1、第六節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù),【知識梳理】 1.冪函數(shù) (1)定義:一般地,函數(shù)_叫做冪函數(shù),其中底數(shù)_是 自變量,是常數(shù).,y=x,x,(2)冪函數(shù)的圖象比較:,2.二次函數(shù) (1)解析式: 一般式:f(x)=_. 頂點式:f(x)=_. 兩根式:f(x)=_.,ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),(2)圖象與性質(zhì):,b=0,【特別提醒】 1.二次函數(shù)的相關結(jié)論 若f(x)=ax2+bx+c(a0),則 (1)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=0的實根.,(2)若x1,x2為f(x)=0的實根,則f(x)在x軸上截得的線

2、 段長應為|x1-x2|= (3)當 時,恒有f(x)0;當 時,恒有f(x)0.,2.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) (1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性. (2)冪函數(shù)的圖象過定點(1,1),如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交,則交點一定是原點.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(必修1P82T10改編)已知冪函數(shù)f(x)=kx的圖象 過點 則k+=() A. B.1C. D.2,【解析】選C.因為f(x)=kx是冪函數(shù),所以k=1. 又f(x)的圖象過點 所以 所以= 所以k+=,2.(必修1P44T9改編)如果函數(shù)f(x)=

3、x2-ax-3在區(qū)間 (-,4上單調(diào)遞減,則實數(shù)a滿足的條件是() A.a8B.a8 C.a4D.a-4,【解析】選A.函數(shù)圖象的對稱軸為x= , 由題意得 4,解得a8.,感悟考題 試一試 3.(2017漢中模擬)已知冪函數(shù)y=xa的圖象過點 ,則loga2的值為() A.1B.-1C.2D.-2,【解析】選B.冪函數(shù)y=xa的圖象過點 , 所以 解得a= , 故loga2= =1.,4.(2016全國卷)已知 則() A.bacB.abc C.bcaD.cab,【解析】選A.因為 函數(shù) 在(0,+)上單調(diào)遞增,所以 所以b ac.,5.(2016全國卷)若ab0,0cb,【解析】選B.對于

4、選項A:logac= ,logbc= , 因為0b0, 所以lgalgb,但不能確定lga,lgb的正負, 所以它們的大小不能確定; 對于選項B:logca=,而lgalgb,兩邊同乘以一個負數(shù) ,改變不等號方 向,所以選項B正確; 對于選項C:利用y=xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到 acbc,所以C錯誤; 對于選項D:利用y=cx在R上為減函數(shù)易得cacb,所以選 項D錯誤.,6.(2017柳州模擬)已知冪函數(shù)f(x)= ,若f(a+1) f(10-2a),則a的取值范圍是() A.(-1,3)B.(-,5) C.(3,5)D.(3,+),【解析】選C.由題意得,冪函數(shù)f(x)= 在0,+

5、) 上單調(diào)遞減,所以由f(a+1)f(10-2a),得 解得3a5.,考點一冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 【典例1】(1)若 則下列結(jié) 論正確的是() A.abcB.acb C.cabD.bca,(2)已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3 (mN*)的圖象關于y軸對稱,且在(0,+)上是減函數(shù),則m的值為_.,【解題導引】(1)利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較. (2)先利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出m的取值范圍,再利用函數(shù)的對稱性確定m的值.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為y= 在第一象限內(nèi)為增函 數(shù),所以 因為y= 是減函數(shù),所以 所以acb.,(2)因為f(x)在(0,+)上是減函數(shù), 所以m2-2m-30

6、,解得-1m3. 又mN*,所以m=1或m=2. 由于f(x)的圖象關于y軸對稱,所以m2-2m-3為偶數(shù),又當m=2時,m2-2m-3為奇數(shù),所以m=2舍去, 因此m=1. 答案:1,【易錯警示】解答本例題(2)易出現(xiàn)以下錯誤 (1)對冪函數(shù)的圖象不理解,不清楚x(0,+)時函數(shù)遞減的含義. (2)在求得m后沒有進行檢驗.,【母題變式】 1.若本例(2)中,將函數(shù)“f(x)=xm2-2m-3 ”變?yōu)椤癴(x) =(m2+2m-2)xm2-3m”,其他條件不變,則m的值如何?,【解析】由于f(x)為冪函數(shù), 所以m2+2m-2=1, 解得m=1或m=-3, 經(jīng)檢驗只有m=1適合題意,所以m=1

7、.,2.若本例(2)中已知條件不變,則 中實 數(shù)a的取值范圍如何?,【解析】由典例(2)知,m=1, 因為y= 在0,+)上為增函數(shù), 所以 等價于0a+13-2a, 解之得-1a 故實數(shù)a的取值范圍是,【規(guī)律方法】 1.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪,再選擇適當?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進行比較.,2.冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關系 當0,1時,冪函數(shù)y=x在第一象限的圖象特征:,【變式訓練】已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點 則log9f(3)的值為() A. B. C.2D.-2,【解析】選A.設冪函數(shù)f(x)=x(為常數(shù)), 由題意得

8、 解得= 所以f(x)= 所以log9f(3)=,【加固訓練】 1.(2017西安模擬)函數(shù)y= 的圖象大致是(),【解析】選C.y= 其定義域為xR,排除A,B, 又0 1,圖象在第一象限為上凸的,排除D,故選C.,2.(2015鄭州模擬)冪函數(shù)y=xa,當a取不同的正數(shù)時,在區(qū)間0,1上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖).設點A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y=x,y=x的圖象三等分,即有BM=MN=NA.那么=(),A.1B.2 C.3D.無法確定,【解析】選A.由條件得 由一般性, 可得 即 所以,3.(2017太原模擬)當0x1時,f(x)=x2,

9、g(x)= h(x)=x-2,則f(x),g(x),h(x)的大小關系是_.,【解析】分別作出f(x),g(x),h(x)的圖象,如圖所示. 可知h(x)g(x)f(x). 答案:h(x)g(x)f(x),考點二二次函數(shù)的解析式 【典例2】(1)已知二次函數(shù)f(x)的最大值為8且滿足f(-1)=f(2)=-1,則此二次函數(shù)的解析式f(x)=_. (2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),且不等式f(x)+2x0的解集為x|1x3,方程f(x)+6a=0有兩個相等的實數(shù)根,則不等式f(x)0的解集為_.,【解題導引】(1)根據(jù)條件,利用二次函數(shù)一般式、頂點式或兩根式求解. (2)先根

10、據(jù)條件求出二次函數(shù)的解析式,然后利用解一元二次不等式的方法求f(x)0的解集.,【規(guī)范解答】(1)設f(x)=ax2+bx+c(a0). 由題意得 解得 所以所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7,【一題多解】解答本題,你知道幾種解法? 解答本題,還有以下解法: 方法一:(利用頂點式):設f(x)=a(x-m)2+n. 因為f(2)=f(-1),所以拋物線的對稱軸為x= 所以m= 又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,所以n=8. 所以y=f(x)=,因為f(2)=-1,所以 解得a=-4, 所以f(x)= =-4x2+4x+7.,方法二(利用兩根式): 由已知f(x)+1

11、=0兩根為x1=2,x2=-1, 故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)有最大值ymax=8,即,解得a=-4. 所以所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7,(2)因為f(x)+2x0的解集為(1,3), 設f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因為方程有兩個相等的根,所以=-(2+4a)2-4a9a=0, 解得a=1或a= 由于a0,解得x-3+ 或x-3-

12、 . 答案:(-,-3- )(-3+ ,+),【規(guī)律方法】 二次函數(shù)解析式的求法 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下: (1)已知三個點坐標,宜選用一般式.,(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點式. (3)已知圖象與x軸兩交點坐標,宜選用兩根式.,【變式訓練】已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并且對任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),則f(x)的解析式為_.,【解析】因為f(2-x)=f(2+x)對xR恒成立, 所以f(x)的對稱軸為x=2. 又因為f(x)圖象被x軸截得的線段長為2, 所以f(x)=0的

13、兩根為1和3. 設f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).,又因為f(x)的圖象過點(4,3),所以3a=3,a=1. 所以所求f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 答案:f(x)=x2-4x+3,【加固訓練】 1.若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(常數(shù)a,bR)是偶函數(shù), 且它的值域為(-,4,則函數(shù)g(x)= 的遞增區(qū) 間為(),【解析】選B.f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2. 由已知條件ab+2a=0, 又f(x)的值域為(-,4, 則 因此f(x)=-2x2+4. 所以g(x)=,令-2x2+40,解得

14、因為0 1, 所以函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為(0, ).,2.已知二次函數(shù)為y=x2+2kx+3-2k,則頂點位置最高時拋物線的解析式為_.,【解析】由題意可知:y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以該拋物線的頂點坐標為(-k,-k2-2k+3). 設頂點的縱坐標為y=-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以當k=-1時,頂點位置最高.此時拋物線的解析式為y=x2-2x+5. 答案:y=x2-2x+5,3.已知二次函數(shù)圖象的頂點是 與x軸的兩個交 點之間的距離為6,則這個二次函數(shù)的解析式為_.,【解析】方法一:設二次函數(shù)為y=a(x+2)2+ 即y=ax2+4ax+4a

15、+ 設與x軸的交點坐標為(x1,0),(x2,0).則|x1-x2|= 得a= 所以二次函數(shù)的解析式為y=,方法二:設圖象與x軸的兩交點為A(x1,0),B(x2,0) (x1x2), 由題意得x1=-2-3=-5,x2=-2+3=1, 所以設二次函數(shù)解析式為y=a(x+5)(x-1). 將 代入上式解得a=,所以 答案:,4.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0,bR,cR).若函數(shù) f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 則F(2)+F(-2)=_.,【解析】由已知c=1,a-b+c=0,且 =-1, 解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. 所以F(x)= 所

16、以F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8. 答案:8,考點三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【考情快遞】,【考題例析】 命題角度1:二次函數(shù)圖象及其應用 【典例3】設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a,b上的 兩個函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在xa,b上有兩個不 同的零點,則稱f(x)和g(x)在a,b上是“關聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間a,b稱為“關聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2-3x+4與g(x) =2x+m在0,3上是“關聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍為_.,【解題導引】根據(jù)題目所給信息,可知y=f(x)-g(x)在0,3上有兩個不同的零點.要求m的取值范圍,利用分離參數(shù)法求解.,【規(guī)范解答】由

17、題意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在 0,3上有兩個不同的零點.在同一直角坐標系下作出 函數(shù)y=m與y=x2-5x+4(x0,3)的圖象,結(jié)合圖象可知, 當x2,3時,y=x2-5x+4 ,故當m 時,函數(shù)y=m與y=x2-5x+4(x0,3)的圖象有兩個交點. 答案:,命題角度2:二次函數(shù)的最值問題 【典例4】已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在x -1,1上恒小于零,求實數(shù)a的取值范圍.,【解題導引】由f(x)0對x-1,1恒成立,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題求解.,【規(guī)范解答】由題意知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 當x=0時,符合題意. 當x0

18、時,a 因為 (-,-1 1,+),當x=1時,右邊取最小值 ,所以a . 綜上,實數(shù)a的取值范圍是 答案:,命題角度3:二次函數(shù)中恒成立問題 【典例5】(2017瑞安模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x) =a|x-1|. (1)若當xR時,不等式f(x)g(x)恒成立,求實數(shù)a的 取值范圍. (2)求函數(shù)h(x)=|f(x)|+g(x)在區(qū)間0,2上的最大值.,【解題導引】函數(shù)g(x)=a|x-1|的解析式中含有絕對值,需要分類討論去掉絕對值符號;(1)不等式f(x)g(x)恒成立,先化簡不等式,再轉(zhuǎn)化為最值求解.(2)先去掉絕對值符號,根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關系,確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單

19、調(diào)性,確定函數(shù)的最大值.,【規(guī)范解答】(1)不等式f(x)g(x)對xR恒成立,即x2-1a|x-1|(*)對xR恒成立. 當x=1時,(*)顯然成立,此時aR; 當x1時,(*)可變形為a 令(x)=,因為當x1時,(x)2,當x-2, 所以(x)-2,故此時a-2. 綜合,得所求實數(shù)a的取值范圍是(-,-2.,(2)h(x)= 當- 0時,即a0,(-x2-ax+a+1)max=h(0)=a+1, (x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3. 此時,h(x)max=a+3.,當0- 1時,即-2a0,(-x2-ax+a+1)max= = +a+1,(x2+ax-a-1)max=h(2)

20、=a+3.此時h(x)max=a+3. 當1- 2時,即-4a-2,(-x2-ax+a+1)max= h(1)=0,(x2+ax-a-1)max=maxh(1),h(2)=max0,3+a = 此時h(x)max=,當- 2時,即a-4,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0, (x2+ax-a-1)max=h(1)=0. 此時h(x)max=0. 綜上:h(x)max=,【技法感悟】 1.二次函數(shù)圖象的識別方法 二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面識別.,2.二次函數(shù)的最值問題的類型及求解策略 (1)類型:對稱軸、區(qū)間都是給定的;對稱軸動、區(qū)間固定;

21、對稱軸定、區(qū)間變動. (2)求解策略:抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合,三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.,3.二次函數(shù)中恒成立問題的求解思路 (1)一般有兩個解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是:af(x)af(x)max,af(x)af(x)min.,【題組通關】 1.(2017杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=a-x2(1x2)與g(x)=x+1的圖象上存在關于x軸對稱的點,則實數(shù)a的取值范圍是() A. B.1,2 C. D.-

22、1,1,【解析】選D.由題得方程a-x2=-x-1,x1,2有解,即求函數(shù)a=x2-x-1,x1,2的值域,易求得a-1,1.,【加固訓練】 (2017成都模擬)兩個二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)與g(x)=bx2+ax+c(b0)的圖象只可能是(),【解析】選D.因為f(x)的對稱軸為 g(x)的對稱軸 為 所以排除A,B;若 都小于 0,則a,b同號,函數(shù)f(x),g(x)開口方向相同,故排除C.,2.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,則實數(shù)m的取值范圍是() A.(-,-1)B.(-1,2 C.-1,2D.2,5),【解析】選C.二次函數(shù)f(x)=-x

23、2+4x的圖象是開口向下的拋物線,最大值為4,且在x=2時取得,而當x=5或-1時, f(x)=-5,結(jié)合圖象可知m的取值范圍是-1,2.,【加固訓練】 (2017定州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x2+4x在區(qū)間-1,n上的值域是-5,4,則n的取值范圍是() A.2,5B.1,5 C.-1,2D.0,5,【解析】選A.f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, 所以f(2)=4,又由f(x)=-5,得x=-1或5, 由f(x)的圖象知:2n5.,3.(2017荊州模擬)函數(shù)f(x)=|x2-a|在區(qū)間-1,1上的最大值M(a)的最小值是() A. B. C.1D.2,【解析】選B.當a0時,

24、f(x)=x2-a在0,1上遞增,M(a)=1-a1.當0a 時, f(x)= 且f(1)f(0), 所以M(a)=f(x)max=f(1)=1-a,當 f(1),所以M(a)=f(x)max=f(0)=a 當a1時,f(x)=a-x2,M(a)=f(x)max=f(0)=a1, 綜上所述M(a)的最小值為,4.已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果對x-3,1,f(x)0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為_. 【解析】因為f(x)=x2+2(a-2)x+4,對稱軸x=-(a-2),對x-3,1,f(x)0恒成立, 所以討論對稱軸與區(qū)間-3,1的位置關系得:,解得a或1a4或 a1, 所以a的取值范圍為 答案:,易錯誤區(qū)5 求解含參數(shù)的二次函數(shù)、方程、不等式問題的易錯點 【典例】(2017大連模擬)已知函數(shù)f(x)=x2,g(x