1、第七章 分子物理學(xué)（Molecular Physics),熱學(xué)的研究對(duì)象 熱運(yùn)動(dòng)：構(gòu)成宏觀(guān)物體的大量微觀(guān)粒子的永不休止 的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng). 熱現(xiàn)象：與溫度有關(guān)的物理性質(zhì)的變化,研究方法不同產(chǎn)生兩門(mén)分支學(xué)科： 熱力學(xué)：宏觀(guān)描述 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)：微觀(guān)描述,熱學(xué)研究熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其對(duì)物質(zhì)宏觀(guān)性質(zhì)的影響，以及與物質(zhì)其他運(yùn)動(dòng)形態(tài)之間的轉(zhuǎn)化規(guī)律。,熱力學(xué)是研究物質(zhì)熱運(yùn)動(dòng)的宏觀(guān)理論。從基本實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)，通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)演繹，找出物質(zhì)各種宏觀(guān)性質(zhì)的關(guān)系，得出宏觀(guān)過(guò)程進(jìn)行的方向及過(guò)程的性質(zhì)等方面的結(jié)論。,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)或統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究方法：從物質(zhì)的微觀(guān)結(jié)構(gòu)出發(fā)，按每個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的粒子所遵循的力學(xué)規(guī)律，用統(tǒng)計(jì)方法求出系統(tǒng)

2、的宏觀(guān)的熱學(xué)規(guī)律，揭示熱現(xiàn)象的微觀(guān)本質(zhì)。,第一節(jié) 分子熱運(yùn)動(dòng)及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律,一、分子動(dòng)理論的基本觀(guān)點(diǎn),1.宏觀(guān)物體是由大量分子所組成的，分子間有間隙。 2.物體內(nèi)的分子都在永不停息的運(yùn)動(dòng)著。 3.分子間存在相互作用力。,分子動(dòng)理論是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)最基本、最簡(jiǎn)單的內(nèi)容，它是從物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)出發(fā)，對(duì)分子運(yùn)動(dòng)及相互作用提出一定的假設(shè)模型，再根據(jù)每個(gè)分子所遵從的力學(xué)規(guī)律，利用統(tǒng)計(jì)方法找出熱運(yùn)動(dòng)的宏觀(guān)量（如壓強(qiáng)、溫度等）與分子運(yùn)動(dòng)微觀(guān)量的統(tǒng)計(jì)平均值之間的關(guān)系。,二、分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,分子運(yùn)動(dòng)描述： 微觀(guān)量（microscopic quantity)：用來(lái)表征個(gè)別分子性質(zhì)的物 理量（不能直接測(cè)量)，如:單

3、個(gè)分子的質(zhì)量，速度。 宏觀(guān)量(macroscopic quantity):用來(lái)表征大量分子集體特征的 量（可直接測(cè)量），如氣體的溫度、體積、壓強(qiáng)等。,分子運(yùn)動(dòng)特征： 單個(gè)分子：無(wú)序、具有偶然性、遵循力學(xué)規(guī)律（微觀(guān)本質(zhì)）， 大量分子：服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律（宏觀(guān)表現(xiàn)）,熱運(yùn)動(dòng)的基本特征：,* 1mol 的氣體中含有 N=6.022 1023 個(gè)分子,*氣體兩分子間的平均距離是本身線(xiàn)度 10 -10m 的10 倍,*分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率是,*分子的平均碰撞頻率是,（10億次）,*平均自由程,總之,分子在作雜亂無(wú)章的永不停息的熱運(yùn)動(dòng),宏觀(guān)量是大量粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，決定 于微觀(guān)量的統(tǒng)計(jì)平均值。,研究分子運(yùn)動(dòng)就

4、是要對(duì)大量的分子應(yīng)用正確的統(tǒng)計(jì)方法，得到合理的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。因此，引入以下一些基本概念：,概率（probability） 統(tǒng)計(jì)平均值（statistical mean value) 漲落(fluctuation)。,第二節(jié) 理想氣體分子動(dòng)理論,一、理想氣體物態(tài)方程,狀態(tài)參量(state parameter)：描述狀態(tài)的物理量,對(duì)氣體，有三個(gè)重要的參量： 體積(V )、壓強(qiáng)(p )、溫度(T )，注意各量的單位。,平衡態(tài)(equilibrium state)：在不受外界影響的條件下，（與外界無(wú)物質(zhì)，能量交換）系統(tǒng)的宏觀(guān)性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài)。,理想氣體的物態(tài)方程 (State Equation fo

5、r Ideal Gas) ：,對(duì)于質(zhì)量為M、摩爾質(zhì)量為的理想氣體，有：,其中氣體常量R可由阿伏伽德羅定律求出：,理想氣體（ideal gas）：任何情況下絕對(duì)遵循三個(gè)實(shí)驗(yàn) 定律的氣體稱(chēng)為理想氣體。,二、理想氣體的微觀(guān)模型,氣體分子熱運(yùn)動(dòng)(chaotic motion)基本特征：,1、氣體分子大小與分子間距相比較可忽略。,3、碰撞為完全彈性碰撞，碰撞前后分子動(dòng) 能不變。,質(zhì) 點(diǎn),自由質(zhì)點(diǎn),彈性質(zhì)點(diǎn),理想氣體的微觀(guān)模型： 自由地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的彈性質(zhì)點(diǎn)集合。,2、除碰撞外，分子間及分子與容器壁之間 均無(wú)相互作用。,平衡態(tài)理想氣體的統(tǒng)計(jì)假設(shè),1、容器單位體積內(nèi)的分子數(shù)即分子數(shù)密度 n 處處相等（均勻分

6、布），n=N/V常量 。,2、分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相同,分子速度在各個(gè)方向分量的各種統(tǒng)計(jì)平均值相等,任一時(shí)刻向各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)相同,從微觀(guān)上看，氣體的壓強(qiáng)是大量分子不斷碰撞容器壁的結(jié)果。 它等于大量分子在單位時(shí)間內(nèi)施加在單位面積器壁上的平均沖 量。就像密集的雨點(diǎn)打在雨傘上對(duì)傘產(chǎn)生一種壓力那樣。,三、理想氣體的壓強(qiáng)公式,單個(gè)分子碰撞特性：偶然性、不連續(xù)性。 大量分子碰撞的總效果 ：恒定的、持續(xù)的力的作用.,單個(gè)分子撞擊器壁,多個(gè)分子合沖力曲線(xiàn),大量分子產(chǎn)生持續(xù)的平均沖力曲線(xiàn),壓強(qiáng)公式的推導(dǎo),設(shè)邊長(zhǎng)為l1、l2、l3的長(zhǎng)方形容器中有N 個(gè)質(zhì)量為m 的同類(lèi)氣體分子，處于平衡態(tài)，則器壁上壓強(qiáng)處處

7、相等。計(jì)算A2面受到的壓強(qiáng)。,前提：平衡態(tài)，忽略重力，分子看成質(zhì)點(diǎn)（只考 慮分子的平動(dòng)）。,碰撞前后動(dòng)量增量：,第i個(gè)分子：,分子施于器壁的沖量:,兩次碰撞間隔時(shí)間:,單位時(shí)間碰撞次數(shù):,單位時(shí)間施于器壁 的沖量:,單位時(shí)間作用在A2上的平均作用力：,所有分子：,單位時(shí)間作用在A2上的總的平均作用力：,A2面受到的壓強(qiáng)：,式中,并設(shè),為單位體積內(nèi)的分子數(shù)，即分子數(shù)密度。代入上式，可得：,氣體壓強(qiáng)本質(zhì)上是氣體分子碰撞器壁的平均沖力， 其大小和分子數(shù)密度及分子平均平動(dòng)動(dòng)能成正比。,注意式中各量均為統(tǒng)計(jì)平均值，只有對(duì)大量分子才成立。,壓強(qiáng)公式：,為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能,表明：宏觀(guān)量是大量粒子運(yùn)動(dòng)的集體

8、表現(xiàn)，決定于微觀(guān)量的統(tǒng)計(jì)平均值。,四、理想氣體的能量公式,注意:,10 P的意義：大量分子與器壁不斷碰撞的結(jié)果，是統(tǒng)計(jì)平均值，對(duì)單個(gè)分子談壓強(qiáng)是毫無(wú)意義的。,20 壓強(qiáng)公式把宏觀(guān)量P與微觀(guān)量 聯(lián)系 起來(lái)了，顯示了宏觀(guān)量和微觀(guān)量的關(guān)系。,30壓強(qiáng)公式雖然是從 中推出的，對(duì)其他容器所得結(jié)果相同。,40 關(guān)于 的說(shuō)明,“質(zhì)量相等、速度交換”,設(shè)總質(zhì)量為M 的氣體包含有N個(gè)質(zhì)量為m的分子，分子的摩爾質(zhì)量為，阿伏伽德羅常數(shù)為 NA ，則可以改寫(xiě)理想氣體狀態(tài)方程：,為玻耳茲曼(Boltzman)常量。,注意到前述理想氣體狀態(tài)方程中也有宏觀(guān)量壓強(qiáng)，因此作以下的改寫(xiě)。,理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式

9、,理想氣體溫度,溫度的微觀(guān)本質(zhì),理想氣體溫度 T 是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度，是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志。,溫度 是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是統(tǒng)計(jì)概念，對(duì)個(gè)別分子無(wú)溫度可言。,絕對(duì)零度 達(dá)不到。,氣體分子的方均根速率：,在常溫下許多氣體的速率可達(dá)幾百米每秒。,道爾頓分壓定律：容器中有幾種氣體 分子密度分別為：n1 、 n2 . 單位體積的分子數(shù)：n=n1+n2+,這本來(lái)是宏觀(guān)規(guī)律，現(xiàn)在從微觀(guān)得到證明。,例 兩瓶不同種類(lèi)的氣體，其分子平均平動(dòng)動(dòng)能相等，但分子密度數(shù)不同。問(wèn)： 它們的溫度是否相同？壓強(qiáng)是否相同？,解,例 試求氮?dú)夥肿釉冢?）溫度 t=1000C 時(shí)，（2）t=0C 時(shí)，（3）t=

10、-150C 時(shí)的平均平動(dòng)動(dòng)能和方均根速率。,（2）同理在溫度 t=0C 時(shí),（1）在溫度 t=1000C 時(shí),解,（3）在溫度t= -150C時(shí),第三節(jié) 能量均分定理,討論理想氣體,對(duì)于能量問(wèn)題要考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu) 因?yàn)榉肿訜徇\(yùn)動(dòng)的能量包括了作為整體運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)能量、還有分子的轉(zhuǎn)動(dòng)能量、甚至還有分子內(nèi)部的振動(dòng)能量。,對(duì)于碰撞問(wèn)題將分子看成質(zhì)點(diǎn)，碰撞形成壓強(qiáng)。,一、自由度(Degree of freedom ),確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。,質(zhì)點(diǎn)的自由度: （ x，y，z ）,最多3 個(gè)自由度，受約束時(shí)自由度減少。 例如：飛機(jī)有3個(gè)自由度；輪船2個(gè)；火車(chē)1個(gè)。,對(duì)剛體而言，可以有平動(dòng)和轉(zhuǎn)

11、動(dòng)，因此確定其運(yùn)動(dòng)的自由度也由平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度構(gòu)成！,右圖為一些常見(jiàn)分子的構(gòu)型。因?yàn)榉肿泳哂袃?nèi)部結(jié)構(gòu)，故其熱運(yùn)動(dòng)能量應(yīng)包括平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)。,1. 自由度：某一物體的自由度，就是決定這一物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。,在直角坐標(biāo)系中： （1）對(duì)質(zhì)點(diǎn)：x、y、z 共3個(gè)自由度，稱(chēng)平動(dòng)自由度 t = 3,（2）對(duì)直線(xiàn),確定線(xiàn)上一個(gè)點(diǎn)，需 （x、y、z） t =3 個(gè)平動(dòng)自由度，,但因,故只需 r = 2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,所以，直線(xiàn)需要的自由度數(shù)為：,確定線(xiàn)的方位，似乎還需 （、）3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,（3）對(duì)剛體,確定剛體一軸線(xiàn)5個(gè)自由度,確定剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)加一個(gè)自由度,剛體的自由度數(shù)：,2.

12、 分子的自由度,（1）單原子分子：氦（He）、 氖（Ne） i = 3,（2）雙原子分子： H2、O2、CO,剛性,非剛性,（3）三原子分子：CO2、H2O.,剛性,非剛性,振動(dòng) 自由度,單原子分子 3個(gè)自由度；平動(dòng)3個(gè)；轉(zhuǎn)動(dòng)0個(gè),本課程中不考慮分子內(nèi)部的振動(dòng)，因此認(rèn)為分子是剛性的。關(guān)于分子的振動(dòng)能量的說(shuō)明，需要用到量子力學(xué)的知識(shí)。,各種分子的自由度,剛性多原子分子 6個(gè)自由度；平動(dòng)3個(gè)；轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè),剛性雙原子分子 5個(gè)自由度；平動(dòng)3個(gè)；轉(zhuǎn)動(dòng)2個(gè),已知分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：,每個(gè)自由度對(duì)平動(dòng)是等價(jià)的，平均分配到的動(dòng)能為：,同樣：每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能都等于：,二、能量均分定理 (Energy

13、equal-partition theorem ),由于分子頻繁碰撞，動(dòng)能在各運(yùn)動(dòng)形式、各自由度之間轉(zhuǎn)移，平衡時(shí)，各種平均動(dòng)能按自由度均分。,根據(jù)能量均分定理，如果氣體分子有 i 個(gè)自由度，則分子的平均總動(dòng)能為：,能量均分定理：,能量均分定理是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整體性質(zhì)對(duì)個(gè)別分子或少數(shù)分子不適用。,理想氣體的內(nèi)能,內(nèi)能是指氣體內(nèi)部所有分子的動(dòng)能和分子間相互作用勢(shì)能的總和。 對(duì)于理想氣體，由于分子間沒(méi)有相互作用并且不考慮振動(dòng)自由度，因此理想氣體的內(nèi)能就是各種動(dòng)能之和。,1 mol 理想氣體的內(nèi)能：,M/ mol理想氣體的內(nèi)能：,理想氣體的內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)，而且和熱力學(xué)溫度成正比。

14、,例題 指出下列各式所表示的物理意義，,( 1 ),( 3 ),( 4 ), 分子在每個(gè)自由度上的平均動(dòng)能, 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能, 分子的平均動(dòng)能, 1 mol 氣體的內(nèi)能,( 2 ),( 5 ),( 6 ), 質(zhì)量 m 為氣體內(nèi)所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之和, 質(zhì)量 m 為氣體的內(nèi)能,麥克斯韋是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家，是現(xiàn)代電學(xué)的奠基人，熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)建者之一。 1859年麥克斯韋首先從理論上導(dǎo)出了在平衡態(tài)下理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律麥克斯韋速率分布 (Maxwell speed distribution)規(guī)律 。,第四節(jié) 麥克斯韋速率分布規(guī)律,一、測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn),

15、能夠到達(dá)顯視屏的分子速率需滿(mǎn)足：,小球在伽爾頓板中的分布服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律.,二、麥克斯韋速率分布律,研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法： 1.分間隔概率 坐標(biāo)分布,2.定義相應(yīng)物理量的分布函數(shù),分子速率的統(tǒng)計(jì)分布,對(duì)大量分子的整體，在一定條件下，實(shí)驗(yàn)和理論都證明它們的速率分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 理想氣體分子按速率間隔分布的規(guī)律稱(chēng)為麥克斯韋速率分布規(guī)律。為了尋找這一規(guī)律，把速率分成很多小的區(qū)間v，以N 表示N 個(gè)分子分布在區(qū)間vv+v中的分子數(shù)，可以做出如下的分布曲線(xiàn)：,研究對(duì)象為處在平衡態(tài)的理想氣體系統(tǒng),設(shè)總分子數(shù)為 N,N 速率在 v v + v 區(qū)間內(nèi)分子數(shù),與 v 、 v 有關(guān), 分子速率處在 v v +

16、 v 區(qū)間的概率（占總分子數(shù)的百分比）,與 v 、 v 有關(guān),表示N 個(gè)分子分布在v 附近v 速率區(qū)間中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，與v 、v有關(guān)。,表示N 個(gè)分子分布在v 附近單位速率區(qū)間中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，與v 有關(guān)。,定義速率分布函數(shù)：,即在速率 v 附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,分布函數(shù)f(v)為速率v的連續(xù)函數(shù)。注意到以下一些表達(dá)式的物理意義:,1、 表示在總分子N中，速率在vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比。,2、 表示速率在vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。,3、 表示在總分子數(shù)N中，速率在v1v2區(qū)間 的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。并且，當(dāng)積分 限為

17、0時(shí)，這個(gè)積分的為100%歸一化。,在麥克斯韋速率分布曲線(xiàn)下的任意一塊面積等于相應(yīng)速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,歸一化條件:,麥克斯韋速率分布函數(shù) (Maxwells speed distribution function),上式中的m 是分子的質(zhì)量， 是玻耳茲曼常數(shù)。,理想氣體在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下的分子速率分布函數(shù)為：,1、最概然速率 (most probable speed)，與速率分布曲線(xiàn)上的最大值相對(duì)應(yīng)：,三個(gè)統(tǒng)計(jì)速率,2、平均速率(mean speed),3、方均根速率(root-mean-square speed ),注意：,10,1.41 : 1.59 : 1.73,20

18、 求速率分布用最可幾速率,平均自由程、平均碰撞頻率用平均速率,平均平動(dòng)動(dòng)能用方均根速率（注意區(qū)別）。,30 前面從統(tǒng)計(jì)規(guī)律（理論）得到過(guò)方均根速率，現(xiàn)在用 麥?zhǔn)戏植悸桑▽?shí)驗(yàn)）所得結(jié)果相同。,同種分子在不同溫度下的分子速率分布曲線(xiàn),例3. 試計(jì)算，氣體分子熱運(yùn)動(dòng)其速率介于 和 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,解：根據(jù)麥?zhǔn)纤俾史植?，在區(qū)間 范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：,代入上式得：,例 圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線(xiàn)，試問(wèn)（1）哪一條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線(xiàn)，問(wèn)哪條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？,(1) T1 T2,(2) 紅：氧 蘭：氫,解,例4. 有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為,求： （1）速率分布曲線(xiàn)（2）由v 0 求常數(shù)C （3）粒子的平均速率,解（1）速率分布 曲線(xiàn) （ 見(jiàn)下圖）,（2）常數(shù) C 由歸一化條件求得,（3）平均速率：,例 處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)