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1、證明: (反證) 設(shè)a1，a2，am線性相關(guān)，則其中至少有一向量可由其余向 量線性表示，不妨設(shè)a1可由a2，am線性表示，即有一組數(shù) k2，km，使 a1k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam) = (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 這與(a1 , a1)0矛盾，所以a1，a2，am線性無(wú)關(guān).,定理1 正交向量組是線性無(wú)關(guān)的向量組.,下頁(yè),2.8 向量組的正交化,定理2 對(duì)于線性無(wú)關(guān)的向量組a1,a2,am，令,則向量組b1,b2,bm是正交向量組.,下頁(yè),施密

2、特正交化方法,另外：很明顯，向量組a1,a2,am可由向量組b1,b2,bm線性 表示.,下頁(yè),由此可知，若向量組a1,a2,am為AX=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則向 量組b1,b2,bm也為AX=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,向量組b1,b2,bm也可由向量組a1,a2,am線性表示，因?yàn)椋?例1已知向量組a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T, 線性無(wú)關(guān)，試將它們正交化、標(biāo)準(zhǔn)化.,解:(1)先利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令,b1=a1=(1, 1, 1, 1)T,=(3, 3, -1, -1)T,=(2, 2, -2, -2)T,=(-1, 1, -1, 1)T,(1, 1, 1, 1)T,此時(shí) b1, b2, b3 為正交組.,下頁(yè),(2)再將正交化后的向量組標(biāo)準(zhǔn)化，即令,此時(shí) 1,2,3 即為所求標(biāo)準(zhǔn)正交組.,說(shuō)明：求標(biāo)準(zhǔn)正交組的

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