng)公式 n（1） S = kn2 + n ， n N * ，其中k 是常數(shù) n（2） S = 2n 2 + 3n + 1 （3） an = 5Sn +1 1n+1n（4） a = 1,a= 2S (n N + ) 例 8:（

23、2011 四川）數(shù)列an的前n 項(xiàng)和為Sn，若 a1=1，an+1 =3Sn（n 1），則 a6=( ) 4444 （A）3 4（B）3 4 +1（C）4（D）4 +1 例 9:已知an是一個(gè)公差大于 0 的等差數(shù)列，且滿足a3 a6 = 55, a2 + a7 = 16 ()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式： b1b2+ b3 +bn（）若數(shù)列a 和數(shù)列b 滿足等式： a +.(n為正整數(shù)) ， nnn222232 n求數(shù)列bn的前n 項(xiàng)和 Sn n1nn-1n例 10:已知數(shù)列a 滿足a = 1, a = 3n-1 + a(n 2) ，求ann+1n1n例 11:已知數(shù)列a滿足a2 = a 2 + n

24、 ，且a =1, a 0 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 例 12:已知a1 = 1, a n+ = 2n a ，求an1 。 nn+1nn+1 n例 13:設(shè)數(shù)列 a 是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n + 1)a2 - na 2 + aa = 0 （n=1,2,3），則它的通項(xiàng)公 式是an = 例 14:已知數(shù)列 a 中，其中a = 1,，且當(dāng) n2 時(shí)， a =an-1，求通項(xiàng)公式a 。 2a+ 1n1nnn-1 例 15:在數(shù)列 an 中， a1 = -1, a n+ = 2a + 4 3n-1 , 求通項(xiàng)公式an1 。 例 16：求和： 11 3+ 1 +2 413 51+ +； n(n + 2)

25、 1+ 1 + 1 + +1； 1 44 77 10(3n - 2)(3n + 1) 1+1+1+ +1. 2 + 13 +24 +3n + 1 +n例 17：數(shù)1列 , 21,2 + 312 + 3+ 4,12 + 3 + 4 + + (k +1),的前n 項(xiàng)和 Sn = 例 18：求數(shù)列：1,3 4,5 42 , , (2n -1) 4n-1 的前n 項(xiàng)和。 nnn例 19：(2009 山東卷文)等比數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ， 已知對(duì)任意的 n N + ，點(diǎn)(n, S ) ，均在函數(shù) y = bx + r(b 0 且b 1,b, r 均為常數(shù))的圖像上. （1）求 r 的值； （1

26、1）當(dāng) b=2 時(shí)，記 b =nn +1 (n N4an+ ) 求數(shù)列b 的前n 項(xiàng)和T nn例 20：（2009 全國卷理）在數(shù)列a 中， a =1, a= (1+ 1 )a + n +1 n1an（I） 設(shè)b =，求數(shù)列b 的通項(xiàng)公式 n+1nn2nnn n（II） 求數(shù)列an的前n 項(xiàng)和 Sn 【課堂練習(xí)】）1.在數(shù)列an中， a1 = 1， a2 = 2 ，且an+1 = (1+ q)an - qan-1 （ n 2, q 0 （）設(shè)bn = an+1 - an （ n N * ），證明bn是等比數(shù)列； （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）若a3 是a6 與a9 的等差中項(xiàng)，求q 的值，并

27、證明：對(duì)任意的n N * ， an 是an+3 與an+6 的等差中項(xiàng) 2. 數(shù)列an 中， a1 = 2 ， an+1 = an + cn （ c 是常數(shù)， n = 1，2，3，），且a1，a2，a3 成公比不為1 的等比數(shù)列 （I）求c 的值；（II）求an 的通項(xiàng)公式 3. 已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 Sn = 2n2 + 2n ，數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和Tn = 2 - bn（）求數(shù)列 與 的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng) n3 時(shí)， 2S = a- 2+ 14. 【2012 高考真題廣東理 19】（設(shè)數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，滿足n+1，nN,且a ，a +5， n n nn +

28、1 21a3 成等差數(shù)列 第 28 頁 共 36 頁 （1） 求 a1 的值； （2） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 有 （3） 證明：對(duì)一切正整數(shù) n，1 + 1 +1 3 . a1a2an2 Sn n)1.PnS1S2S2S3SnSn1Tnb1b2b2b3bnbn15. 設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a11，且 an2SnSn10(n2)， (1)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式； n(2) 設(shè) 1 ，b f( 1 記 ， ， fn2 試求 T ，并證明 P 1 nnb0,則ac 2 bc 2 . 1 1（2）若 ab,則. aab（3）若a . ab（4）若a b ab b 2 . ab（5）若

29、ab0,dc0,則 cd112233例 2：（2013 年高考北京卷（文）設(shè)a, b, c R ,且a b ,則（ ） A ac bcB bD a b ab 例 3：解下列不等式 （1） 3x2 - x - 4 0 ； 2 - 4x x +1（3） 3x2 - x + 4 0 ；（4） 4x2 - 4x +1 2x+1 （1） x2 + (1- a)x- a 0 （2） ax2 - (a +1)x+1 0的整數(shù)解的集合為-2，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為( ). 2x2 + (2k + 5)x + 5k 0 【課堂練習(xí)】 x + 51（2008 山東文）不等式(x -1)22 的解集是（ ） 1 1 1 1 A -3， B - ，3 C ，1 (1，3 D - ，1 (1，3 2 2 2 2 22 （2013 年高考江西卷（文）下列選項(xiàng)中,使不等式 x 0, b 0. 若 3是3a 與3b的等比中項(xiàng)，則1 + 1 的最小值為( ) ab1A 8B 4C 1D 4例 3：已知函數(shù) f (x) =x 2 + 3x - a(x a, a為非零常數(shù). （1） 解不等式 f (x) a 時(shí)，