1、c 也可逆.2009-2010 學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù) b一、填空題（每空3 分，共24 分）1 設(shè)1,2 , 3 均為 3 維向量，已知矩陣a(1,2 , 3 ) ，b( 123 ,3 192 27 3, 21428 3 ) ，且 a1，那么 b。2. 設(shè)分塊矩陣 cao， a ， b 均為方陣，則下列命題正確的個數(shù)為。ob（a ）若 a ， b 均可逆，則（b ）若 a ， b 均為對稱陣，則（c）若 a ， b 均為正交陣，則（d ）若 a ， b 均可對角化，則c 也為對稱陣c 也為正交陣c 也可對角化234134513.設(shè) d，則 d 的第一列上的所有元素的代數(shù)余子式之和為。45617

2、8914.設(shè)向量組（ i）：1 ,2 ,l , r 可由向量組（ ii ） :1, 2 ,l ,s 線性表示，則（注：此題單選）。（a ）當(dāng)（b ）當(dāng)（c）當(dāng)（d ）當(dāng)r s 時，向量組（ ii ）必線性相關(guān)r s時，向量組（ ii ）必線性相關(guān)r s 時，向量組（ i ）必線性相關(guān)r s時，向量組（ i ）必線性相關(guān)5.已知方陣 a 滿足 2 a23 ao ，則 ( ae) 1。6.當(dāng)矩陣 a 滿足下面條件中的時，推理“若 abo ，則 bo ”可成立。（注：此題可多選）（a ） a 可逆（ b） a 為列滿秩（即a 的秩等于 a 的列數(shù)）（c） a 的列向量組線性無關(guān)（ d） ao7.設(shè)矩

3、陣 a ， b 分別為 3 維線性空間 v 中的線性變換 t 在某兩組基下的矩陣，已知 1, 2 為a 的特征值， b 的所有對角元的和為5 ，則矩陣 b 的全體特征值為。8.設(shè) jn 是所有元素均為1的 n 階方陣（ n2），則 jn 的互不相同特征值的個數(shù)為。200100112二、（ 10 分）已知矩陣 a011 ，b052 ，c101，矩陣 p, x031021030滿足 pab ， pxc ，求矩陣 x 。.x13x2x30三、 (10 分 ) 設(shè)線性方程組x14x2ax3b ，問當(dāng)參數(shù) a,b 取何值時，2x1x23x351）此方程組無解？2）此方程組有唯一解？3）此方程組有無窮多解

4、？四、（ 10 分）設(shè) a 為 4 階方陣， 4 維列向量 b0 ， r a2 ，若 p1, p2 , p3, p4 都是非齊次方程組 axb 的解向量，且滿足232p1p2201， p2 p3， p3p4010421（ 1）（ 6 分）求齊次方程組 ax 0 的一個基礎(chǔ)解系。（ 2）（ 4 分）求 ax b 的通解。五、（ 16 分）將二次型f x1 , x2 , x3x124x226x324x1 x24x1 x38x2 x3 用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。六、（ 14 分）設(shè) v 為所有 2 階方陣在矩陣的加法和數(shù)乘下構(gòu)成的線性空間，定義v 上的變換 t 如下：對任意 xv ， t xaxx t

5、a ，其中 a12， x t 表示 x 的轉(zhuǎn)置21矩陣。（1）（ 6 分）證明 t 是 v 上的一個線性變換。（2）（8 分）求 t 在 v 的基 e11100100000， e120， e211， e2201000下的矩陣。b1a1a2b2a2a3七、（ 1）（ 8 分）已知向量組 a1 , a2 ,l , an 線性無關(guān)， 向量組 b1,b2 ,l , bn 滿足mbn 1an 1anbnana1分別討論當(dāng) n4 和 n5 時，向量組 b1,b2 ,l , bn 是否線性相關(guān)？（2）（ 8 分）設(shè)1 ，2 為方陣 a 的兩個不同的特征值，1 , 2 為 a 相應(yīng)于1 的兩個線性無關(guān)的特征向

6、量，2,3 為 a 相應(yīng)于 2 的兩個線性無關(guān)的特征向量，證明向量組1, 2 , 3 , 4線性無關(guān)。.2007-2008 學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)b2007-2008 學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)b一、（ 24 分，填空與選擇題）1.設(shè) a 是 m 階方陣， b 是 n 階方陣，且 aa ， bb ， cea，bo則 c。2.設(shè) a ，b ， ab 均為可逆矩陣，則矩陣a 1b 1 也可逆，則其逆矩陣為（）。a. b( ab) 1 ab. a 1 ( a b) 1 b 1c. ( a 1b 1)td. (atbt ) 11 a11 a*3.若 a 是 5 階方陣，且a4，則（）42a.1b.1c.8d.

7、以上答案均不正確。244.設(shè) 1,2 , 3 ,4 是齊次線性方程組ax0的基礎(chǔ)解系，則下列向量中不再是ax0的基礎(chǔ)解系的為（）。（a ） 1 , 12 , 123 , 1234 （ b ） 12 ,23 ,31 ,41（c） 12 ,23 ,31 ,41（ d） 12 ,23 , 31 ,415.若 3 階方陣 a 的特征值為1, 0, 2 ，則與方陣 ba3a2e 相似的對角矩陣為。6.設(shè) 1 ,2 , 3 是非齊次線性方程組ax b 的解，1k23 ，則是 axb 的解的充分必要為k，1k 23 ，則是 axo 的解的充分必要為k。7.設(shè) a 、b 為 n 階方陣，且秩相等，即r( a)

8、r(b) ，則有（）。a.r( ab)0b.r( ab)2r( a)c.r( a, b)2r( a)d.r( a, b)r( a)r(b)8.已知實二次型為正定二次型f x1, x2 , x3x124x222x322ax1 x22x2 x3 ，則實常數(shù)a 的取值范圍為。.112二、（10 分）設(shè)矩陣 a022，已知多項式 g xx32x2 1 ，求行列式 g a 。103101三、（ 8 分）設(shè) a 和 b 都是 3階方陣， e 為單位陣， abea2b ，其中 a020，101求 b 。13311四、（ 10 分）已知向量組 10 ， 2n ， 35與 向量組 13， 2110m22有相同的秩，并且3 可由1 , 2 線性表示，求 m, n 的值。五、（ 10 分）已知線性方程組x1ax22x31x1x2ax32，問 a 取何值是方程組有無窮多解？并用其對應(yīng)的齊次線性方程組的5x15x24x31基礎(chǔ)解系表示其通解。六、（ 12 分）設(shè)三階實對稱矩陣a 的秩為 2， 126 是 a 的二重特征值， 若1221都是 a 的屬于特征值6 特征向量，求a 及它的另一