1、姓名：蘇章燕 學(xué)號(hào)：201102024002 班級(jí)：師范1班 分類思想摘要：分類討論的問題在這學(xué)期做高考題和中考題過程中，很多題上面都有體現(xiàn)。是在問題的解答出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無法深入時(shí)，我們往往把可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論，得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種思想方法就是分類的思想。關(guān)鍵詞：分類討論、函數(shù)、例題、集合分類一、 分類要素分類的思想運(yùn)用到每個(gè)具體數(shù)學(xué)問題中都有三個(gè)基本內(nèi)容，即分類三要素，在分類的合定義中，三要素就是全集，子集和子集的分類根據(jù)。分類的邏輯定義中，三要素是母項(xiàng)，子項(xiàng)和分類標(biāo)準(zhǔn)。二、 分類的規(guī)則在問題討論前，首先應(yīng)弄清楚我們所研究對(duì)象的范圍，即全集。分類就要在這個(gè)特定范

2、圍內(nèi)進(jìn)行，要防止在全集不明確的情況下或全集外進(jìn)行討論。 每次分類都必須以同一本質(zhì)屬性為標(biāo)準(zhǔn)，被分概念或集合有若干本質(zhì)屬性，確定某一個(gè)作為分類標(biāo)準(zhǔn)。那么在分類過程中就要始終使用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。同一次討論中標(biāo)準(zhǔn)只能是一個(gè)。如實(shí)數(shù)在討論絕對(duì)值時(shí)，可分為整數(shù)、負(fù)數(shù)和零；在討論其他性質(zhì)和運(yùn)算時(shí)可分為有理數(shù)與無理數(shù)。又如函數(shù)按自變量個(gè)數(shù)可分為一元函數(shù)、二元函數(shù)乃至多元函數(shù)；按單調(diào)性可分為增函數(shù)、減函數(shù)和非單調(diào)函數(shù)（在某一區(qū)間內(nèi)）；按定義域可分為在r上都有意義的函數(shù)與定義域不是r的函數(shù)；按奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)（在定義域內(nèi)）；按屬性可分為代數(shù)函數(shù)和超級(jí)函數(shù)。諸如此類，按不同標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類。

3、分類的完整性，把集合a分為a1、a2、an等n個(gè)子集的分類，集合a應(yīng)是這n個(gè)子集的并集，集合的每一個(gè)元素都屬于且僅屬于其中的一個(gè)子集，分類時(shí)必須防止遺漏，如把角分為第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一個(gè)完整的分類，因?yàn)榻K邊落在坐標(biāo)軸上的角就不在其中。 分類的互斥性，分類中分成的各部分必須是互相排斥的，即分類中各個(gè)子集的交集是空集，如平面幾何中把三角形分為銳角三角形、等腰三角形的分類就是不正確的分類，因?yàn)榇嬖谥妊J角三角形，這是由于破壞了分類的互斥性。 分類的逐級(jí)性，被分概念必須分成與它最鄰近的概念。有些問題必須要連續(xù)分類，這就要求嚴(yán)格按層次逐級(jí)進(jìn)行劃分、討論。 分類的種類

4、，人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)有一個(gè)由現(xiàn)象到本質(zhì)逐步深化的無線過程，因此分類也有一個(gè)從現(xiàn)象分類到本質(zhì)這樣一個(gè)逐步深化的過程。 現(xiàn)象分類就是根據(jù)事物的外部標(biāo)志或外部聯(lián)系所進(jìn)行的分類，這種分類往往會(huì)把本質(zhì)上相同的事物分為不同的類別，而把本質(zhì)上不相同的事物歸為同一類別。如平面幾何中多邊形按邊數(shù)分類就是一個(gè)現(xiàn)象分類，因?yàn)橥苟嘧冃魏桶级噙呅渭词惯厰?shù)相同其性質(zhì)也大相徑庭，而正多邊形（不管它邊數(shù)多少）都具有很多共性，它們本質(zhì)上是相同的。 本質(zhì)分類就是根據(jù)事物的本質(zhì)特征或內(nèi)部聯(lián)系所進(jìn)行的分類，本質(zhì)分類能夠揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律，如含角的三角函數(shù)的絕對(duì)值，用零點(diǎn)分段法對(duì)角進(jìn)行的分類就屬于本質(zhì)分類。 分類方法的解題步驟，確定

5、分類標(biāo)準(zhǔn)，這就是要運(yùn)用辯證的邏輯思維，對(duì)具體事物作具體分析，從表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)的相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征，只有這樣才能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義的分類。 恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，在確定分類標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，遵守分類的五條規(guī)則，對(duì)所討論的問題恰當(dāng)?shù)胤诸?，問題能否順利討論的關(guān)鍵是對(duì)所討論對(duì)象進(jìn)行正確的分類。 逐類討論，根據(jù)分好的各類情況，逐類地加以研究，深入進(jìn)行討論，分門別類逐一把問題解決。 歸納結(jié)論，對(duì)分類討論的結(jié)果進(jìn)行綜合整理，歸納出問題的最終結(jié)論。問題分類討論的結(jié)論有時(shí)可表述為統(tǒng)一的形式，有時(shí)則需分類陳訴，從而使問題得到完善解答。 眾多的數(shù)學(xué)概念都對(duì)其中的量有各種

6、要求和限制這是我們運(yùn)用分類思想解決有關(guān)問題首先要考慮的因素，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值定義為絕對(duì)值的概念本身就是分段表訴的，即用分類的方法定義的，因此含代數(shù)式的絕對(duì)值問題均可用分類思想解決，含絕對(duì)值問題的分類方法具體說就是零點(diǎn)分段法：令絕對(duì)值（不管幾個(gè)）中含代數(shù)式其值為零，找出其（一個(gè)或多個(gè)）零點(diǎn)，用這些零點(diǎn)把實(shí)數(shù)分成若干個(gè)小區(qū)間，利用在每個(gè)小區(qū)間所有絕對(duì)值中代數(shù)式符號(hào)都具有保號(hào)性，就可以根據(jù)絕對(duì)值得定義和絕對(duì)值中代數(shù)式的保號(hào)性把絕對(duì)值符號(hào)脫去，從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問題，使該問題得到解決。三、 例題1、解不等式分析：不等式含的絕對(duì)值中各代數(shù)式的零點(diǎn)分別為：-2、1、-1、3.因此可將實(shí)數(shù)分為這五個(gè)小區(qū)間，

7、分別討論，分類求解。解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋嚎紤]到大前提 （2）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)榭紤]到大前提無解。（3）當(dāng)時(shí)，。原不等式變?yōu)闊o解。（4）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)??？紤]到大前提。綜上，原不等式的解為。利用零點(diǎn)分段法脫去絕對(duì)值符號(hào)，要注意零點(diǎn)若有意義，千萬不要漏掉。復(fù)數(shù)概念引起的分類也是常常遇到的。復(fù)數(shù)（）的三角形式，它有四項(xiàng)要求：（1）;(2) 實(shí)數(shù)與虛部即正余弦函數(shù)中的角必須相同；（3）前面實(shí)部必須是余弦，后面虛部必須是正弦；（4）與中間必須是加號(hào)。不滿足以上任何一條的形式均不是三角式。2、求復(fù)數(shù)：的三角形式。分析：由于。這個(gè)形式是否是三角形式取決于的符號(hào)，因此要按的符號(hào)分類討論。解：（1）

8、 若（2） 若，即，；（3） 若，即指數(shù)概念也會(huì)引起分類的要求，因?yàn)榱阒笖?shù)定義為：，涉及到冪等于1的問題，就需要考慮底數(shù)為零與不為零兩種情況。3、解方程解：（1）若；（2）若，。綜上，方程的解集為對(duì)數(shù)比較大小問題取決于底數(shù)與對(duì)數(shù)的大小關(guān)系。因?yàn)楫?dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，對(duì)數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，對(duì)數(shù)時(shí)間函數(shù)。因此，這類問題就要按底數(shù)與1的大小關(guān)系分類討論。4、求的值。分析：分母=。因?yàn)椋紤]，所以的零點(diǎn)就只有了。從而可以對(duì)與兩種情況分別去掉絕對(duì)值符號(hào)后再求極限，若這兩個(gè)極限（即左右極限）值相等，其公共值就是原極限；若左右極限不相等，則原極限不存在。解:(1) .;(2) ,不存在。四、其它類型

9、的分類討論 圖形相對(duì)位置的變化引起的分類，在許多涉及圖形的問題中，由于圖形相對(duì)位置的變化產(chǎn)生了各種不同的情況，就需要用分類的思想按各種圖形中由角大小引起的分類是最常見到的。 命題隱含了多種情況引起的分類，對(duì)于命題條件隱含了多種情況且相應(yīng)的處理方法不同問題，就可按不同的情況分別考慮，即采取化整為零，各個(gè)擊破的解題思路。當(dāng)命題條件直接蘊(yùn)含了多種情況時(shí)，由命題條件推導(dǎo)結(jié)論必須按多種情況分別予以討論。 判斷結(jié)果不具備唯一引起的分類，解題中，對(duì)于判斷結(jié)果不具備唯一性，即結(jié)論必須用分段形式敘述的問題和所研究對(duì)象的全體不宜用同一方法處理的問題，我們常常要進(jìn)行分段討論。 解題中分類討論是為了適應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論的限制

10、而采取的化整為零分而治之的手段。數(shù)學(xué)定義、定理、公式、法則等是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)，而每一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的成立都有一定的條件，適用于一定的范圍，這個(gè)范圍或條件就成了它們的限制。當(dāng)解題過程中的變換需要突破這個(gè)限制時(shí)，就必須將所涉及的區(qū)域劃分成若干個(gè)小區(qū)域，分別處理。這時(shí)就是對(duì)問題進(jìn)行分類，從而按各個(gè)區(qū)域進(jìn)行討論。問題參數(shù)在不同范圍內(nèi)變化時(shí)，也常會(huì)引起問題的結(jié)果不唯一，這時(shí)就要對(duì)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行分類討論。四、小結(jié) 在可分類解決與不可不通過分類解決時(shí)，不分類解題更能抓住實(shí)質(zhì)，使問題解決簡(jiǎn)化。 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和良好的邏輯素養(yǎng)是成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)分類的基礎(chǔ)。我們平時(shí)解題中就要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，邏輯推理過程的每一步都必須有充足的跟根據(jù)，要能及時(shí)發(fā)現(xiàn)推理中的問題，注意采取相應(yīng)的分類討論來彌補(bǔ)不足，還要具備一定的邏輯素養(yǎng)，明確導(dǎo)致分類討論的動(dòng)因抓住引起討論的本質(zhì)因素，對(duì)涉及到的基礎(chǔ)知識(shí)有清晰的理解和善于具體情況具體分析是分類的前提?；靖拍畈磺宄?、基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，討論就不可能有明確的目的和根據(jù)，就必然導(dǎo)致各種錯(cuò)誤。 許多重要的數(shù)學(xué)方法都是以分類思想作為基礎(chǔ)的，如排除法就是以分類思想為基礎(chǔ)的一種方法，枚舉歸納法（要證一個(gè)有多種可能情況的命題，