1、13.2直接證明與間接證明,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.直接證明 (1)綜合法 定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.,知識梳理,已知條件,思維過程：由因?qū)Ч?,(2)分析法 定義：從 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,思維過程：執(zhí)果索因.,問題的結(jié)論,2.間接證明 反證法：要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題). 這個過程包括下面3個步驟： (1)

2、反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； (2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.() (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“ab”.() (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾.() (5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),考點自測,1.(2016揚(yáng)州質(zhì)檢)已知點An(n，

3、an)為函數(shù)y 圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_.,答案,解析,cn1cn,由條件得,則cn隨n的增大而減小，cn1cn.,2.(2016北京改編)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則下列結(jié)論正確的是_. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； 乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多； 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球； 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多.,答案,解析,取兩個球

4、往盒子中放有4種情況： (1)紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1； (2)黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1； (3)紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1； (4)黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1. 因為紅球和黑球個數(shù)一樣，所以(1)和(2)的情況一樣多.(3)和(4)的情況完全隨機(jī)，(3)和(4)對中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.(1)和(2)出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上，正確.,3.要證a2b21a2b20只要證明_(填正確的序號). 2ab1a2b20；,答案,解析,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,

5、a0，b0且ab,5.(2016鹽城模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，有 f( )，已知函數(shù)ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值為_.,答案,解析,f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且A，B，C(0，).,題型分類深度剖析,題型一綜合法的應(yīng)用,例1(2016宿遷模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1. 證明：(1)abbcac ；,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 得a2b2c2abbcca， 由題設(shè)得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,證明,證明

6、,(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù) (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；,證明,取x1x20，則x1x201， f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 又對

7、任意的x0,1，總有f(x)0， f(0)0.于是f(0)0.,(2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù),解答,對于f(x)2x，x0,1， f(1)2不滿足新定義中的條件， f(x)2x(x0,1)不是理想函數(shù) 對于f(x)x2，x0,1，顯然f(x)0，且f(1)1. 對任意的x1，x20,1，x1x21， f(x1x2)f(x1)f(x2),即f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù),對任意的x1，x20,1，x1x21，,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2. f(x1x2)f(x1)f(

8、x2)，不滿足條件.,綜上，f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù)，,題型二分析法的應(yīng)用,證明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2， 即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2， 即證cos(x1x2)1.,證明,由于x1，x2R時，,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 (2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜

9、合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證,思維升華,請你根據(jù)上述特點，提煉出一個一般性命題(寫出已知，求證)，并用分析法加以證明,解答,只需證a(bm)b(am)，只需證ambm，,只需證ab，由已知得ab成立，,題型三反證法的應(yīng)用,命題點1證明否定性命題,(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；,解答,(2)設(shè)bn (nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列,證明,假設(shè)不成立，即數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列,命題點2證明存在性問題 例4若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(ab)，則稱函數(shù)f(x)是a，b上的“四維光軍”函數(shù),解答,區(qū)間1，b在對稱軸的

10、右邊， 所以函數(shù)在區(qū)間1，b上單調(diào)遞增由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)1，g(b)b，,因為b1，所以b3.,(2)是否存在常數(shù)a，b(a2)，使函數(shù)h(x) 是區(qū)間a，b上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由,解答,解得ab，這與已知矛盾故不存在,命題點3證明唯一性命題 例5已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意f(x)M，方程f(x)x0有實數(shù)根； 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1.,解答,當(dāng)x0時，f(0)0，所以方程f(x)x0有實數(shù)根0；,(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域為D，則對于任意m，nD，都存在

11、x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根,證明,假設(shè)方程f(x)x0存在兩個實數(shù)根， ()，則f()0，f()0. 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在c(，)， 滿足f()f()()f(c) 因為f()，f()，且，所以f(c)1. 與已知0f(x)1矛盾 又f(x)x0有實數(shù)根， 所以方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根,應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有以下幾個步驟 第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因

12、在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真 所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知其實矛盾，與臨時假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)0，且00. (1)證明： 是函數(shù)f(x)的一個零點；,證明,f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點， f(x)0有兩個不等實根x1，x2， f(c)0，x1c是f(x)0的根，,(2)試用反證法證明 c.,證明,典例(14分)直線ykxm(m0)與橢圓W： y21相交于A、C兩點，O是坐標(biāo)原點 (1

13、)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長； (2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形,反證法在證明題中的應(yīng)用,思想與方法系列25,思想方法指導(dǎo),規(guī)范解答,在證明否定性問題，存在性問題，唯一性問題時?？紤]用反證法證明，應(yīng)用反證法需注意： (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的 (2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法 (3)利用反證法證明時，一定要回到結(jié)論上去,返回,(1)解因為四邊形OABC為菱形

14、， 則AC與OB相互垂直平分 由于O(0,0)，B(0,1)，,(2)證明假設(shè)四邊形OABC為菱形， 因為點B不是W的頂點，且ACOB，所以k0.,消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.7分 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則,因為M為AC和OB的交點，且m0，k0，,所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾 所以當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形 14分,返回,課時作業(yè),1.(2017泰州月考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是_,答案,解析,因為“方程x2axb0至少有一個實根” 等價于“方程x2axb0有一個實根或兩

15、個實根”， 所以該命題的否定是“方程x2axb0沒有實根”,方程x2axb0沒有實根,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016江蘇質(zhì)量監(jiān)測)對累乘運(yùn)算有如下定義： =a1a2an，則下列命題中的真命題是_,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,都大于2 至少有一個大于2 至少有一個不小于2 至少有一個不大于2,當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立 所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，正確,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,P2Q2，P

16、Q.,PQ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件： ab1；ab2；ab2；a2b22； ab1. 其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,但a2，故推不出； 若a2，b3，則ab1，故推不出； 對于，即ab2， 則a，b中至少有一個大于1， 反證法：假設(shè)a1且b1， 則ab2，與ab2矛盾， 因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個大于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,ABC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

17、10,11,12,13,7.(2016全國甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.,1和3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，又甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”.,1,2,3,4

18、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內(nèi)至少,答案,解析,存在一點c，使f(c)0，則實數(shù)p的取值范圍是_.,若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以要證的不等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證：f(x )為偶函數(shù).,證明,由函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

19、可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)ax (a1). (1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,任取x1，x2(1，)， 不妨設(shè)x10. a1， 且 0， 又x110，x210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

20、,12,13,12.(2015陜西)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，xn的各項和，其中x0，nN，n2.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,Fn(x)fn(x)21xx2xn2， 則Fn(1)n10，,又Fn(x)12xnxn10(x0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因為xn是Fn(x)的零點，所以Fn(xn)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)和gn(x)的大小，并加以證明.,解答,1,2,3

21、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)h(x)fn(x)gn(x),當(dāng)x1時，fn(x)gn(x)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減， 所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)， 綜上所述，當(dāng)x1時，fn(x)gn(x)； 當(dāng)x1時，fn(x)gn(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法二由題設(shè)，fn(x)1xx2xn，,當(dāng)x1時，fn(x)gn(x)， 當(dāng)x1時，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(x)gn(x)，,所以f2(x)g2(x)成立，,假設(shè)nk(k2)時，不等式成立，即fk(x)gk(x)， 那么，當(dāng)nk1時，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1,令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)， 則hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1 k(k1)xk1(x1)， 所以當(dāng)0 x1時，hk(x)0，hk(x)在(0,1)上遞減；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,