1、常青藤實(shí)驗(yàn)中學(xué)2015屆高三理科研究性學(xué)習(xí)材料（解析幾何部分）專(zhuān)題2:解析幾何中設(shè)點(diǎn)設(shè)斜率的策略選擇【問(wèn)題提出】1. 過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且直線(xiàn)斜率均存在，則 . 2. 過(guò)原點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)分別與橢圓交于與，則四邊形面積的最小值為 .【探究拓展】探究1：如圖在平面直角坐標(biāo)系中，的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn) 設(shè)直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值； 設(shè)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為.求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解：由題意得 ，所以，又， 消去可得，解得或（舍去）

2、，則，所以橢圓的方程為（）設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以， 所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，故為定值（）法一:直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為,則直線(xiàn)的方程為， =，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 法二：直線(xiàn)方程為則.,則直線(xiàn)方程為：，即，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).探究2：已知中心在原點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線(xiàn)的斜率存在,且和為,求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn). 解：（1）設(shè)橢圓方程：，橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為和(且) ,則直線(xiàn)的方程為,設(shè)由,消去得,由題意,則,同理可求得,法一:取得,求得直線(xiàn)方程為, 取得,求得直線(xiàn)方程為,求得以上兩直線(xiàn)交點(diǎn)為.則 , .即點(diǎn)共

3、線(xiàn). 直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).法二: .則直線(xiàn)方程為化簡(jiǎn)得,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).探究3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓E:的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且. （1）求橢圓E的離心率；（2）已知點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，M 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)、），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)、，連接，設(shè)直線(xiàn)、的斜率存在且分別為、，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1），.，化簡(jiǎn)得，故橢圓E的離心率為.（2）存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)，.點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，從而，左焦點(diǎn)，橢圓E的方程為.設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程，整理得，.，.從而，故點(diǎn).同理，點(diǎn).三點(diǎn)、

4、共線(xiàn)，從而.從而.故，從而存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)，.【自主練習(xí)】1. 已知橢圓G：(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)F(1,0)過(guò)點(diǎn)F作斜率為k（k0）的直線(xiàn)l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M（2,0）是一個(gè)定點(diǎn)如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B），記直線(xiàn)CD的斜率為（1）求橢圓G的方程；（2）在直線(xiàn)l的斜率k變化的過(guò)程中，是否存在一個(gè)常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出這個(gè)常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2. 如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是. 點(diǎn)為直線(xiàn)上且不在軸上的任意一點(diǎn),直線(xiàn)和與橢圓的交點(diǎn)分別為和，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、. 證

5、明：； 問(wèn)直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)的斜率之和為0？若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由. 解：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn) 所以. 又 所以1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）（i）證明：方法1：由于 、F 、PF的斜率分別為、k且點(diǎn)P不在x軸上，所以. 又直線(xiàn)的方程分別為 聯(lián)立方程解得 所以. 由于點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y=2上, 所以. 因此 即結(jié)論成立. 方法2:設(shè)則. 因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上,所以. 又 所以. 因此結(jié)論成立. () 解:設(shè). 聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得 化簡(jiǎn)得 因此 由于OA,OB的斜率存在, 所以因此. 因此 . 相似地,可以得到 . 若須有或. 當(dāng)時(shí),結(jié)合()的結(jié)論

6、,可得,所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2); 當(dāng)時(shí),結(jié)合()的結(jié)論,解得或此時(shí)不滿(mǎn)足舍去),此時(shí)直線(xiàn)CD的方程為y=3(x-1)，聯(lián)立方程x+y=2得. 因此. 綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為(03. 如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率,直線(xiàn)的方程為.（1）求橢圓的方程;（2）是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)),設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn),記的斜率分別為問(wèn)：是否存在常數(shù),使得?若存在求的值；若不存在,說(shuō)明理由.解：（1）由在橢圓上得, 依題設(shè)知,則 代入解得. 故橢圓的方程為. (2)方法一:由題意可設(shè)的斜率為, 則直線(xiàn)的方程為 代入橢圓方程并整理,得, 設(shè),則有 在方程中令得,的坐標(biāo)為. 從而. 注意到共線(xiàn),則有,即有. 所以