1、2.3.2雙曲線的簡單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的簡單性質(zhì)(對稱性、范圍、頂點(diǎn)、實(shí)軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中 a，b，c，e 間的關(guān)系.4.能用雙曲線的簡單性質(zhì)解決一些簡單問題.知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的簡單性質(zhì)思考類比橢圓的簡單性質(zhì)，結(jié)合圖像，你能得到雙曲線1(a0，b0)的哪些性質(zhì)？答案范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線.梳理標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e

2、，e(1，)知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的離心率思考1如何求雙曲線的漸近線方程？答案將方程1(a0，b0)右邊的“1”換成“0”，即由0得0，如圖，作直線0，在雙曲線1的各支向外延伸時(shí)，與兩直線逐漸接近，把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.思考2橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖像的一個(gè)重要特征，怎樣描述雙曲線的“張口”大小呢？答案雙曲線1的各支向外延伸逐漸接近漸近線，所以雙曲線的“張口”大小取決于的值，設(shè)e，則.當(dāng)e的值逐漸增大時(shí)，的值增大，雙曲線的“張口”逐漸增大.梳理雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫作雙曲線的離心率，其取值范圍是(1，).e越大，雙曲線的張口越大.

3、知識(shí)點(diǎn)三雙曲線的相關(guān)概念1.雙曲線的對稱中心叫作雙曲線的中心.2.實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，它的漸近線是yx.類型一由雙曲線方程研究其性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.解將9y24x236變形為1，即1，所以a3，b2，c，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，(3，0)；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)；實(shí)軸長是2a6，虛軸長是2b4；離心率e；漸近線方程為yxx.反思與感悟由雙曲線的方程研究其性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類問題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c值，從而寫

4、出雙曲線的簡單性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長a4，虛半軸長b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0，5)；離心率e；漸近線方程為yx.類型二由雙曲線的簡單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)虛軸長為12，離心率為；(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為yx；(3)求與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，2)的雙曲線方程.解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，b0).由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1

5、或1.(2)設(shè)以yx為漸近線的雙曲線方程為(0).當(dāng)0時(shí)，a24，2a26；當(dāng)0時(shí)，a29，2a261.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(3)設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2(0).將點(diǎn)(2，2)代入雙曲線方程，得(2)22，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟確定或分類討論雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)已知條件或簡單性質(zhì)列方程，求待定系數(shù)；求出a，b，寫出方程.(2)與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b20)，則c210k，b2c2a2k.設(shè)所求雙曲線方程為1或1.將(3，9)代入，得k161，與k0矛盾，無解；將(3，9)代入，

6、得k9.故所求雙曲線方程為1.(3)方法一雙曲線的漸近線方程為yx，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.聯(lián)立，無解.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為y2(0).A(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.類型三與雙曲線有關(guān)的離心率問題命題角度1求雙曲線離心率的值例3設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3

7、b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3答案B解析考慮雙曲線的對稱性，不妨設(shè)P在右支上，則|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，兩式等號(hào)左右兩邊平方后相減，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(負(fù)值舍去).該雙曲線的離心率e .引申探究例3條件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改為“若PF1PF2，且PF1F230”，結(jié)果如何？解作出滿足題意的幾何圖形(如圖)，利用PF1PF2及PF1F230，求出a，c的關(guān)系式.設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上.PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|

8、c.又點(diǎn)P在雙曲線的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思與感悟求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出a，c，再計(jì)算e.(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程，求出后，利用e 求解.跟蹤訓(xùn)練3雙曲線1(0ab)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c.求雙曲線的離心率.解依題意，直線l：bxayab0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030，解得或3.又0a0)與直線l：xy1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)

9、A，B，求雙曲線C的離心率的取值范圍.解由C與l相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，知方程組有兩組不同的實(shí)根，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且e.即離心率e的取值范圍為(，)(，).反思與感悟求離心率的取值范圍技巧(1)根據(jù)條件建立a，b，c的不等式.(2)通過解不等式得或的取值范圍，求得離心率的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練4已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a，b0)的左，右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A.(1，) B.(1，)C.(1，1) D.(1，)答案B解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形，又直線AB與x

10、軸垂直，所以|AF2|BF2|，故AF2B為鈍角.所以有2c，即2acc2a2，解得e(1，).故選B.1.雙曲線y21與橢圓1的()A.焦點(diǎn)相同 B.頂點(diǎn)相同C.實(shí)軸與長軸相同 D.短軸與虛軸相同答案A解析y21的焦點(diǎn)是(4，0)，1的焦點(diǎn)為(4，0)，故選A.2.設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A.4 B.3 C.2 D.1答案A解析方程表示雙曲線，a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P(0，2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B.2C. D.3答案B解析由題意知tan 60，即2bc，則4b23c2可得4c24a23c2，()24，e2.4.等軸雙

11、曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(6，0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析等軸雙曲線的焦點(diǎn)為(6，0)，c6，2a236，a218.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5.設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_.答案yx解析由條件知2b2，2c2，b1，c，a2c2b22，即a.雙曲線的漸近線方程為yxx.1.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程.反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2，再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程.2.準(zhǔn)確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口

12、.對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì).利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩條漸近線，就能畫出它的近似圖形.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A.2 B.2 C. D.1答案B解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4，0)，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)F(4，0)到xy0的距離為2.2.已知雙曲線x21的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則實(shí)數(shù)m的值是()A.4 B.C. D.4答案D解析雙曲線x21的虛軸長和實(shí)軸長分別為2和2，24，m4.3.已知雙曲線C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，則雙曲線C的方程為()A.1 B.

13、1C.1 D.1答案A解析雙曲線C的漸近線方程為0，點(diǎn)P(2，1)在漸近線上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故選A.4.已知雙曲線C的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)恰好分別是橢圓1的長軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為()A.4x3y0 B.3x4y0C.4x5y0 D.5x4y0答案A解析由橢圓1知，長軸端點(diǎn)分別為(5，0)和(5，0)，焦點(diǎn)是(3，0)，(3，0)，由此可知，雙曲線的焦點(diǎn)為(5，0)，(5，0)，頂點(diǎn)為(3，0)，(3，0)，所以雙曲線方程為1，所以漸近線方程為4x3y0.5.若在雙曲線1 (a0，b0)的右支上到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，則雙曲線

14、的離心率的取值范圍是()A.e B.1e2 D.1e0，b0)的右支上到原點(diǎn)和右焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，所以直線x與右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故應(yīng)滿足a，即2，得e2.6.點(diǎn)P是雙曲線1(a0，b0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面積是9，則ab的值等于()A.4 B.5 C.6 D.7答案D解析設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則|mn|2a，又因?yàn)镻F1PF2，所以m2n24c2，2得2mn4a24c2，所以mn2a22c2.又因?yàn)镕1PF2的面積是9，所以mn9，所以c2a29.又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.二、填空題7.已知

15、雙曲線1的離心率e(1，2)，則m的取值范圍是_.答案(12，0)解析e .e(1，2)，110，b0)的兩條漸近線方程為yx，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_.答案1解析頂點(diǎn)(a，0)到漸近線的距離為1，1，解得a2.，b.雙曲線方程為1.9.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為_.答案1解析易知A點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)A在雙曲線上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得1.又b2c2a2，由，得e1.10.設(shè)雙曲線1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F且與雙曲線的

16、一條漸近線平行的直線與另一條漸行線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_.答案解析雙曲線1的右頂點(diǎn)為A(3，0)，右焦點(diǎn)為F(5，0)，其漸近線方程為yx，由雙曲線的對稱性，不妨取與yx平行的直線，則FB所在直線的方程為y(x5)，聯(lián)立方程解得SAFB|(53).三、解答題11.已知圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓C：1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線G的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程.解橢圓C：1的兩焦點(diǎn)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1(a0，b0)，則G的漸近線方程為yx，即bxay0，且a2b225.圓M的圓心為(0，5)，半徑為r3.3a3，b4.雙曲線G的方程為1.12.求兩條漸近線為x2y0且截直線xy30所得的弦長為的雙曲線方程.解設(shè)雙曲線方程為x24y2(0).聯(lián)立方程組得消去y得，3x224x360.設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A