1、,第二章,導(dǎo)數(shù)與微分,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)思想最早由法國,數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問題中提出.,英國數(shù)學(xué)家 Newton,第一節(jié),1.導(dǎo)數(shù)和微分的定義,一、導(dǎo)數(shù)的定義,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,二、單側(cè)導(dǎo)數(shù),五、微分,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動,2. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,(當(dāng)

2、時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,兩個(gè)問題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類似問題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問題,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱,在,若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新

3、函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).,記作:,注意:,就說函數(shù),就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .,由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟,一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 正（余）弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,注：,例2.,正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,所以,同理可得,例1.,例3. 求函數(shù),解:,冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù),的導(dǎo)數(shù),更一般地,說明：,對一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,例4.,指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,例5.,（見1-4函數(shù)連續(xù)性的例3 ）,在點(diǎn),的某個(gè)右 鄰域內(nèi),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作,即,(左),(

4、左),例如,在 x = 0 處有,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,存在,定理2. 函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡寫為,若函數(shù),與,都存在 ,則稱,在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有,其中,故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,即,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).,證,例2:,分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性,解,例6.,7. 設(shè), 問 a 取何值時(shí),在,都存在 , 并求出,解:,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,曲線過,上升;,若,曲線過,

5、下降;,若,切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,切線,法線,解：,切線方程：,法線方程：,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?,設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,面積的增量為,關(guān)于x 的線性主部,故,當(dāng) x 在,取,變到,邊長由,其,的微分,定義: 若函數(shù),在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,定理:,可微的充要條件是,則,在點(diǎn),可微,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點(diǎn) 可微 ,則,故,在點(diǎn) 的可導(dǎo),且,在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處

6、可導(dǎo),且,即,定理 : 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處可導(dǎo),且,即,“充分性”,已知,即,在點(diǎn) 的可導(dǎo),則,說明:,時(shí) ,所以,時(shí),很小時(shí), 有近似公式,與,是等價(jià)無窮小,當(dāng),故當(dāng),微分的幾何意義,當(dāng) 很小時(shí),則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,切線縱坐標(biāo)的增量,自變量的微分,記作,記,例如,基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P66表),又如,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限;,切線的斜率;,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),7. 微分概念,微分的定義及幾何意