1、2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,1,排列、組合和二項定理,2020年9月6日星期日,解排列組合問題的幾種基本方法,（2課時）,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,2,解決排列組合綜合性問題的一般過程如下: 1.認真審題,弄清要做什么事情 2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，確定分幾步，及分多少類，做到不重不漏 3.確定每一步（每一類）是排列問題(有序)還是組合(無序)問題，或者是非排列組合問題. 4.解決排列組合綜合性問題，還必須掌握一些常用的解題策略：,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,3,一、特殊優(yōu)先原則 在有限制的問題中，優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置,四大原

2、則：,二、先取后排原則 先取后排原則也是解排列組合問題的總原則，尤其是排列與組合的綜合問題,三、正難則反原則 若從正面直接解決問題有困難時，則考慮排除法：先不管約束條件， 求出總數(shù)，再剔除不合要求的部分,四、模型針對原則 有些特殊類型的排列、組合問題有著特定的應對策略.,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,4,第1課時,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,5,例1 . 7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？, ,解：分兩步進行：, ,幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊元素插空.,第1步，把除甲乙外的一般人排列：,第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空)：

3、, ,解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.,1、插空法：,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,6,練習：一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個 獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出 場順序有多少種？,插空法：,解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共 有 種，,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,7,相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當成“一個”元素，然后再進行整體排列.,2.捆綁法,例2 . 6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?, ,解：（1）分兩步進行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列(

4、捆綁)：,第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：, ,幾個元素必須相鄰時,先捆綁成一個元素，再與其它的進行排列.,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,8,練習： 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種 960種 （B）840種 （C）720種 （D）600種,捆綁法,解：,另解：,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,9,例3.5個人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？,幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.,3.消序法(留空法),解法1

5、：將5個人依次站成一排，有,解法2：先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好，有,種站法，,然后再消去甲乙之間的順序數(shù),甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法,甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,10,消序法(留空法),練習 7人排隊,其中甲乙丙3人順序排列，一定 共有多少不同的排法？,解:,（1）對于某幾個元素順序一定的排列問題,可 先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然 后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù), 則共有不同排法種數(shù)是：,（2）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就 坐共有 種方法，其余的三個位置甲乙丙

6、共 有 種坐法，則共有 種 方法。,1,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,11,n個 相同小球放入m(mn)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.,例4. 某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4 班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有_種.,4.剪截法（隔板法）：,解： 問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.,將16個小球串成一串，截為4段有,種截斷法，對應放到4個盒子里.,因此，不同的分配方案共有455種 .,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)

7、修,12,剪截法（隔板法）：,練習 高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?,解 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的隔板,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.,分析 此題若直接去考慮的話,就會比較復雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結(jié)果容易理解.,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,13,鞏固練習（一）,4、10個相同的小球放到3個不同的盒中，每個盒不空，一共有種不同的

8、放法？,1、學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？,2、5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?,3、期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序?,鞏固練習（二）課本P27 習題1.2 4、5、6、7,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,14,這節(jié)課我們學習了解決排列、組合問題的一些常用方法：插孔法、捆綁法、消序法(留空法)、剪截法（隔板法）。,小結(jié),2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,15,第2課時,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,16,編號

9、為1至n的n個小球放入編號為1到 n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.,5.錯位法：,特別當n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.,例5. 編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有_種.,解： 選取編號相同的兩組球和盒子的方法有,種,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.,故所求方法有159135種.,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,17,練習 設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2 3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五 個盒子內(nèi),要求每個盒

10、子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,. 有多少投法？,解：從5個球中取出2個與盒子對號有_種 還剩下3球3盒序號不能對應，錯位排列 有2種方法。(枚舉法),錯位法：,由分步計數(shù)原理有,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,18,6.剔除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.,例6. 從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有_條.,解：所有這樣的直線共有 條，,其中不過原點的直線有 條，,所得的經(jīng)過坐標原點的直線有210-18030條.,排列組合應用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍.,2020/9/6,麻城實驗高中 鮑業(yè)修,19,練習 某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?,解 43人中任抽5人的方法有 種,正副班長,團支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有 種.,分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問