1、,本章主要內(nèi)容：,1、了解動(dòng)量、角動(dòng)量的概念 2、掌握動(dòng)量及角動(dòng)量定理的內(nèi)容與應(yīng)用 3、掌握動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒定律 4、 碰撞,定義,1、瞬時(shí)性 2、矢量性 3、相對(duì)性,1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,在直角坐標(biāo)系中：,在國(guó)際單位制（SI）千克米/秒（kgm/s）,2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,一、動(dòng) 量,二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,由牛頓第二定律,表示力的時(shí)間累積，叫時(shí)間d t 內(nèi)合外力 的沖量。,1）微分形式：,2）積分形式：,若為恒力：,1、 沖量,2、動(dòng)量定理,1）微分形式：,2）積分形式：,對(duì)上式積分，,在一個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。,1、反映了過程量與狀態(tài)量的關(guān)系。,3、只適用于慣性系。,3

2、、動(dòng)量定理分量形式,系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動(dòng)量在該方向上分量的增量。,在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為,1) 沖力 : 碰撞過程中物體間相互作用時(shí)間極短，相互作用力 很大，而且往往隨時(shí)間變化，這種力通常稱為沖力。,若沖力很大, 其它外力可忽略時(shí), 則：,若其它外力不可忽略時(shí), 則 是合外力的平均。,2) 平均沖力 : 沖力對(duì)碰撞時(shí)間的平均值。,即：,4、動(dòng)量定理的應(yīng)用 增大、減小沖力作用,三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程,由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：,N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：,即,質(zhì)點(diǎn)系所受合外力等于系統(tǒng)總動(dòng)量的變化率。,內(nèi)力可以改變一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但對(duì)系統(tǒng)總動(dòng)量的改變無貢獻(xiàn)。,1

3、、微分形式：,動(dòng)量定理的微分式,在一個(gè)過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)在同一時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。,2 、積分形式：,由 得：,對(duì)上式積分，,四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,3 、動(dòng)量定理分量形式,在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為,系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動(dòng)量在該方向上分量的增量。,例題4-1 人在跳躍時(shí)都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的 撞擊力。 若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會(huì)發(fā)生什么情況？,解 設(shè)人的質(zhì)量為M，從高h(yuǎn) 處跳向地面，落地的速率為v0 ，與地面碰撞的時(shí)間為t ，重心下移了s 。,由動(dòng)量定理得：,設(shè)人落地后作勻減速運(yùn)動(dòng)到靜止，則：,設(shè)人從 2m 處跳下，重心下移

4、 1cm，則：,可能發(fā)生骨折。,設(shè)人的體重為70 kg，此時(shí)平均沖力：,解 選取車廂和車廂里的煤 m 和即將落 入車廂的煤 d m 為研究對(duì)象。 取水平向右為正。,t 時(shí)刻系統(tǒng)的水平總動(dòng)量：,t + dt 時(shí)刻系統(tǒng)的水平總動(dòng)量:,dt 時(shí)間內(nèi)水平總動(dòng)量的增量：,由動(dòng)量定理得：,例題4-2 一輛裝煤車以v = 3m/s 的速率從煤斗下面通過，每秒落入車廂的煤為m = 500 kg。如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車廂？ （摩擦忽略不計(jì)),動(dòng)量守恒定律,2、 有以下幾種情況：,不受外力。,則：,即,系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。, 外力矢量和為零。,1、 并不意味著每個(gè)質(zhì)

5、點(diǎn)的動(dòng)量是不變的。,3、各速度應(yīng)是相對(duì)同一慣性參考系。,4、動(dòng)量守恒定律比牛頓運(yùn)動(dòng)定律更基本，應(yīng)用更廣泛。, 內(nèi)力 外力。,內(nèi)力使系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)交換動(dòng)量，但不影響系統(tǒng)總動(dòng)量。, 若系統(tǒng)所受的合外力雖然不為零,但合外力在某一 方向的分量為零,則系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒。即：,例題4-3 質(zhì)量為m1 ，仰角為 的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)量為m2 的炮彈，炮彈發(fā)射時(shí)相對(duì)炮身的速率為u ，不計(jì)摩擦。 求 1）炮彈出口時(shí)炮車的速率v1 。 2）發(fā)射炮彈過程中，炮車移動(dòng)的距離( 炮身長(zhǎng)為L(zhǎng) ) 。,解 1）選炮車和炮彈為系統(tǒng)，地面為參考系，選坐標(biāo)系如圖。,由x 方向的動(dòng)量守恒可得：,由相對(duì)速度：,得：,水平方向不受外力

6、，系統(tǒng)總動(dòng)量沿 x 分量守恒。,設(shè)炮彈相對(duì)地面的速度為v2 。,解得：,“”號(hào)表示炮車反沖速度與x 軸正向相反。,2 ）若以u(píng) ( t ) 表示炮彈在發(fā)射過程中任一時(shí)刻，炮彈相對(duì)炮 車的速率，則此時(shí)炮車相對(duì)地面的速率,設(shè)炮彈經(jīng) t 秒出口，在 t 秒內(nèi)炮車沿水平方向移動(dòng)了：,例題4-4 光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊A,B的質(zhì)量均為m,彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，其一端固定在O點(diǎn)，另一端與滑塊A接觸，開始時(shí)滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑塊A脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上升，升到C點(diǎn)與軌道脫離，OC與豎直方向成

7、60，求彈簧被壓縮的距離x.,解：設(shè)滑塊A離開彈簧時(shí)速度為v,在彈簧恢復(fù)原形的過程中機(jī)械能守恒,A脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速度，A靜止，B以初速v沿圓環(huán)軌道上升。,B在圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,當(dāng)滑塊B沿半圓環(huán)軌道上升到C點(diǎn)時(shí)，滿足,聯(lián)立求解可得,例題4-5 兩個(gè)帶理想彈簧緩沖器的小車A 和 B，質(zhì)量分別為m1 、m2，B不動(dòng)，A 以速度 與B 碰撞，已知兩車的的倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1 、k2，在不計(jì)摩擦的情況下，求兩車相對(duì)靜止時(shí)，其間的作用力為多少？,解 以兩小車為研究對(duì)象。,其碰撞過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；動(dòng)量守恒。,由牛頓第三定律：,聯(lián)立上式：,例題補(bǔ)充

8、 質(zhì)量為M 的木塊在光滑的固定斜面上由 A 點(diǎn)靜止下滑，經(jīng)路程 l 到 B 點(diǎn)時(shí)，木塊被一水平射來的子彈擊中子彈（m、v）射入木塊中，求射中后二者的共同速度。,解 分為兩個(gè)階段：,第一階段：從 A 運(yùn)動(dòng)到 B，勻加速運(yùn)動(dòng)：,第二階段：碰撞階段,取木塊與子彈組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，沿斜面方向， 內(nèi)力 外力，可用動(dòng)量守恒定律求近似解。,可解得：,一、質(zhì)心,N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),位矢分別為,定義：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢,即,對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系,在直角坐標(biāo)系中：,1）幾何形狀對(duì)稱的均質(zhì)物體，質(zhì)心就是幾何對(duì)稱中心。,2）有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上。,三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,質(zhì)心的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量,由

9、兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：,上一張幻燈片,例題4-6 一長(zhǎng)為L(zhǎng) ，密度分布不均勻的細(xì)桿，其質(zhì)量線密度 , 為常量，x 從輕端算起，求其質(zhì)心。,解 取細(xì)桿的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為 x 處取微元 d x。,例題補(bǔ)充 如圖所示，浮吊的質(zhì)量M = 20 t，從岸上吊起m = 2 t的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角由600轉(zhuǎn)到300 ，設(shè)桿長(zhǎng)l = 8 m，水的阻力與桿重略而不計(jì)，求浮吊在水平方向上移動(dòng)的距離。,取質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè) 在由600 轉(zhuǎn)到300 時(shí)，吊車在水平方向上移動(dòng)的距離為x1 ，重物移動(dòng)的距離為x2 。,解 取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。由于系統(tǒng)所受

10、的合外力為零，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心保持原來的靜止位置不動(dòng)。,在 = 60 0 時(shí),在 = 30 0 時(shí)：,大?。?方向：由右手螺旋定則確定。,SI 中 ： kgm 2 / s,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。,一、角動(dòng)量,1）矢量性,2）相對(duì)性,原點(diǎn)O 選取的不同，則位置矢量不同，角動(dòng)量也不同。,1、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量,3） 的直角坐標(biāo)系中的分量式,4）兩個(gè)特例,做圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) m 對(duì)圓心O 的角動(dòng)量,方向： 與 同向，垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面， 與質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞向成右手螺旋關(guān)系。,結(jié)論：做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量是恒量。,做直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)。,大?。?方向：由右手螺旋定則確定。,

11、t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：,大?。?方向：與 同向。,1）若物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)同一參考點(diǎn)O，則,2）若O 取在直線上，則：,t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：,2、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和。,二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,1、力矩,1）大?。?，d 為力臂。,方向：由右手螺旋定則確定。,質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在力 的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)。力 對(duì)參考點(diǎn)O 的力矩 為:,SI 中 ：Nm,2）在直角坐標(biāo)系中,3）相對(duì)性：依賴于參考點(diǎn)O 的選擇。,4）作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力矩等于合外力的力矩。,2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,將角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)所受的

12、合外力矩等于它的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。,微分形式,積分形式,角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的角沖量。,表示作用于質(zhì)點(diǎn)上的力矩在（t 2t 1）內(nèi)的 時(shí)間積累效應(yīng)，稱為力矩的角沖量或沖量矩。,例題4-8 質(zhì)量為m、線長(zhǎng)為l 的單擺，可繞點(diǎn)O 在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: 擺線與水平線成角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn)O 的角動(dòng)量； 擺球到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，角速度的大小。,解 任意位置時(shí)受力為：重力；張力。,由角動(dòng)量定理,瞬時(shí)角動(dòng)量：,重力對(duì)O 點(diǎn)的力矩：,方向：,張力對(duì)O 點(diǎn)的力矩為零。,三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩,質(zhì)點(diǎn)系所受的合內(nèi)力矩,質(zhì)點(diǎn)系

13、角動(dòng)量的時(shí)間變化率,微分形式,質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間變化率 。,積分形式,質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。,只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)，內(nèi)力矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，但不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量。,作用力與反作用力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的矢量和為零。,設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第 j 個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力分別為：,兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)的位置矢量分別為：,則兩個(gè)力對(duì)參考點(diǎn)的力矩為,大?。?大?。?一、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律,若質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩,若對(duì)某一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律,例如，地球衛(wèi)星繞地球

14、轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)地球的角動(dòng)量守恒。,1、孤立體，,2、有心力， 與位矢 在同一直線上，從而 。,3、當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力矩對(duì)某一方向的分量為零時(shí)， 則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿此方向的分量守恒。,解 如圖，行星在太陽(yáng)引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，t時(shí)間內(nèi)行星徑矢掃過的面積,由于行星只受有心力作用，其角動(dòng)量守恒,例題4-9 利用角動(dòng)量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的徑矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積(面積速度)是常量。,面積速度:,例題補(bǔ)充 用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)， 其半徑為r0 ，角速度為 ?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r 時(shí)小球的角速度。,解 選取平

15、面上繩穿過的小孔O為原點(diǎn)。,所以小球?qū) 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。,因?yàn)槔K對(duì)小球的的拉力 沿繩指向小孔，則力 對(duì)O 點(diǎn)的力矩：,二、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律, 角動(dòng)量守恒定律,質(zhì)點(diǎn)系不受外力矩作用或所受外力矩對(duì)某參考點(diǎn)的力矩 之和為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。,1）質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)不受外力。,合外力矩等于零可以分三種情況：,2）質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)受的外力都通過參考點(diǎn)。各質(zhì)點(diǎn)受的外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩都為零，合外力矩必定等于零。,3）各質(zhì)點(diǎn)受的外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩不為零，但它們的矢量和為零。,合外力為零不一定合外力矩等于零！,例題 質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿，可繞垂直于棒一端點(diǎn)的 軸O 無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。若細(xì)桿豎直

16、懸掛，現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的彈性小球飛來，與細(xì)桿碰撞，問小球與細(xì)桿相碰過程中，球與桿 組成的系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒？對(duì)于過 O點(diǎn)的軸的角動(dòng)量是否守恒？,合外力不為零，則系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。,合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。,守恒條件：,例:,例題4-11 兩人質(zhì)量相等,位于同一高度，各由繩子一端開始爬繩， 繩子與輪的質(zhì)量不計(jì)，軸無摩擦。他們哪個(gè)先達(dá)頂？,解 選兩人及輪為系統(tǒng)，O 為參考點(diǎn)，取垂直板面向外為正。,系統(tǒng)所受外力如圖。,產(chǎn)生力矩的只有重力。,系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動(dòng)量守恒。,即兩人同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。,解 取三個(gè)小球和細(xì)桿組成的系統(tǒng)， O點(diǎn)為參考點(diǎn)，各系統(tǒng)所受的合外力 矩為零。所以，系統(tǒng)的角

17、動(dòng)量守恒。,解 取小球與地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。,由角動(dòng)量守恒得,聯(lián)立解得,例題4-13 質(zhì)量為m的小球A,以速度v0沿質(zhì)量為M半徑為R的地球表面切向水平向右飛出，地軸OO 與v0平行，小球A的運(yùn)動(dòng)軌道與軸OO 相交于點(diǎn)C,OC=3R,若不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求小球A在點(diǎn)C的速度與OO軸之間的夾角。,一、碰撞及其分類,完全非彈性碰撞 碰撞后粘在一起，不再分開，以相同的 速度運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能損失最大。,1、碰撞：物體之間相互作用時(shí)間極短的現(xiàn)象。,不一定接觸,2、碰撞的特點(diǎn)：t 極短，內(nèi)力 外力,3、碰撞分類,彈性碰撞 碰撞后形變消失，無機(jī)械能損失。,非彈性碰撞 碰撞后形變不能完全恢復(fù)，部分機(jī)械

18、能 變成內(nèi)能。,無外力：動(dòng)量守恒 （質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)） 無外力矩：角動(dòng)量守恒（質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體）,二、守恒定律與碰撞,質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的碰撞動(dòng)量守恒；,質(zhì)點(diǎn)與非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體碰撞，動(dòng)量守恒，相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量守恒；機(jī)械能是否守恒，與碰撞種類有關(guān)，只有彈性碰撞時(shí)，機(jī)械能守恒。,質(zhì)點(diǎn)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體碰撞，因轉(zhuǎn)軸沖力的作用，動(dòng)量不守恒，但角動(dòng)量守恒；,三、正碰,兩個(gè)小球相互碰撞，如果碰后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和碰前的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或?qū)π呐鲎病?1、碰撞定律,設(shè)兩個(gè)質(zhì)量分別為m1、m2的小球，碰撞前兩球的速度分別為v10 、v20 ，碰撞后兩球的速度分別為v1 、v2 。,牛頓認(rèn)為碰撞后的分離速率 與碰撞前兩球的