1、復變函數(shù)與積分變換,多媒體教學課件,曹海濤 地址：實驗樓A428 河海大學常州校區(qū)數(shù)理部 2012. 12. 12,背景介紹,復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。 為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。 直到十八世紀，J.DAlembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何,意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認

2、接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。 復變函數(shù)理論是高等數(shù)學(實函數(shù))理論的延續(xù)和發(fā)展，它將函數(shù)定義域的范圍從高等數(shù)學里的實數(shù)域推廣到了復數(shù)域。復變函數(shù)與實變函數(shù)之間有許多相似之處，但是又有許多不同之點。,廣泛的應用：不僅在數(shù)學的許多分支有廣泛的應用，也是工科領域中解決流體力學，電磁學，信號學，彈性理論等的有力工具。,參考資料： 1、復變函數(shù). 西安交大高等數(shù)學教研室. 高等教育出版社 1996年5月。 2、積分變換 張元林. 高等教育出版社 2003年12月。 3、復變函數(shù)論 鐘玉泉 高等教育出版社。,1. 復數(shù)及其代數(shù)運算2. 復數(shù)的幾何表示3. 復數(shù)的乘冪與方根4. 復平面上的點集5.

3、復變函數(shù)6. 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性,第一章 復數(shù)與復變函數(shù),1.1 復數(shù)的概念 引入符號 “ ”, 規(guī)定 ， 稱 為虛單位. 定義1： 復數(shù),1. 復數(shù)及其代數(shù)運算,復數(shù)相等: 兩復數(shù)的實部與虛部分別相等,即：,定義2:,兩種特殊情況：,z=iy 純虛數(shù)， 當x=0,z=x 所有實數(shù)，當y=0,兩個復數(shù)不可以比較大小(實數(shù)情況除外),小問題： 什么時候相等，它們的虛部有什么關系？,1.2 復數(shù)的代數(shù)運算,加法： 減法： 乘法： 除法：,設,小問題：,運算性質(與實數(shù)類似),共軛復數(shù)的運算性質,自己驗證！,例1： 例2：,1.3 幾個例子,想一想：復數(shù)是否有幾何意義？ 幾何上表示什么？還有什么

4、運算我們上面沒有提到？,2. 復數(shù)的幾何表示,2.1復平面及復數(shù)幾何表示 復數(shù)z可以用平面上的點表示。 所有復數(shù)所對應的點構成的平面稱為復平面（見下圖）,（1）,（2）復數(shù)z也可以用平面上的向量表示。,以后點z或向量 均可以指某一對應的復數(shù)z。今后甚至不加以區(qū)別。且容易驗證兩個復數(shù)的加減運算，與所對應的向量的加減運算一致。（見后圖）另外含有復數(shù)的方程或不等式就可以表示平面上的某圖形。,2.2 復數(shù)的模，輻角及其性質,復數(shù)z的模：即向量 長度，記作： 復數(shù)z的輻角：以正實軸為始邊，以表示z 的向量 為終邊旋轉的角的弧度稱為 z的輻角。記作：,且有：,注意：任何一個 的輻角是多值的。輻角：,z的幅

5、角主值：,所以也可寫成：,復數(shù)模的性質：,x,o,y,（三角不等式）,小問題：上面的性質如何證明？復數(shù)運算對代數(shù)不等式證 明的優(yōu)越性？ 的幾何意義？,2.3 復數(shù)的三角形式及指數(shù)形式,根據(jù)極坐標與直角坐標的關系，復數(shù)Z還可以表示成以下兩種形式：,Euler公式：,1. 和 也可以唯一的確定一個復數(shù)。 2.復數(shù)的這幾種表示方法可以相互轉換，以適應不同的問題需要，這一點需要記住。,2.4 幾個例子,例1. 用復數(shù)形式的方程或不等式表示平面圖形：,想一想： 1.平面上的橢圓，拋物線，雙曲線你能用復數(shù)方程表示嗎？ 2. 例3的啟示？,2.5* 擴充復平面,復數(shù)的球面表示,擴充復平面。,關于復數(shù) 是指該

6、復數(shù)的模趨 于無窮。,定理1.兩個復數(shù)乘積的模等于它們模的乘積；兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。 （證）,定理2.兩個復數(shù)商的模等于它們模的商；兩個復數(shù)商的幅角等于被除數(shù)與除數(shù)幅角的差。,3. 復數(shù)的乘冪和方根,3.1 乘積與商,關于以上兩個定理的解釋幾何意義，請看下圖。,幾何意義：,1.由此可以看出向量的旋轉或拉伸都可以轉化成復數(shù)的相應運算。即：幾何問題轉化成代數(shù)運算。 2.上面兩個定理可以推廣到多個復數(shù)的情況。,例 1 .已知正三角形的兩個頂點為 和 求它的另一個頂點。,(1)復數(shù)的乘冪：,b.指出復數(shù) 的模，幅角及幅角主值 。,例2. a.計算 。,3.2 冪與根,c.推導一下 的公

7、式。,公式：,性質：,(2)復數(shù)的方根：,定義：稱滿足方程 的復數(shù) 稱為 的 次方根，記作 或 。,公式：,W有無窮個值，其中只有n個根是互不相同的，可取k=0,.n-1得到W0，W1Wn-1。,注意：,例2：a.求 的根. b. 求,w0,w1,w2,w3,4.1.一些概念 鄰域 ：平面上以 為中心, (任意的正數(shù))為半徑的圓: 內部的點的集合稱為 的鄰域,而稱 由不等式 所確定的點集為 的去心鄰域. 內點：設 為一平面點集, 為 中任意一點. 如果存在 的一個鄰域, 且該鄰域內的所有點都屬于 , 則稱 為 內點。 開集：如果 內的每個點都是它的內點, 則稱 為開集。,4. 復平面上的點集,

8、邊界點: 如果點 的任一鄰域內既有屬于E 的點，也 有不屬于E 的點，則稱 為E的邊界點。 邊界：集E 的全部邊界點所組成的點集,稱為集E的邊界. 連通集: 設E是開集，如果對于E 內的任何兩點，都可用 折線連接起來，且該折線上的點都屬于 E ，則稱開 集 E 是連通的。 開區(qū)域: 連通的開集稱為開區(qū)域或區(qū)域。 閉區(qū)域 : 開區(qū)域連同它的邊界一起構成的集合稱為閉區(qū)域 有界集、無界集 : 如果集 E可以包含在原點的一個鄰域 內，則為有界集，否則為無界集。,例1：,圓盤:|z-z0|0為無界(開)區(qū)域 角形域01組成的點集為為無界區(qū)域,b. 若任取 且 不同時取到端點 時有 則稱該曲線為簡單曲線或

9、無重點 曲線， 的簡單曲線稱為簡單閉曲線。,4.2 連續(xù)曲線： 定義：a. 設x(t)及y(t)是閉區(qū)間 , 上連續(xù)的兩個實函數(shù)，則由 方程 或由復數(shù)方程 (或簡記為 )所決定的點集C稱為復平面上的一條 連續(xù)曲線。,光滑曲線：設曲線C的方程為 且在 上， 連續(xù)且不全為零，則稱曲線C為光 滑曲線。由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲 線。 連通域： 復平面上的一個區(qū)域 D, 如果在其中任作一條簡 單閉曲線, 而曲線的內部總屬于D, 就稱D為單連通域, 一個區(qū) 域如果不是單連通域, 就稱為多連通域.,例2.,D,D,邊界,邊界,定義：設 是一個給定的復數(shù)集，如果有 一法則 ，對于每一個數(shù) ，

10、總有確定 的復數(shù) 和它對應。則稱 是定義在 上 的復變函數(shù)，記作 ，數(shù)集 叫做這 個函數(shù)的定義域,5. 復變函數(shù),1.,注意：由于復數(shù)z有多種表示形式，所以函數(shù)也有： w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y);或 w=f(z)=u(r, )+iv(x, );,5.1復變函數(shù)定義,5.2復變函數(shù)的幾何映照,例1： 函數(shù) 分別將扇形區(qū)域 映照成 平面的什么區(qū)域？,例2：映照 將 平面上的圓周 映照成 平 面上的什么圖形？,例3,函數(shù) 分別將下列曲線映照成w平面的什么圖像？,5.3反函數(shù)與復合函數(shù)（自己看）,定義：設 定義在z平面的點集D上，函數(shù) 值的集合為G，如果在G中任取一點w,通過 法則 ，

11、總有確定的 z與之對應，w 與z的這種對應關系記作 ， 稱為原函數(shù) 的反函數(shù)。,定義：設 ， ,并稱其為 的復合函數(shù),則有 ，,6. 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性,6.1.函數(shù)極限 定義： 設函數(shù)w=f(z)在 的某去心鄰域內有定義。如果有一確定的數(shù)A存在, 對于任意給定的 ，相應的有一正 數(shù) ,使得當 時有則稱A為f(z)當z趨向于 時的極限, 記作當 時, f(z)A 或,x,y,v,注意：z趨于z0的方式是任意的,例1.證明若 則,例2. 證明函數(shù),（反過來成立嗎？）,(說明復變函數(shù)極限不存在的方法：常常是取特殊路徑得到極限值不同即可。這和高數(shù)中二元函數(shù)極限類似。),6.2復變函數(shù)極限定理,定理1 設f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z0=x0+iy0,證明：見書或者黑板。,例3,例4,例5,例,定義：,則稱f(z)在z0處連續(xù). 如果f(z)在區(qū)域D內 處處連續(xù), 則稱函數(shù)f(z)在D內連續(xù)。,6.3函數(shù)的連續(xù)性,即：,由極限的判別定理，容易得到： 定理3 ：函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù) u,v分別在點(x0,y0)處連續(xù).,想一想：連續(xù)函數(shù)的一些性質。,連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為0)仍為連續(xù) 函數(shù)連續(xù)函數(shù)的