1、基本要求： 掌握結(jié)構(gòu)的支座反力的計算，結(jié)構(gòu)的 剪力和軸力計算的兩種方法，內(nèi)力圖的形狀特征和繪制內(nèi)力圖的疊加法。 熟練掌握繪制彎矩圖各種技巧，能迅 速繪制彎矩圖。 理解恰當選取分離體和平衡方程計算 靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法與技巧。會根據(jù)幾何組成尋找求解途徑。,第三章 靜定梁與靜定剛架,Statically Determinate Beam and Plane Frame,截面內(nèi)力計算 內(nèi)力圖的形狀特征 疊加法繪制彎矩圖 多跨靜定梁內(nèi)力圖 靜定剛架內(nèi)力圖 不求或少求反力畫彎矩圖 彎矩圖對誤判別,1、平面桿件的截面內(nèi)力分量及正負規(guī)定,軸力N (normal force) 截面應力(stresses)沿軸線

2、切向的 合力，以拉力為正，壓力為負。,N,N,剪力Q (shearing force),截面上應力沿軸線法向的合力， 以繞隔離體順時針轉(zhuǎn)為正。,Q,Q,彎矩M (bending moment) 截面上應力對截面中性軸的 力矩。不規(guī)定正負，但彎矩圖畫在拉側(cè)。,M,M,圖示均為正的軸力和剪力,3.1 截面內(nèi)力(inteernal forces)計算,2、截面內(nèi)力計算方法：,軸力=截面一邊的所有外力沿軸切向投影代數(shù)和。 剪力=截面一邊的所有外力沿軸法向投影代數(shù)和，如外力繞 截面形心順時針轉(zhuǎn)動，投影取正否則取負。 彎矩=截面一邊的所有外力對截面形心的外力矩之和。彎矩 及外力矩產(chǎn)生相同的受拉邊。,截面法

3、：將桿件在指定截面切開,取左邊部分或右邊部分為隔離體,利用隔離體的平衡條件,確定此截面的三個內(nèi)力分量. 截開、代替、平衡。,內(nèi)力的直接算式：,舉例1,畫隔離體受力圖要注意： 1、要與周圍約束全部截斷；2、約束力要符合約束的性質(zhì)；3、受力圖中只畫隔離體所受到的力；4不要遺漏力；5、宜選取外力較少部分為隔離體,返回,截面一邊所有外力沿軸切向投影代數(shù)和。,一邊所有外力沿軸切向投影代數(shù)和。,截面一邊所有外力對截面形心取矩之和。,例：求截面1、截面2的內(nèi)力,N2=50,N1=1410.707=100kN,Q1=,M1=125,(下拉）,=50kN,141cos45o,=812.5kNm,+1410.70

4、710,505,5/25,Q2= 141sin45100kN,M2,5m,5m,5m,5m,2,1,5kN/m,50kN,141kN,125kN.m,M2375kN.m （左拉）,45,505,125,1410.7075,375kN.m,+55,1410.707,=25kN,50,1,2,dM/dx=Q 微分關(guān)系給出了內(nèi)力圖的形狀特征,N=PX,Q=Py,M=m,增量關(guān)系說明了內(nèi)力圖的突變特征,3） 積分關(guān)系：,由微分關(guān)系可得,QB=QAqydx,MBMA+Qdx,右端剪力等于左端剪力減去該段qy的合力； 右端彎矩等于左端彎矩加上該段剪力圖的面積。,1 ） 微分關(guān)系,3.2荷載與內(nèi)力之間的關(guān)系

5、,2） 增量關(guān)系,dN/dx=qx,dQ/dx=qy ， qy向下為正,內(nèi)力圖形狀特征,無何載區(qū)段,均布荷載區(qū)段,集中力作用處,平行軸線,斜直線,Q=0區(qū)段M圖 平行于軸線,Q圖,M圖,備注,二次拋物線 凸向即q指向,Q=0處，M 達到極值,發(fā)生突變,P,出現(xiàn)尖點 尖點指向即P的指向,集中力作用截面剪力無定義,集中力偶作用處,無變化,發(fā)生突變,兩直線平行,m,集中力偶作用面彎矩無定義,零、平、斜、拋,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,在自由端、鉸支座、鉸結(jié)點處，無集中力偶作用，截面彎矩 等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。,返回,=5020210kN,= 10+(5

6、0+10)22 =50kN.m,適用條件：AD段內(nèi)無集中力 作用。,適用條件：AD段內(nèi)無集中力 偶作用。,返回,1）簡支梁情況,幾點注意： 彎矩圖疊加，是指豎標相 加，而不是指圖形的拼合，豎 標M ，如同M、M一樣垂 直桿軸AB，而不是垂直虛線。 利用疊加法繪制彎矩圖可以 少求一些控制截面的彎矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 對以后利用圖乘法求位移，也 提供了把復雜圖形分解為簡單圖形的方法。,3.3 疊加法(superposition method)作彎矩圖,舉例,2）直桿情況,1、首先求出兩桿端彎矩，連一虛線； 2、然后以該虛線為基 線，疊加上簡支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖。,對于任意直桿

7、段，不論 其內(nèi)力是靜定的還是超靜 定的；不論是等截面桿或 是變截面桿；不論該桿段 內(nèi)各相鄰截面間是連續(xù)的 還是定向聯(lián)結(jié)還是鉸聯(lián)結(jié) 彎矩疊加法均適用。,舉例,返回,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷載作用下,（2）集中力偶作用下,（3）疊加得彎矩圖,（1）懸臂段分布荷載作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）疊加得彎矩圖,返回,ql2/2,ql2/4,ql2/8,qL,qL,M圖,Q圖,ql2/4,M 圖 (kN.m),55,5,D,F,1m,16kN.m,1m,2m,2m,1m,Q圖（kN）,7,36.1,H,CE段中點D的彎

8、矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大彎矩，梁中最大 彎矩在H點。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷載區(qū)段的中點彎矩與該段內(nèi)的 最大彎矩,一般相差不大,故常用中點彎矩作為最大彎矩！,M圖（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q圖的面積） 26+92.252 36.1（kN.m),3.4簡支斜梁計算,斜梁：,由整體平衡：,由分離體平衡可得：,斜梁與相應的水平梁相比反力相同，對應截面彎矩相同， 斜梁的軸力和剪力是水平梁的剪力的兩個投影。,MB,MA,ql2/8,斜梁的彎矩圖也可用疊加法繪制，但疊加的是相應水平 簡支梁的彎

9、矩圖，豎標要垂直軸線。,(由基本部分及附屬部分組成),將各段梁之間的約束解除仍能平衡其上外力的稱為基本部分, 不能獨立平衡,其上外力的稱為附屬部分，,附屬部分是支承在基本部分的，要分清構(gòu)造層次圖。,ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附屬部分。,3.5多跨靜定梁(statically determinate multi-span beam),橋梁示意圖、計算簡圖、構(gòu)造層次圖、傳力途徑,多跨靜定梁是主從結(jié)構(gòu)，其受力特點是：力作用在基本部 分時附屬部分不受力，力作用在附屬部分時附屬部分和基本部 分都受力。,多跨靜定梁可由平衡條件求出全部反力和內(nèi)力， 但為了避免解聯(lián)立方程，應先算附屬部分，再算

10、基本部分。,qa,a,a,a,2a,a,a,a,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q圖（kN）,M圖（kN.m）,50,M (kNm),例：確定圖示三跨連續(xù)梁C、D鉸的位置，使邊跨的跨中彎矩 與支座處的彎矩的絕對值相等,MG可按疊加法求得：,解得：,代入上式：,解得：,MG=ql2/12,MB=ql2/12,ql2/24,由于多跨靜定梁設(shè)置了帶伸臂的基本部分，這不僅使中 間支座處產(chǎn)生了負彎矩，它將降低跨中正彎矩;另外減少了附 屬部分的跨度。因此多跨靜定梁較相應的多個簡支梁彎矩分 布均勻，節(jié)省材料，但其構(gòu)造要復

11、雜一些！,演示,一、剛架的特點 剛架的內(nèi)部空間大，便于使用。 剛結(jié)點將梁柱聯(lián)成一整體，增大了結(jié)構(gòu)的剛度，變形小。 剛架中的彎矩分布較為均勻，節(jié)省材料。,幾何可 變體系,桁架,剛架,3-6 靜定剛架內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制(statically determinate frame),返回,常見的靜定剛架類型： 1、懸臂剛架,2、簡支剛架,3、三鉸剛架,4、主從剛架,二、剛架的反力計算（要注意剛架的幾何組成） 1、懸臂剛架、簡支剛架的反力由整體的三個平衡條件便可求出。 2、三鉸剛架的反力計算,整體平衡,左半邊平衡,整體平衡,=3kN,反力校核,C,如三鉸結(jié)構(gòu)是由三個單鉸組成的，用整體、半邊、整體的思路

12、求其反力。 如三鉸結(jié)構(gòu)中有虛鉸時，就要具體問題具體分析。不能使用這種方法。,三鉸剛架的反 力計算方法二 （雙截面法）,整體X=0，XA=ql， 左半邊Y=0， YA=0,右半邊Y=0， YB=0 整體Y=0 ，YA=0 整體：MA0 3qaa/2XBa0，XB=1.5qa,3、主從剛架求反力：需要分析其幾何組成順序，確定基本 部分和附屬部分。,由附屬部分ACD,由整體,校核：,三、靜定剛架內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制 求支座反力。 求控制截面的內(nèi)力?？刂平孛嬉话氵x在支承點、結(jié)點、 集中荷載作用點、分布荷載不連續(xù)點?？刂平孛姘褎偧軇澐殖?受力簡單的區(qū)段。 求出各控制截面的內(nèi)力值，根據(jù)每區(qū)段內(nèi)的荷載情況，

13、利用“零平斜彎”及疊加法作出內(nèi)力圖。 求截面的Q、N圖有兩種方法，一是由截面一邊的外力來求；另一種方法是首先作出M 圖；然后取桿件為分離體，建立矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力；最后取結(jié)點為分離 體，利用投影平衡由桿端剪力求桿端軸力。當剛架構(gòu)造較復雜 （如有斜桿）或者是外力較多時，計算內(nèi)力較麻煩時，采用第二種方法。 結(jié)點處有不同的桿端截面。各截面上的內(nèi)力用該桿兩端 字母作為下標來表示，并把該端字母列在前面。 注意結(jié)點的平衡條件。,MDA、QDC,Y=0 Y=0 MA0,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,X =

14、 88 = 0,Y = 6（6） = 0,M = 248 16 = 0,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,8,16,24,M kN.m,8,6,Q kN,N kN,6,作內(nèi)力圖,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDA=8kN.m（左拉）,剛架內(nèi)力圖繪制要點： 分段。定形。求值。畫圖。,1、整體平衡求反力如圖,2、定形： 3、求值：,NCA=qa/2， QCA=qaqa=0， MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0， QCB=qa/2， MCB=qa2/2（下

15、拉）,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M圖,N圖,Q圖,校核：,滿足： X0 Y0 M0,在剛結(jié)點上,各桿端彎矩和結(jié)點集中 力偶應滿足結(jié)點的力矩平衡。尤其是兩 桿相交的剛結(jié)點，無結(jié)點集中力偶作用 時，兩桿端彎矩應等值，同側(cè)受拉。,例: 試繪制下圖所示剛架的彎矩圖。,RB,O,a,作剛架Q、N圖的另一種方法：首先作出M圖；然后取桿件 為分離體，建立矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力；最后取 結(jié)點為分離體，利用投影平衡由桿端剪力求桿端軸力。,a,q,A,B,C,M圖,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 Q

16、AC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2,N圖（kN）,M圖（kN.m）,3m,3m,3m,A,B,q=4kN/m,1.5m,C,D,E,Q圖（kN）,MD=6QCD3.350 QCD=1.79(kN)=QDC,MC=6+3 41.5+3.35QEC0 QEC= 7.16kN ME=6 3 4 1.5+3.35QCE0 QCE= 3.58kN,3.13,5.82,求圖示聯(lián)合剛 架的彎矩圖。,解：1、求反力,2、求內(nèi)部約束力,取ABC,取BC,解得：,取ABC,同理可得右半部分的約束內(nèi)力：,

17、8Pa,8Pa,2Pa,2Pa,16Pa,4Pa,可以不求反力，由自由端開始作內(nèi)力圖。,ql,ql2/2,2q,2q,6q,四、不求或少求反力繪制彎矩圖 根據(jù)結(jié)構(gòu)特點和荷載特點，利用彎矩圖與荷載、支承、聯(lián)結(jié)之間的對應關(guān)系，可以不求或少求支座反力，迅速繪制出彎矩圖。下面結(jié)合具體例子，說明快速繪制彎矩圖的方法。,1、懸臂剛架,2、簡支型剛架彎矩圖,簡支型剛架繪制彎矩圖往往只須求出一個與桿件垂直的反力,然后由支座作起,ql2/2,qa2/2,qa2/2,注意:BC桿CD桿的 剪力等于零,彎矩圖 于軸線平行,ql2/2,3、三鉸剛架彎矩圖,1 反力計算 整體 MA= qa2+2qa22aYB=0 (1

18、) 右半邊 MC=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 在由整體平衡 X=0 解得 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa,2 繪制彎矩圖,qa2,注:三鉸剛架繪制彎矩圖往往只須求一水平反力,然后由 支座作起！,qa2/2,0,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,a,a,a,a,M/2,M,M/2,畫三鉸剛架彎矩圖,注: 1：三鉸剛架僅半邊有荷載，另半邊為二力體，其反力沿兩 鉸連線，對o點取矩可求出B點水平反力，由B支座開始作彎矩圖。 2：集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變前后兩條線平行。 3：三鉸剛架繪制彎

19、矩圖時，關(guān)鍵是求出一水平反力！,Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/(2a),a,a,a,M,A,B,C,三鉸剛架彎矩圖,整體對O點建立平衡方程得 MO=ql1.5l+2lXA=0 得 XA=3ql/4,RB,ql2/4,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M圖（kN.m）,繪制彎矩圖時，可以利用彎矩圖 與荷載、支承及連結(jié)之間的對應關(guān)系， 不求或只求部分約束力。,4、主從結(jié)構(gòu),80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M圖 kM.m,僅繪M圖,并不需要 求出全部反力.,然后先由A.B支座開始 作彎矩圖.,先由AD Y=0 得 YA=80kN,再由整體 X=0 得

20、XB=20kN,MEA=806206/2=120,5、定向支座處、定向連接處剪力等零，剪力等零桿段彎矩圖平 行軸線。注意這些特點可以簡化支座反力計算和彎矩圖繪制。,XA=ql， YA=0,M,A,a,a,a,q,B,4.5qa2,M圖,Ph,Ph,Ph,2Ph,右半邊Y=0 YB=0YA=0 整體：MA0 3qaa/2XBa0 XB=1.5qa,求繪圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。,ql2,1.5ql2,0.9ql2,ql2,6、對稱性的利用,對稱結(jié)構(gòu)(symmetrical structure)： 幾何形狀、支撐和剛度都關(guān)于某軸對稱的結(jié)構(gòu)。但是， 由于靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與剛度無關(guān)，所以，只要靜定結(jié)構(gòu)的形 狀、

21、支撐對稱，就可利用對稱性進行內(nèi)力計算。,荷載的對稱性： 對稱荷載(symmetrical load) ：繞對稱軸對折后，對稱軸 兩邊的荷載作用點重合、值相等、方向相同。所以，在大小 相等、作用點對稱的前提下，與對稱軸垂直反向布置、與對 稱軸平行同向布置、與對稱軸重合的荷載是對稱荷載。,反對稱荷載(antisymmetrical load) ：繞對稱軸對折后， 對稱軸兩邊的荷載作用點重合、值相等、方向相反。所以， 在大小相等、作用點對稱的前提下，與對稱軸垂直同向布置 的荷載；與對稱軸平行反向布置的荷載；垂直作用在對稱 軸上的荷載；位于對稱軸上的集中力偶是反對稱荷載。,與對稱有關(guān)的重要結(jié)論 對稱結(jié)

22、構(gòu)在對稱荷載的作用下，反力、內(nèi)力都成對稱分 布，彎矩圖、軸力圖是對稱的，剪力圖是反對稱的。作出對 稱軸上的微元體受力圖。由微元體的平衡條件可得到：對稱 軸上的截面剪力為零；與對稱軸重合的桿彎矩、剪力為零。,對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載的作用下，反力、內(nèi)力都成反對 稱分布，彎矩圖、軸力圖是反對稱的，剪力圖是對稱的。作 出對稱軸上的微元體受力圖。由微元體的平衡條件可得到： 對稱軸上的截面彎矩、軸力為零；與對稱軸重合的桿軸力為零。,ql2/8,24kN.m,X,繪制圖示結(jié) 構(gòu)的彎矩圖,o,12,6,6,12,對稱結(jié)構(gòu)在反對成荷載作用下，彎矩圖呈反對稱分布。,12,四、不求或少求反力繪制彎矩圖,1、懸臂剛架不

23、求反力，由自由端開始作起。,2、簡支型剛架繪制彎矩圖往往只須求出與 桿件垂直的反力,然后由支座作起。,3、三鉸剛架繪制彎矩圖往往只須求一水 平反力，然后由支座作起。,4、主從結(jié)構(gòu)繪制彎矩圖要分析其幾何組成， 先由附屬部分做起。,5、定向支座處、定向連接處剪力等零，剪力 等零桿段彎矩圖平行軸線。,6、對稱性的利用,對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載的作用下彎矩圖是對稱的。,對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載的作用下彎矩圖是反對稱的。,利用上述內(nèi)力圖與荷載、支承和聯(lián)結(jié)之間的對應關(guān)系，可在繪制內(nèi)力圖時減少錯誤，提高效率。 另外，根據(jù)這些關(guān)系，常可不經(jīng)計算直觀檢查M圖的輪廓是否正確。,M圖與荷載情況是否相符。,M圖與結(jié)點性質(zhì)、約束情況是否相符。,作用在結(jié)點上的各桿端彎矩及結(jié)點集 中力偶是否滿足平衡條件。,溫故而知新,內(nèi)力圖形狀特征,1.無何載區(qū)段,2.均布荷載區(qū)段,3.集中力作用處,平行軸線,斜直線,Q