1、1,第三章 數(shù)列,等差數(shù)列,第 講,2,（第一課時）,2,3,一、等差數(shù)列的判定與證明方法 1.定義法：. 2.等差中項法：. 3.通項公式法：. 4.前n項和公式法：.,an=kn+b,an-an-1=d (n2),an-1+an+1=2an (n2),Sn=an2+bn,4,二、等差數(shù)列的通項公式 1.原形結(jié)構(gòu)式：an=. 2.變形結(jié)構(gòu)式：an=am+(nm).,(n-m)d,a1+(n-1)d,5,三、等差數(shù)列的前n項和公式 1.原形結(jié)構(gòu)式：Sn=。 =. 2.二次函數(shù)型結(jié)構(gòu)式： Sn=.,an2+bn,6,完全免費,無需注冊,天天更新！,7,四、等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1.在等差數(shù)列an中

2、，若m+n=p+q,m、n、p、qN*,則. 2.若等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則an與S2n-1的關(guān)系式為；Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成. 五、a,b的等差中項為.,an=,am+an=ap+aq,等差數(shù)列,8,1.等差數(shù)列an中，已知 a2+a5=4, an=33，則n=( ) A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 由已知解得公差 再由通項公式得 解得n=50.故選C.,C,9,2.已知an是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8 =28，則該數(shù)列的前10項和S10等于( ) A. 64 B. 100 C. 110 D. 120 設數(shù)列an的公差為d, 則 2a1+d=4

3、 2a1+13d=28，解得 d=2. 故 故選B.,a1=1,B,10,3.設數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*),關(guān)于數(shù)列an有下列四個命題： 若an=an+1(nN*)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列； 若Sn=an2+bn(a,bR)，則an是等差數(shù)列； a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是 若an是等差數(shù)列，則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m (mN*)也成等差數(shù)列.,11,其中正確的命題是 (填上正確命題的序號). 中若數(shù)列各項為零時不滿足； 都是等差數(shù)列的性質(zhì).,12,題型1：a1，d，an，n，Sn中“知三求二”,13,14,15,【點評】：應用等差數(shù)列的通項公式，求出基本量，然后

4、利用求和公式求解,16,設等差數(shù)列an的首項a1及公差d都是整數(shù),前n項和為Sn. (1)若a11=0，S14=98,求數(shù)列an的通項公式； 由S14=98,得2a1+13d=14. 又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20. 因此，數(shù)列an的通項公式是an=22-2n, n=1,2,3,.,17,(2)若a16，a110，S1477， 求所有可能的數(shù)列an的通項公式. 由 S1477 a110 a16, 得 即 2a1+13d11 -2a1-20d0 -2a1-12 .,2a1+13d11,a1+10d0,a16,18,由+得-7d11,即 由+得13d-1,即 于是 又dZ，

5、故d=-1. 代入得10a112.又a1Z，故a1=11或a1=12. 所以，所有可能的數(shù)列an的通項公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,.,19,題型2：等差數(shù)列前n項和的應用 2. 已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-9n. (1)求證：an為等差數(shù)列； (1)證明：當n=1時，a1=S1=-8. 當n2時，an=Sn-Sn-1 =n2-9n-(n-1)2-9(n-1) =2n-10.,20,又n=1時，a1=-8也滿足此式. 所以an=2n-10(nN*). 又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2， 所以an為等差數(shù)列. (2)求Sn的最小值及相應n的值

6、； 因為 所以，當n=4或5時， Sn取最小值-20.,21,(3)記數(shù)列|an|的前n項和為Tn， 求Tn的表達式. 因為當n5時，an0; 當n6時，an0， 故當n5時，Tn=-Sn=9n-n2；,22,當n6時， Tn=|a1|+|a2|+|a5|+|a6|+|an| =-a1-a2-a5+a6+a7+an =Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40. 所以Tn= 9n-n2(n5) n2-9n+40(n6).,23,【點評】：公差不為零的等差數(shù)列的前n項的和是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0)，反之也成立.因為和式是二次函數(shù)，所以和式有最大值(或最小值)，求其最值可按二次

7、函數(shù)處理，不過需注意自變量n是正整數(shù).,24,設數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，且 求數(shù)列an的通項公式. 設等差數(shù)列an的公差為d. 由 及已知條件得 (3a1+3d)2=9(2a1+d)， 4a1+6d=4(2a1+d). ,25,由得d=2a1，代入有 解得a1=0或 當a1=0時，d=0(舍去). 因此， 故數(shù)列an的通項公式為,26,三星學科,教師助手,學生幫手,家長朋友！,27,設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S5=S13，且a10，求當n為何值時，Sn最大. 解法1：由S5=S13， 得 所以 所以 因為a10，所以當n=9時，Sn取最大值.,參考題,28,解法2：因為S5=S13， 所以5a1+10d=13a1+78d， 所以 所以由 解得8.5n9.5. 又nN*，所以n=9時，Sn最大.,29,解法3：因為S5=S13， 所以S13-S5=0， 即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0. 又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10， 所以a9+a10=0. 又a10，所以a90，a100. 故當n=9時，Sn最大.,30,1. 由五個量a1、d、n、an、Sn中的三個量可求出其余兩個量，即“知三求二”.要求選用公式恰當，即能減少運算量