1、1,第十章 曲線積分與曲面積分,目錄 下頁 返回 結束,習題課,例題選講,基本內容,2,一、曲線積分的計算法,1.基本方法,曲線積分,第一類 (對弧長),第二類 (對坐標),(1) 統(tǒng)一積分變量,轉化,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標方程,用極坐標方程,(2) 確定積分上下限,第一類:下小上大,第二類:下始上終,首頁 上頁 下頁 返回 結束,3,(1) 寫出曲線L方程及相應弧微分公式ds, L為參數(shù)方程:, L為直角坐標方程：, L為極坐標方程：,對弧長的曲線積分解題步驟：,首頁 上頁 下頁 返回 結束,4,(2) 將L的表達式及弧微分公式直接代入曲線積分式, 化為定積分, 定出積分限.(注:下

2、限小于上限),L為參數(shù)方程,L為直角坐標方程,L為極坐標方程,首頁 上頁 下頁 返回 結束,5,(1) 直接化為對參變量的定積分,對坐標的曲線積分計算方法：,注: 下限對起點, 上限對終點,首頁 上頁 下頁 返回 結束,6,(2) 利用積分與路徑無關的條件,若 , 則積分只與L的起點與終點有關,故可選取便于計算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結合P、Q考慮).,(3) 利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.,注: 若曲線L不是封閉的,直接計算又困難, 可考慮添加 輔助曲線C, 使L+C為封閉曲線, 再利用格林公式.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,7,(4) 利用斯托克斯公式(適用空間封閉

3、曲線積分).,利用行列式記號可記為：,首頁 上頁 下頁 返回 結束,8,或：,注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域 D(空間曲面)上重積分(曲面積分)與邊界曲線 上曲線積分之關系.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,9,(1) 利用對稱性簡化計算;,(2) 利用積分與路徑無關的等價條件;,2. 基本技巧,對于曲線積分 ,下面四個條件等價:,首頁 上頁 下頁 返回 結束,10,(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.,其中,為有向曲線L上點(x, y)處的切向量的方向角.,(4) 利用斯托克斯公式;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧);,首頁 上頁 下頁 返回 結束,11,二、曲面

4、積分的計算法,1. 基本方法,曲面積分,第一類( 對面積 ),第二類( 對坐標 ),轉化,二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負,第二類: 有向投影,(3) 確定積分區(qū)域, 把曲面積分域投影到相關坐標面,首頁 上頁 下頁 返回 結束,12,計算方法,第一類( 對面積的曲面積分 ),首頁 上頁 下頁 返回 結束,13,上側取正號, 下側取負號.,第二類( 對坐標的曲面積分 ),前側取正號，后側取負號.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,14,右側取正號，左側取負號.,注：對于封閉曲面, 可考慮用高斯公式.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,15,2. 基本

5、技巧,(1) 利用對稱性簡化計算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標面的平面),高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,16,(3) 兩類曲面積分的轉化,其中,為有向曲面上點(x, y, z)處的法向量的方向角.,首頁 上頁 下頁 返回 結束,17,三、例題選講,解 利用極坐標,原式=,說明:若用參數(shù)方程計算,則,首頁 上頁 下頁 返回 結束,18,首頁 上頁 下頁 返回 結束,19,解,首頁 上頁 下頁 返回 結束,20,解 因在 上有,故,原式 =,首頁 上頁 下頁 返回 結束,2

6、1,解法1 令,則,這說明積分與路徑無關, 故,首頁 上頁 下頁 返回 結束,22,解法2,它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式),則,添加輔助線段,首頁 上頁 下頁 返回 結束,23,提示:,首頁 上頁 下頁 返回 結束,24,提示:,方法1,利用對稱性,首頁 上頁 下頁 返回 結束,25,設三角形區(qū)域為 , 方向向上,則,方法2,利用斯托克斯公式,首頁 上頁 下頁 返回 結束,26,且取下側 ,提示: 以半球底面,原式 =,記半球域為 ,高斯公式有,為輔助面,利用,首頁 上頁 下頁 返回 結束,27,證 設,(常向量),則,首頁 上頁 下頁 返回 結束,28,解 取足夠小的正數(shù), 作曲面,取下側,使其包在 內,為 xoy 平面上夾于,之間的部分, 且取下側 ,則,首頁 上頁 下頁 返回 結束,29,第二項添加輔助面, 再用高斯公式 計算, 得,首頁 上頁