1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,深圳大學(xué) 信息工程學(xué)院 康莉 2020/9/3,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 方差的性質(zhì) 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 矩,問題：在一些實際問題中，有時不需要去全面考察隨機變量全面的統(tǒng)計特性，只需要了解隨機變量的某些特征。這些數(shù)值化特征，能定量地描述變量，直觀、簡單，非常有用。,常用的數(shù)字特征有： 數(shù)學(xué)期望 方差 相關(guān)系數(shù) 矩,e.g. 對某班學(xué)生成績的評價，我們關(guān)心的是平均成績，而不是每個人的成績。,本章重點： 理解每個數(shù)字特征的意義，計算方法及它們之間的相互關(guān)系。,1 數(shù)學(xué)期望, 一個例子： 一個射手打靶有三個得分

2、數(shù)：2分、1分、0分。該射手一次射擊得分?jǐn)?shù)為隨機變量X。其分布律為 PX=k=pk, k=0,1,2 現(xiàn)射擊N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次，a0+a1+a2=N. 因此，,平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為：, 數(shù)學(xué)期望的一般定義 一、 離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望： X的分布律為,例1 甲、乙兩人進行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別為X1, X2，它們的分布律分別如下。試評價他們成績的好壞。 解：容易計算出 因期望表示一次射擊的平均得分，因此乙的成績遠(yuǎn)不如甲的成績。,二、連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望： X的概率密度為f(x)，若積分 絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即

3、 數(shù)學(xué)期望也簡稱期望或均值。 并且因E(X)完全由X的概率分布決定，因此也稱E(X)是這一分布的數(shù)學(xué)期望。,例2 某醫(yī)院根據(jù)嬰兒的膚色、肌肉彈性、反應(yīng)敏感性、心臟搏動等情況對新生兒誕生進行評分，得分X是一個隨機變量，據(jù)以往資料，其分布律如下。求X的數(shù)學(xué)期望E(X).,解：, 五種重要分布的期望,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)，其中g(shù)是連續(xù)函數(shù)，則1、X是離散型隨機變量，它的分布律為PX=xk=pk, k=1,2, 若 絕對收斂，則2、X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)。若,注1：以上兩式說明不需要求出Y的分布就能計算出它的分布。注2：上述定理可推廣

4、到兩個及以上隨機變量函數(shù)情形.3、 Z=g(X,Y) （X,Y）,概率密度為f(x,y)，g是連續(xù)函數(shù)，則Z是一維隨機變量，有：若(X,Y)為離散型的，其分布律為,例3 設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度如下，求數(shù)學(xué)期望E(Y), E(1/XY),解：,四、 數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì) 設(shè)C是常數(shù)； X, Y是隨機變量 1、 E(C)=C 2、 E(CX)=CE(X) 3、 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、若X,Y是相互獨立的隨機變量，則 E(XY)=E(X)E(Y),例4 甲車到站8：009：00，隨機，乙車到站9：0010：00，隨機。甲乙車到站時間相互獨立。一旅客8：00到站和8：20到站，求候車的期望。哪種情況更省時間？,解：設(shè)候車時間分別為X和Y（分），分布律分別為：,例5 有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命X1，X2都服從同一指數(shù)分布，其概率密度如下。若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機，求整機壽命N的數(shù)學(xué)期望。,解：問題轉(zhuǎn)化為求 的壽命的數(shù)學(xué)期望,例10 一車有2