1、第五章 債券價(jià)格波動(dòng)性的衡量,重點(diǎn)和難點(diǎn)是久期和凸性的概念,債券風(fēng)險(xiǎn),（1）利率風(fēng)險(xiǎn)； （2）違約風(fēng)險(xiǎn)（信用風(fēng)險(xiǎn)）； （3）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)； （4）提前償還風(fēng)險(xiǎn)； （5）匯率風(fēng)險(xiǎn)； （6）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)。,債券利率風(fēng)險(xiǎn),包括:價(jià)格(市場）風(fēng)險(xiǎn);再投資風(fēng)險(xiǎn) 所有債券價(jià)格都受利率變化的影響 對于高等級債券利率風(fēng)險(xiǎn)更重要 本章重點(diǎn)介紹如何衡量債券價(jià)格變化的波動(dòng)性,債券價(jià)值和收益率的關(guān)系,債券價(jià)格和收益率反方向變動(dòng) 例子: 息票率6% 面值 = $1,000; 到期日: 2009年9月15日 支付日: 4月15日, 9月15日 半年利息=(6% of $1,000)/2=$30 現(xiàn)在是2002年10月15日

2、,該債券在2002年10月15日的價(jià)值,債券價(jià)格和收益率關(guān)系,債券價(jià)格和收益率反方向變化,債券價(jià)格和到期日之間的關(guān)系,隨著到期日的臨近，債券的價(jià)格趨向于面值,到期時(shí)間影響債券價(jià)格變化,臨近到期時(shí)間，債券價(jià)格趨向面值 相同面值、票面利率、收益率，到期時(shí)間越短則債券溢價(jià)或者折價(jià)的幅度越小 價(jià)格=本金現(xiàn)值+利息現(xiàn)值 臨近到期日，息票支付減少，息票現(xiàn)值降低，本金現(xiàn)值增加。折價(jià)債券本金現(xiàn)值增加超過息票利率的減少，價(jià)格上升；溢價(jià)債券相反，價(jià)格下降。,面值100，票面利率8%，一年支付一次，下次在一年之后，10年后到期。 收益率為6%情形，溢價(jià)債券： 收益率為10%情形，折價(jià)債券：,債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn),1

3、、價(jià)格的利率敏感性與債券的票面利率具有反向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，低票面利率債券比高票面利率債券價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。 2、價(jià)格的利率敏感性與債券的到期時(shí)間長短具有正向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，長期債券比短期債券價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。 3、隨著到期時(shí)間的增長，價(jià)格的利率敏感性增加，但是增加得越來越慢。,債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn)（續(xù)）,4、收益率上升導(dǎo)致價(jià)格下跌的幅度比等規(guī)模的收益率降低帶來的價(jià)格上漲的幅度小，這被稱為價(jià)格波動(dòng)的不對稱性。 5、價(jià)格的利率敏感性與債券的初始收益率水平具有反向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，債券的初始收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。,價(jià)格,收益率,價(jià)格和收益率關(guān)系,Examples

4、,0,票面利率大小與債券價(jià)格波動(dòng),A、B兩種債券，半年付息一次，下次再半年之后，資料如下： 收益率上升到10%，新價(jià)格和變化率,票面利率的大小與利率風(fēng)險(xiǎn),其他因素相同，票面利率越低，利率風(fēng)險(xiǎn)越大.零息債券的利率風(fēng)險(xiǎn)最大！,$0,$50,$100,$150,$200,1%,3%,5%,7%,9%,11%,13%,15%,Rate,Price,10%,8%,期限越長的債券價(jià)格的利率敏感性越大,ex.ABC 票面利息 ($)808080 面值 100 100 100 Moodys RatingAaAaAa 期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs. YTM8%8%8% 價(jià)格100100100

5、 收益率增加到10% 新價(jià)格: 92.2887.5484.63 %Price change:-7.72%-12.46 -15.37 如果是無限期債券，則變化更大。假設(shè)債券D除了期限是無窮之外都與上述債券相同，則收益率從8%到10%時(shí)，價(jià)格由100變?yōu)?0，下降20%！ 期限越長，債券價(jià)格對利率變化越敏感。,隨著到期時(shí)間的增長，價(jià)格的利率敏感性以遞減的速度增加,上述A、B、C三種債券收益率增加2個(gè)百分點(diǎn)，價(jià)格下降百分比分別為7.72、12.46和15.37個(gè)百分點(diǎn)。 這三種債券的到期時(shí)間依次遞增5年 B比A波動(dòng)大4.74個(gè)百分點(diǎn)，而C僅比B波動(dòng)大2.91個(gè)百分點(diǎn) 利率敏感性增加速度隨著到期時(shí)間的

6、增長而遞減,債券期限長度和利率風(fēng)險(xiǎn),債券期限越長，利率風(fēng)險(xiǎn)越大,債券價(jià)格波動(dòng)的不對稱性,收益率的下降比上升對債券價(jià)格影響更大 上例中，收益率從8%降到6%時(shí)，A、B和C三債券的價(jià)格分別變?yōu)?08.53、114.88和119.60，變動(dòng)百分比分別為8.53%、14.88%和19.60%。如下表所示 從上表中可以看出，收益率的變動(dòng)對債券價(jià)格的影響是不對稱的。,初始收益率與債券價(jià)格波動(dòng),其他因素不變時(shí)，初始收益率越低，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)： 市場利率水平越低時(shí)，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng) 到期收益率水平越低，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)。 ex.AB 息票率（%）88 面值 100 100 信用評級A

7、aAa 到期時(shí)間10 10 YTM（%）810 價(jià)格10087.54,收益率上升：,簡單價(jià)格波動(dòng)性衡量,基點(diǎn)價(jià)格值：收益率變化0.01%，債券價(jià)格變化量 價(jià)格變化的絕對值 相對值稱作價(jià)格變動(dòng)百分比 價(jià)格變動(dòng)百分比=基點(diǎn)價(jià)格值/初始價(jià)格,價(jià)格變化較小情形,ABC 票面利息 ($)808080 面值 100 100 100 Moodys RatingAaAaAa 期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs. YTM8%8%8% 價(jià)格100100100,價(jià)格變化較大情形,債券組合基點(diǎn)價(jià)格值,先得到每一種債券基點(diǎn)價(jià)格值，然后加總,價(jià)格變化的收益值,價(jià)格變化一定數(shù)量時(shí)，收益率的變動(dòng)值 教材5-10

8、。,期限是影響利率風(fēng)險(xiǎn)的主要因素，但不是唯一的因素 久期（Duration）可以用來度量債券價(jià)格對利率的敏感性 類似于彈性的概念，久期等于價(jià)格變化百分比除以收益率變化百分比： 這可以通過現(xiàn)值公式推導(dǎo)得到 知道久期可以計(jì)算一定的收益率百分比導(dǎo)致的價(jià)格變化百分比：,Duration 1,推導(dǎo)久期公式,久期,也叫麥考利久期（Macaulay） 現(xiàn)金流時(shí)間的加權(quán)平均 權(quán)重是每次現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總現(xiàn)金流（價(jià)格）的比重 所有現(xiàn)金流的平均到期時(shí)間才是衡量普通債券利率敏感性的準(zhǔn)確指標(biāo),除零息債券之外，久期小于期限 零息債券久期等于期限 特殊債券久期大于期限，原因是對于利率變化非常敏感 本質(zhì)上是對利率敏感性的度量

9、，而不是一種期限,久期的計(jì)算方法,根據(jù)定義，不同情況具體計(jì)算，注意簡化公式，注意單位,久期重要的原因,度量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確指標(biāo) 可用于比較不同息票率、收益率和期限的債券的利率風(fēng)險(xiǎn) 度量債券的有效期限（每一個(gè)現(xiàn)金流的到期期限的加權(quán)平均） 是債券組合管理的基本概念，尤其是在免疫策略的應(yīng)用中,久期,到期期限不能很好地衡量債券的實(shí)際期限 需要考慮利息額的大小 計(jì)算平均值: “有效期限” (Macaulay) 久期: 現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的加權(quán)平均值,權(quán)重為各現(xiàn)金流的現(xiàn)值占所有現(xiàn)金流現(xiàn)值總和的比重 :,Duration: Calculation,久期計(jì)算例子,例5-11 面值100，息票率8%，三年期限，半

10、年一次，下次半年之后。到期收益率為10%。注意單位是半年,例子 :久期 計(jì)算,面值100，3年期零息債券，收益率10%,簡化公式,簡化公式,久期規(guī)則,Rule 1 其他因素不變，票面利率越低，息票債券的久期越長：票面利率越高，早期現(xiàn)金流現(xiàn)值越大，權(quán)重越高，因此時(shí)間加權(quán)平均值也就是久期越低。就是說短時(shí)間權(quán)重大，因此均值低。與前面票面利率越低利率敏感性越高一致 Rule 2 到期收益率越低，久期越長：后期現(xiàn)金流現(xiàn)值大，權(quán)重高。這與到期收益率越低，利率敏感性越高是一致的,Rule3 到期時(shí)間越長，久期越長。這與到期時(shí)間越長，利率敏感性越高一致 久期并不一定總是隨著到期時(shí)間的增長而增長。 收益率很高的

11、債券的久期可能會(huì)隨著到期時(shí)間的增長而減短 息票債券久期的增長速度小于到期時(shí)間增長速度。到期時(shí)間增長1年，久期增長小于1年 零息債券二者相等,浮動(dòng)利率債券的久期,剛剛支付完利息的每個(gè)利息支付日，浮動(dòng)利率債券價(jià)值都等于面值 下一個(gè)利息支付日，價(jià)值等于面值加上利息 等同于零息債券，該零息債券的期限等于重新設(shè)定票面利率所經(jīng)歷的期限。 如果浮動(dòng)利率的票面利率每年重新設(shè)定一次，不管浮動(dòng)利率債券本身期限多久，久期都是一年,久期與價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系,與債券的到期時(shí)間相比久期能夠更準(zhǔn)確度量價(jià)格對利率的敏感性 價(jià)格的利率敏感性對于債券組合利率風(fēng)險(xiǎn)管理是非常重要的 到期時(shí)間相同的兩個(gè)債券如果票面利率不同顯然也會(huì)具有不同

12、的利率敏感性 然而，久期相等時(shí)，不論票面利率如何，兩個(gè)債券的利率敏感性都是相通的 久期同時(shí)考慮了票面利率和到期時(shí)間,債券價(jià)格與久期成比例,久期與價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系,令D* 為修正久期，則債卷價(jià)格和久期之間的關(guān)系為：,Example: y = +100 basis points, D* = 5 P/P = - 5 x 0.01 = -0.05 or 5%,例5-13,面值100，息票率8%，三年期限，半年一次，下次半年之后。到期收益率為10%。久期是2.7176年。還有一種面值為100元，據(jù)到期日還有2.7176年的零息債券，久期也是2.7176年。比較兩者的利率敏感性 久期相等，利率敏感性相等,兩

13、種方法比較,例5-14,利用久期和價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系，計(jì)算例5-7中債券A在收益率變動(dòng)1個(gè)、100個(gè)基點(diǎn)時(shí)的價(jià)格波動(dòng) 面值100，息票率8%，到期時(shí)間5年，收益率8%，利用平價(jià)債券久期公式可得久期為8.4353（半年），修正久期為8.1109（半年）,結(jié)果對比 收益率變動(dòng)較小，一致 變動(dòng)較大，不一致 久期計(jì)算結(jié)果對稱，線性近似，誤差隨著收益率變動(dòng)增加而增加 看圖5-8，pp106,資產(chǎn)組合的久期,組合的久期是組合中各個(gè)債券的久期加權(quán)平均，權(quán)重是各個(gè)債券的市場價(jià)值與組合總市值的比例,首先計(jì)算各個(gè)債券的久期和修正久期 然后用各個(gè)債券市場價(jià)值所占組合市場價(jià)值之比例作為權(quán)重計(jì)算組合的修正久期,久期缺口（d

14、uration gap）分析,凈資產(chǎn)百分比變化： %NW-DURgapi/（1+i） 一家商業(yè)銀行的資產(chǎn)價(jià)值為100，負(fù)債價(jià)值為95，當(dāng)利率從10%上升到15%時(shí)，這家銀行的凈資產(chǎn)價(jià)值有何變化（資產(chǎn)負(fù)債久期分別是2.7和1.03）？ DURgap=2.7-（95/100*1.03）=1.72 %NW-1.720.05/（1+0.10）=-7.8%,久期和凸性,Taylor expansion,凸性可以用來修正用久期計(jì)算價(jià)格波動(dòng)帶來的誤差,對基于久期的價(jià)格變化進(jìn)行修正：,凸性定義:,CFt 是t期的現(xiàn)金流.,凸性 (1),久期是對價(jià)格收益率曲線上某一點(diǎn)斜率的度量 一階導(dǎo)數(shù) 凸性是對價(jià)格收益率曲線

15、上斜率變化的度量二階導(dǎo)數(shù). 凸性度量價(jià)格收益率曲線的彎曲程度,凸性 (2),性質(zhì): 凸性越大, 給定收益率變化時(shí)，價(jià)格增加越大，而價(jià)格減小越不明顯,凸性 (3),凸性 (3),凸性 的計(jì)算,附息債券的凸性另一種計(jì)算公式:,Convexity (5),Example: 10年期，9%息票率，面值售價(jià)，半年付息一次，半年期凸性 是225.43，年化凸性為56.366:,例5-16：面值100，r=8%,3年，半年一次，y=10%,例5-17 F=1000，r=10%，5年，y=14%，久期和凸性？,久期和凸性與價(jià)格波動(dòng),泰勒展開，忽略高階項(xiàng) 收益率較大時(shí)需要同時(shí)考慮久期和凸性 凸性非負(fù)，因此相對于

16、考慮凸性情形，在利率降低時(shí)，不考慮凸性會(huì)低估價(jià)格上升幅度；利率升高時(shí)，又會(huì)高估。 凸性越大，對投資者越有利：收益率降低時(shí)價(jià)格上漲幅度越大，升高時(shí)價(jià)格下降幅度越小,考慮凸性，重新計(jì)算例5-7中債券A收益率變動(dòng)1、100個(gè)基點(diǎn)引起的價(jià)格變動(dòng),可贖回債券的凸性,市場利率高于息票率，不贖回 市場利率低于息票率，贖回 利率高時(shí)，凸性相同，僅僅是價(jià)格相差一個(gè)差價(jià) 利率低時(shí)，凸性轉(zhuǎn)負(fù) 繼續(xù)降低，水平,債券久期的近似計(jì)算,例子,期限為25年票面利率為6% 的債券到期收益率為 9%,最初的價(jià)格P0 為 70.3570 步驟 1:將收益率從 9% 提高到 9.1%. y 為0.001.債券價(jià)格降為(P+) 69.6164 步驟 2: 將收益率從 9% 降為 8.9%. 債券價(jià)格則(P-) 為 71.1105 近似久期可計(jì)算如下:,例子,Definition,VaR Value at Risk 指的是，一定時(shí)期內(nèi)，給定某一置信水平，最糟糕情形發(fā)生時(shí)，發(fā)生的潛在損失,V