1、3.2 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,一、二維隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望及方差,1. 二維隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望,2) 若（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為,注 1) 若(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為：,2.二維隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,隨機(jī)變量），有：,定理1 設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)向量，則隨機(jī)變量,是二維隨機(jī)向量（X,Y）的函數(shù)，,1)若(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為：,，,2）若（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為,設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)向量，則,3.二維隨機(jī)向量的方差,若(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為：, 若(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,例1 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量，其聯(lián)合密度函數(shù)為,求EX，EY，DY，DX，E(X+Y)，E(X

2、Y)。,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y獨(dú)立,2. 設(shè)X、Y 獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,1. E(X1X2) = E(X1)E(X2);,（諸Xi獨(dú)立時(shí)）,3. 若X1與X2 獨(dú)立，則,可推廣為：若X1, X2, , Xn相互獨(dú)立,則,D(X1X2)= D(X1)+D(X2);,X1 與X2不一定獨(dú)立時(shí)， D(X1 +X2 )=？ 請(qǐng)思考,二、二維隨機(jī)向量和、積的數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì),例2 把數(shù)字1,2,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱(chēng)為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,由于 E(Xk)=1P(Xk =1),解: 設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,

3、k=1,2, ,n,則,故,引入,例3 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為,判定X與Y是否相互獨(dú)立?,(2) E(XY)與EXEY相等嗎?,例4 設(shè)隨機(jī)變量X服從0,1上的均勻分布，隨機(jī),立,求E(XY)及D(XY)。,變量Y服從1,3上的均勻分布，且X與Y相互獨(dú),例3、4說(shuō)明： 若EXY=EXEY，并不能得到X與,必有D(XY)=DXDY.,Y相互獨(dú)立的結(jié)果。且若X與Y相互獨(dú)立，未,前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)向量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是下面要討論的,三、二維隨機(jī)向量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),定義2 設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且EX，EY均,的協(xié)方差

4、，記作,（一）協(xié)方差,1.基本概念,2.簡(jiǎn)單性質(zhì),a , b是常數(shù),3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得,即,可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)立，則,定理2 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則,是不相關(guān)的。否則稱(chēng)X與Y有(線性)相關(guān)關(guān)系.,4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,若 兩兩獨(dú)立,，上式化為,例5 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),獨(dú)立？X與Y是否線性相關(guān)？,(2,0),(0,2)四個(gè)點(diǎn)，試判斷X與Y是否相互,例6 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：,試判斷：X與Y是否相互獨(dú)立？X與Y是否線性,相關(guān)？,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系

5、，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：,為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù) .,(二) 相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù) .,定義4 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,它們的方差D(X),在不致引起混淆時(shí)，記 為 .,D(Y)存在,且D(X)0, D(Y)0,稱(chēng),證明: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)k,有,D(Y-kX)= k2DX+DY-2k Cov (X,Y )0,則,這是一個(gè)關(guān)于k的一個(gè)二次多項(xiàng)式,則必有,即,故,注 X和Y獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真.,故,= 0,由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，,定理4 如果隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的線性函數(shù)，,即,從上述定理可以知道：相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y,是描述隨機(jī)變量X與Y之間線性相關(guān)程度,當(dāng),X與Y之間具有完全的線性相關(guān).且,稱(chēng)X 與Y 之間存在正相關(guān)關(guān)系，當(dāng),越接近1,認(rèn)為X 與Y 的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，,稱(chēng)X 與Y 之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，當(dāng),程度較弱。,注意: 相關(guān)系數(shù)是隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱,的一個(gè)度量(參見(jiàn)如下的示意圖).,N(0,16)，且X與Y的相關(guān)系數(shù)