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1、第七章 多元函數(shù)微分學(xué)第七節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用,1. 設(shè)空間曲線(xiàn)的方程,(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).,一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面,考察割線(xiàn)趨近于極限位置切線(xiàn)的過(guò)程,上式分母同除以,曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)方程,切向量：切線(xiàn)的方向向量稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.,法平面：過(guò)M點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的平面.,解,切線(xiàn)方程,法平面方程,2. 空間曲線(xiàn)方程為,法平面方程為,例2,3.空間曲線(xiàn)方程為,也可直接用求導(dǎo)公式：,切線(xiàn)方程為,法平面方程為,方法2,所求切線(xiàn)方程為,法平面方程為,所求切線(xiàn)方程為,法平面方程為,1. 設(shè)曲面方程為,二、曲面的切平面與法線(xiàn),引理,曲線(xiàn)在M0處的切向量,證 設(shè)M0 (x0,y0,z0)為曲面上一定

2、點(diǎn)，在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)M0的曲線(xiàn),可見(jiàn),法線(xiàn)方程為,由前面的討論可知曲面在M處的法向量即,所以切平面方程為,解,令,切平面方程,法線(xiàn)方程,2. 空間曲面方程為,曲面在M處的切平面方程為,曲面在M處的法線(xiàn)方程為,令,其中,解,切平面方程為,法線(xiàn)方程為,解,設(shè) 為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為,依題意，切平面方程平行于已知平面，得,因?yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，,所求切點(diǎn)為,滿(mǎn)足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),曲面的夾角,兩個(gè)曲面在交線(xiàn)上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線(xiàn)的夾角稱(chēng)為這兩個(gè)曲 面在該點(diǎn)的夾角。,如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于 90 度，則稱(chēng)這兩個(gè)曲面在 該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線(xiàn)的每一點(diǎn)都正交，則稱(chēng)這兩曲 面為正交曲面。,例 7 證明對(duì)任意常數(shù) ，球面 與錐 面 是正交的。,即,證明,球面 的法線(xiàn)方向數(shù)為,錐面 的法線(xiàn)方向數(shù)為,在兩曲面交線(xiàn)上的任一點(diǎn) 處，兩法向量的內(nèi)積,因 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面與錐面正交。,解,設(shè)切點(diǎn),依題意知法向量為,切

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