1、2.1.2直線的方程,基礎(chǔ)知識(shí),深度剖析,題型分類,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí),1.直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按 方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的 稱為這條直線的傾斜角，并規(guī)定：與x軸 的直線的傾斜角為0. (2)范圍：直線的傾斜角的取值范圍是 . 2.斜率公式 (1)若直線l的傾斜角90，則斜率k . (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1x2，則l的斜率k .,知識(shí)梳理,逆時(shí)針,最小正角,平行或重合,0，180),tan ,幾何畫(huà)板展示,3.直線方程的五種形式,yy1k(xx1),ykxb,(A，B不全為0)

2、,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.() (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.() (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.() (4)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.() (5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.() (6)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.(),幾何畫(huà)板展示,題型分類深度剖析,題型一直線的傾斜角與斜率 例1 直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是 .,答案,解析,由直線方程可得該直線的斜率為 ，,又1

3、0，,所以傾斜角的取值范圍是 ，).,幾何畫(huà)板展示,變式訓(xùn)練 (2018鎮(zhèn)江模擬)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍 是 .,答案,解析,設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin . 因?yàn)閟in 1,1， 所以1tan 1，又0，)， 所以0 或 .,例2 直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0， )為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為 .,答案,解析,(， 1，),如圖，kAP 1，,k(， 1，).,幾何畫(huà)板展示,變式訓(xùn)練 1.若將本例中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍.,解答,P(1,0)，A(2,1)，B(0， )，,如圖可知，直

4、線l斜率的取值范圍為 .,2.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍.,解答,如圖，直線PA的傾斜角為45， 直線PB的傾斜角為135， 由圖象知l的傾斜角的范圍為 0，45135，180).,直線傾斜角的范圍是0，)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分 與 兩種情況討論. 由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng) 時(shí)，斜率k0，)； 當(dāng) 時(shí)，斜率不存在；當(dāng) 時(shí)，斜率k(，0).,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1(2018南京模擬)已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y 相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取到最大值時(shí)，直線l的傾斜角的大小為

5、 .,答案,解析,150,幾何畫(huà)板展示,由y ，得x2y22(y0)， 它表示以原點(diǎn)O為圓心，,以 為半徑的圓的一部分， 其圖象如圖所示.,顯然直線l的斜率存在， 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l為yk(x2)，,則圓心到此直線的距離d ，,所以SAOB,當(dāng)且僅當(dāng)(2k)222k2，即k2 時(shí)等號(hào)成立，,由圖可得k (k 舍去)，故直線l的傾斜角為150.,題型二求直線的方程 例3根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過(guò)點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為 ；,解答,由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式.,設(shè)傾斜角為，則sin (0)，,從而cos ，則ktan .,故所求直線方程為y (x4).,

6、即x3y40或x3y40.,(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；,解答,設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a. 若a0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)及(4,1)，,l的方程為y x，即x4y0.,若a0，則設(shè)l的方程為 1，,l過(guò)點(diǎn)(4,1)， 1，,a5， l的方程為xy50. 綜上可知，直線l的方程為x4y0或xy50.,(3)直線過(guò)點(diǎn)(5,10)，且直線到原點(diǎn)的距離為5.,解答,當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k， 則所求直線方程為y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,由點(diǎn)到直線的距離公式，得 5，解得k .,故所求直線方程為3x4y250. 綜上知

7、，所求直線方程為x50或3x4y250.,在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.,思維升華,變式訓(xùn)練求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；,解答,設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a， 若a0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)，,l的方程為y x，即2x3y0.,若a0，則設(shè)l的方程為 1，,l過(guò)點(diǎn)(3,2)，

8、 1，,a5，l的方程為xy50， 綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.,(2)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的 倍；,解答,設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k 3 .,又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，,因此所求直線方程為y3 (x1)，,即3x4y150.,(3)過(guò)點(diǎn)A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于B點(diǎn)且AB5.,解答,過(guò)點(diǎn)A(1，1)與y軸平行的直線為x1.,解方程組,求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)AB5，即x1為所求. 設(shè)過(guò)A(1，1)且與y軸不平行的直線為 y1k(x1) (k2)，,解方程組,得兩直線交點(diǎn)為,則B點(diǎn)坐標(biāo)為( ).,( 1)2( 1)252，,解得

9、k ，y1 (x1)，,即3x4y10.,綜上可知，所求直線方程為x1或3x4y10.,題型三直線方程的綜合應(yīng)用 命題點(diǎn)1與基本不等式相結(jié)合求最值問(wèn)題 例4已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.,解答,方法一設(shè)直線方程為 1(a0，b0)，,把點(diǎn)P(3,2)代入得 1 ，得ab24，,從而SAOB ab12，,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)k ，,從而所求直線方程為2x3y120.,方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k0. 則直線l的方程為y2k(x3)(k0)，,且有 ，B(0,23k)，, (1212)12.

10、,當(dāng)且僅當(dāng)9k ，即k 時(shí)，等號(hào)成立.,即ABO的面積的最小值為12. 故所求直線的方程為2x3y120.,變式訓(xùn)練(2018鹽城模擬)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OAOB最小時(shí)，求直線l的方程.,解答,依題意，直線l的斜率存在且斜率為負(fù)， 設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程為y4k(x1)(k0).,令y0，可得A(1 ，0)；,令x0，可得B(0,4k).,OAOB(1 )(4k),5(k ),5(k )549.,當(dāng)且僅當(dāng)k 且k0，,這時(shí)直線l的方程為2xy60.,即k2時(shí)，OAOB取最小值.,命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問(wèn)題 例

11、5已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值.,解答,由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)， 直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，,所以四邊形的面積 S 2(2a) 2(a22)a2a4,當(dāng)a 時(shí)，面積最小.,與直線方程有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值. (2)求直線方程.弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫(xiě)出方程. (3)求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)

12、的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.,思維升華,典例設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR). (1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程； (2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求a.,求與截距有關(guān)的直線方程,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列9,錯(cuò)解展示,現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,在求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)，注意對(duì)直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.,返回,解(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零， a2，方程即為3xy0. 當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0., a2，即a11.,綜上，直線l的方程為3xy0或xy20.,a0，方程

13、即為xy20.,(2)由 (a2)得a20或a11，,a2或a2.,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2018連云港模擬)若直線y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .,答案,解析,(6，2),解方程組,因?yàn)橹本€y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限， 所以k60且k20，所以6k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2018無(wú)錫模擬)過(guò)點(diǎn)(2,1)且傾斜角比直線yx1的傾斜角小 的直線方程是 .,x2,答案,解析,直線yx1的斜率為1，則傾斜角為 ，,依題意，所求直線的傾斜角為 ，,斜率不存在， 過(guò)點(diǎn)(2,1)的所求直線方

14、程為x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2018蘇州檢測(cè))已知點(diǎn)A在直線x2y10上，點(diǎn)B在直線x2y30上，線段AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，且滿足y0 x02，則 的取值范圍 為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)A(x1，y1)， k，則y0kx0，,AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，B(2x0 x1,2y0y1). A，B分別在直線x2y10和x2y30上， x12y110,2x0 x12(2y0y1)30， 2x04y020，即x02y010.,y0kx0，x02kx010，即x0 .,又y0 x02，kx

15、0 x02，即(k1)x02，,即(k1)( )2，即 0，,解得 k .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2018徐州模擬)已知兩點(diǎn)M(2，3)，N(3，2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1) 且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 .,答案,解析,(，4 ，),如圖所示，,要使直線l與線段MN相交， 當(dāng)l的傾斜角小于90時(shí)，kkPN； 當(dāng)l的傾斜角大于90時(shí)，kkPM. 由已知得k 或k4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2018無(wú)錫模擬)已知兩點(diǎn)A(1，5)，B(3，2)，若直線l的傾斜角 是直線AB傾斜角的一半，則l的

16、斜率是 .,答案,解析,設(shè)直線AB的傾斜角為2，則直線l的傾斜角為，所以0 .,又kABtan 2 ，,所以tan 或tan 3(舍去)，,所以k .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2018無(wú)錫模擬)已知點(diǎn)A(1,0)，B(cos ，sin )，且AB ，則直線AB的方程為 .,答案,解析,x y10或x y10,所以cos ，sin ，,所以kAB ，即直線AB的方程為y (x1)，,即x y10或x y10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是 .

17、,答案,解析,3,直線AB的方程為 1，,動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線AB上，則x3 y，,xy3y y2 (y24y), (y2)243.,即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，xy取最大值3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2018蘇州模擬)已知直線l1：a(xy2)2xy30(aR)與直線l2的距離為1，若l2不與坐標(biāo)軸平行，且在y軸上的截距為2，則l2的方程為 .,答案,解析,4x3y60,由題意可知，直線l1過(guò)直線xy20與2xy30的交點(diǎn)P(1,1)， 由兩條直線間的距離為1可得，點(diǎn)P到直線l2的距離為1， 設(shè)l2的方程為ykx2，,則 1，解得k ，,故l2的方程為y

18、 x2，即4x3y60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是 .,答案,解析,2,2,b為直線y2xb在y軸上的截距， 如圖，當(dāng)直線y2xb過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值. b的取值范圍是2,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2018泰州模擬)平面上三條直線x2y10，x10，xky0，如果這三條直線將平面劃分為六部分，則實(shí)數(shù)k的取值集合為 .,答案,解析,0，1，2,直線x2y10與x10相交于點(diǎn)P(1,1)， 當(dāng)P

19、(1,1)在直線xky0上，即k1時(shí)滿足條件； 當(dāng)直線x2y10與xky0平行，即k2時(shí)滿足條件； 當(dāng)直線x10與xky0平行，即k0時(shí)滿足條件， 故實(shí)數(shù)k的取值集合為0，1，2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3). (1)求直線AB的方程；,解答,當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為x1；,當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為y2 (x1).,即x(m1)y2m30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)已知實(shí)數(shù)m 1， 1，求直線AB的傾斜角的取值范圍.,解答,當(dāng)m1時(shí)， ；,當(dāng)m1時(shí)，m1 ，0)(0， ，,k (， ，)，,綜合知，直線AB的傾斜角的取值范圍為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知點(diǎn)P(2，1). (1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；,解答,過(guò)點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)， 顯然，過(guò)點(diǎn)P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件， 此時(shí)直線l的斜率不存在，其方程為x2. 若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.,由已知得 2，,解得k .,綜上可得直線l的方程為x2或3x4y100.,此時(shí)l的方程為3x4y100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)