1、第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性,三年11考 高考指數(shù): 1.了解函數(shù)奇偶性的含義； 2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的奇偶性； 3.了解函數(shù)周期性,1.函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的重要考向； 2.常與函數(shù)的圖像、單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)等綜合命題; 3.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題.,1.函數(shù)奇偶性的定義 (1)圖像定義：f(x)為奇函數(shù)圖像關(guān)于_對稱； f(x)為偶函數(shù)圖像關(guān)于_對稱； (2)符號定義：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x f(x)為偶函數(shù)_; f(x)為奇函數(shù)_.,原點(diǎn),y軸,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),【即時應(yīng)用】 (1)思考：函數(shù)f(x)

2、=x+sinx,g(x)=xsinx各自圖像有什么對稱性？ 提示：f(x)為奇函數(shù)，所以其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；g(x)為偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱.,(2)判斷下列六個函數(shù)是否是奇函數(shù).(請?jiān)诶ㄌ栔刑睢笆恰被颉胺瘛? y=x2-|x| ( ) y=sin3x ( ) y=x+ ( ) y=3x-3-x ( ) y=|x|cosx ( ) y=x2,x(-1,1 ( ),【解析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的符號定義知，函數(shù),為偶函數(shù)，,為奇函數(shù),是非奇非偶函數(shù). 答案：否 是 是 是 否 否,(3)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)，那么 a+b的值是_. 【解析】由已知得a-1=

3、-2a,解得a= f(x)= +bx,又f(-x)=f(x), 即 又x ,b=0,故a+b= +0= 答案：,(4)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)=x2,則f(x)= _. 【解析】由題意知f(0)=0,當(dāng)x0, f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2, 答案：,2.周期性 (1)周期函數(shù)：常數(shù)T為函數(shù)f(x)的一個周期，則需滿足的條件： T0; f(x+T)=_對定義域內(nèi)的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個 _，那么這個_就稱為它的最小正周期,f(x),最小的正數(shù),最小的正數(shù),【即時應(yīng)用】 (1

4、)已知函數(shù)f(x),對任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)時，f(x)=2 012x2,則f(2 013)=_. (2)函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+1)=-f(x),則f(x)的最小正周期為_.,【解析】(1)f(x+4)=f(x), f(x)的最小正周期為4， f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012. (2)f(x+1)=-f(x), f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x). 最小正周期為2. 答案：(1)2 012 (2)2,判定函數(shù)的奇偶性 【方法點(diǎn)睛】判定函數(shù)的奇偶性的常用方法及思路 (1

5、)符號定義法：,(2)圖像定義法：,(3)性質(zhì)法：用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇偶性,奇函數(shù)與奇函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù) 偶函數(shù)與偶函數(shù),和 差,奇函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),積 商,【提醒】“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.,【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=(x+1) (3) 【解題指南】由奇偶性的符號定義，先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算f(-x)，并判斷其與f(x)的關(guān)系，從而得出函數(shù)的奇偶性.,【規(guī)范解答】(1)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

6、又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù). (2)使f(x)=(x+1) 有意義，則有 0且1+x0,解得 函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1,不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此函數(shù)f(x)既不 是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).,(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?-，0)(0,+)，關(guān)于原點(diǎn)對稱， 當(dāng)x0，則f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 當(dāng)x0時,-x0，則f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x)； 綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(-x)=-f(x)成立， 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,【互動探究】若將本例(2)的函數(shù)改為 其奇偶 性又如何呢？

7、 【解析】易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)(0,1)，關(guān)于原點(diǎn) 對稱， 又f(-x)= 函數(shù)f(x)為奇函數(shù),【反思感悟】利用符號定義法判斷函數(shù)奇偶性時，先求定義域，當(dāng)解析式較復(fù)雜時，要在定義域內(nèi)先化簡，再計(jì)算f(-x),否則可能得到錯誤結(jié)論.,【變式備選】判斷下列函數(shù)的奇偶性.,【解析】(1)由 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1. 又對于定義域內(nèi)的任意x,f(-x)=0=f(x), 函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).,(2)顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽， 又 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,(3)由 函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱， 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 應(yīng)用函數(shù)奇

8、偶性可解決的問題及方法 (1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. (2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式 先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，利用已知區(qū)間上的解析式，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式.,(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程求解. (4)應(yīng)用奇偶性畫圖像和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖像及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.,【例2】(1)(2011安徽高考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 當(dāng)x

9、0時，f(x)=2x2-x，則f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)(2011遼寧高考)若函數(shù) 為奇函數(shù)，則 a=( ) (3)(2012咸陽高考)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，+)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x )f( )的x的取值范圍是( ) (A)(-,0)(B)(0, )(C)(0, ) (D)( ,+),【解題指南】解答本題需利用函數(shù)的奇偶性： (1)將求f(1)的值轉(zhuǎn)化為求f(-1)的值的問題求解； (2)由題意可知f(-x)+f(x)=0，從而得到關(guān)于x的恒等式，再構(gòu)建a的方程求解； (3)得到f(2x- )=f(|2x- |),將原不等式轉(zhuǎn)化為f(|2x

10、- |)f( ),從而求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.由奇函數(shù)的定義得f(-x)=-f(x)，所以 f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3. (2)選A.函數(shù)f(x)為奇函數(shù),f(x)+f(-x)=0恒成立，即 恒成立.可化為(2x+1)(x-a)= (2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，則必有1-2a=0, a=,(3)選B.f(x)為偶函數(shù)，f(2x- )=f(|2x- |)， 又f(x)在0,+)上單調(diào)遞增, 由f(|2x- |)f( )得：|2x- | 解得:0x .,【互動探究】在本例(1)中的條件下求f(x)在R上的解析式. 【解析】當(dāng)x0時，-

11、x0, 又x0時，f(x)=2x2-x, f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又f(-x)=-f(x), 即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x. 綜上,【反思感悟】利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、求解析式、作圖像、判定單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖像、單調(diào)性問題求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想.,【變式備選】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5.若當(dāng)x0,5時，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集是_.,【解析】由奇函數(shù)圖像對稱性補(bǔ)出其在-5,0)上的圖像，由圖像知解集為(-2,0)(2,5. 答案：(-2,0)(2,5,函數(shù)周

12、期性的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】關(guān)于函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論 (1)若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x都有： f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個 周期； f(x+a)= 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周 期； f(x+a)= 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個 周期；,(2)如果T是函數(shù)y=f(x)的周期，則 kT(kZ,k0)也是函數(shù)y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)； 若已知區(qū)間m,n(mn)上的圖像，則可畫出區(qū)間m+kT,n+kT(kZ,k0)上的圖像.,【例3】(2011新課標(biāo)全國卷改編)已知函數(shù)f(x)對任意的

13、實(shí) 數(shù)x滿足：f(x+1)= 且當(dāng)x-1,1時，f(x)=x2. (1)求f(2 012); (2)確定函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點(diǎn)個數(shù).,【解題指南】解答(1)題需先由f(x+1)= 探究出函數(shù)f(x) 的周期，進(jìn)而利用周期性，求f(2 012),(2)作出y=f(x)及 y=|lgx|的圖像，從而使問題得解.,【規(guī)范解答】(1)對任意xR, 都有f(x+1)= f(x+2)=f(x+1)+1)= f(x)是以2為周期的函數(shù)， f(2 012)=f(21 006+0)=f(0)=02=0.,(2)根據(jù)f(x)的周期性及f(x)在-1,1上的解析式可作圖如下 可驗(yàn)證當(dāng)

14、x=10時，y=|lg10|=1; x10時，|lgx|1,因此結(jié)合圖像及數(shù)據(jù)特點(diǎn)y=f(x)與y=|lgx|的圖像交點(diǎn)共有10個.,【反思感悟】已知周期函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的解析式或圖像，則可求在其他區(qū)間上的函數(shù)值、解析式或畫出其他區(qū)間上的圖像，關(guān)鍵是用好其周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+1)=f(1-x).當(dāng)x0,2時，f(x)=2x-x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù); (2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式; (3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).,【解析】(1)f(x+1)=f(1-x), f(

15、x+2)=f(x+1)+1) =f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x) f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)是周期為4的周期函數(shù).,(2)當(dāng)x-2,0時，-x0,2，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2, 當(dāng)x-2,0時，f(x)=x2+2x. 又當(dāng)x2,4時，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 從而求得x2,4時， f(x)=x2-6x+8

16、.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,【變式備選】設(shè)函數(shù)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)x0,1時，f(x)=x. (1)求f()的值； (2)當(dāng)x-4,4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積.,【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得 f(x+4)=

17、-f(x+2)，f(x+4)=f(x)， 則f(x)是以4為周期的周期函數(shù). f()=f(-14+)=f(-4)， f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)， f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4. f()=-4.,(2)由f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)， 故知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱， 又x0,1時，f(x)=x，且f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)的圖像如圖所示,當(dāng)x-4,4時，f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積為： S=4SOAB=4( 21)=4.,【創(chuàng)新探究】創(chuàng)新應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與周期性 【典例】(2011福建高考)

18、對于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中, a,bR,cZ)，選取a,b,c的一組值計(jì)算f(1)和f(-1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是( ) (A)4和6 (B)3和1 (C)2和4 (D)1和2,【解題指南】解答本題需根據(jù)函數(shù)f(x)解析式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造奇函數(shù)g(x)=f(x)-c,然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)，g(-1)+g(1)=0,探究出f(-1)+f(1)與c的關(guān)系，從而由cZ限定f(1)與f(-1)不可能的取值.,【規(guī)范解答】選D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx, g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x), g(x)為定義在R上的奇

19、函數(shù). 則由奇函數(shù)的性質(zhì)，得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0. f(-1)+f(1)=2c, 又cZ,f(1)+f(-1)是偶數(shù)， 而選項(xiàng)中只有D中兩數(shù)和為奇數(shù)，故選D.,【閱卷人點(diǎn)撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥及備考建議:,1.(2011山東高考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0 x2時,f(x)=x3-x，則函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,【解析】選B.令f(x)=x3-x=0, 即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1, 因?yàn)? x2,所以此時函數(shù)的零點(diǎn)有兩個,即與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為2. 因?yàn)閒(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)， 所以2x4,4x6上也分別有兩個零點(diǎn)， 由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知f(6)也是函數(shù)的零點(diǎn)， 所以函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7.,2.(2012長安模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(4+x) =-f(-x)，且當(dāng)x2,4)時，f(x)=log2(x-1)，則f(2 010)+ f(2 011)的值為( ) (A)-2 (B)-1