1、第4講從審題中尋找解題思路,審題亦即提取有效信息,挖掘隱含信息,提煉關鍵信息.條件是題目的“泉眼”.為考核學生的觀察、理解、分析、推理等能力,高考試題往往變換概念的表述形式,精簡試題從條件到結論的中間環(huán)節(jié),透析試題的條件之間的聯系,隱去問題涉及的數學思想及背景.如何科學地審題是同學們最需要掌握的基本技能.事實上,審題能力的培養(yǎng)并未引起應有的重視,很多同學熱衷于題型的總結與解題方法和技巧的訓練,把數學學習等同于解題訓練,一味地機械模仿導致應變能力不強,遇到陌生的問題往往束手無策,致使解題失誤或陷入誤區(qū).,-3-,一、審題與解題的關系 審題和解題是解答數學試題的重要兩步,其中,審題是解題的前提,詳

2、細全面地審題為順利解題掃除大部分障礙,正確把握數學試題中的已知條件和所求,從題目關鍵詞語中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路,最短時間內理解條件和結論所包含的詳細信息是保障解題效率與解題質量的必需條件.解題作為審題活動的升華,是全面解答數學試題的核心. 二、怎樣算是審清題意 怎樣才算審清題意了呢?主要是弄清題目已經告訴了什么信息,需要我們去做什么,從題目本身獲取“如何解這道題”的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯系的更多信息.試題的條件和結論是兩個信息源,為了從中獲取盡可能多的信息,我們要字斟句酌地分析條件、分析結論、分析條件與結論之間的關系,常常還要輔以圖形或記號,以求手段與目標的統(tǒng)一.,-

3、4-,一、審清條件信息 審視條件一般包括“挖掘隱含信息、洞察結構特征、洞悉圖形趨勢、研讀圖表數據”等幾方面. 審題時要避開過去熟悉的同類題目的影響,看似相同,就按過去同類型題目進行求解,要審出同還是不同,不能似是而非.,-5-,例1(1)(2019廣東廣州高三二模,文12)若函數f(x)=-x2(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-1對稱,則f(x)的最大值是() A.-2B.-1 C.0D.1 (2)(2019河北衡水高三聯考,理12)如圖,在ABC中,ABC=90,AB= ,BC=1,P為ABC內一點,BPC=90.若APB=150,則tan PBA=(),-6-,答案 (1)C(2)C

4、解析 (1)解法1:f(x)=-x2(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-1對稱,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2, 所以當x=0時,f(x)的最大值是0. 解法2:由對稱性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, 由f(x)關于x=-1對稱,可知f(-1)=0,得3a=2b+4, 聯立解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)0, 所以當x=0時,f(x)的最大值是0. 解法3:因為f(x)=-x2(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-1對稱, 則滿足f(x-1)=f(-1-x). 運用特殊值法.,-7-,取x=1,x=2,代入上式, 當a=b=4

5、時,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4滿足題意. 即f(x)=-x2(x+2)2. 當x=0時,f(x)取最大值0,故選C.,-8-,-9-,(1)審題指導一從題目條件中只能看到圖象關于直線x=-1對稱,但從已知中找不到與函數f(x)的零點的關系,所以應注意到方程f(x)=0隱含有重根0,根據對稱性,發(fā)現重根-2,確定函數f(x)的解析式,從而求出最大值. 審題指導二根據對稱性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函數f(x)的極值點,得到f(-1)=0,聯立得到關于a,b的方程組,從而求出f(x)的解析式,從而求出最大值. 審題指導三對于函數對稱性問題,可以運用特殊值法.若函數f(

6、x)關于x=a對稱,則滿足f(x+a)=f(a-x);若函數f(x)關于(a,b)對稱,則滿足f(x+a)+f(a-x)=2b.,-10-,(2)審題指導一利用RtABC和RtBPC的邊角關系,求得PCB=ABP=,進而推出PC=cos ,同理根據PCB+PCA=ACB=PCA+PAC,推出PAC=,將已知條件轉化為已知兩邊及其對角,解APC,由正弦定理及同角三角函數關系,求得tan PBA. 審題指導二借助平面幾何知識,過A點作BP延長線的垂線,構造RtADB,利用RtABC和RtBPC的邊角關系,求得PCB=ABP=,解RtADB、RtBPC、RtADP,找出AD、BD、PD、BP之間的關

7、系,并用與有關的正、余弦表示出來,利用BD=BP+PD建立等量關系求解tan PBA.,-11-,二、審條件中的隱含 有的數學試題條件并不明顯,審題時要注意挖掘隱含條件和信息,對條件進行再認識、再加工,只有這樣,方可避免因忽視隱含條件而出現錯誤.要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息,關注問題中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之間的差異,要清晰定理成立、公式存在的前提.,-12-,答案(1)C(2)D,-13-,-14-,-15-,三、審條件中的結構特征 高考數學試題中的已知條件,很多都是以數式的結構形式進行搭配和呈現的.在這些問題的數式結構中,往往隱含著某種特殊關系,我們不僅要認

8、真審視數式的淺層結構特征,還要對數式結構進行深入的分析、加工、轉化,努力弄清其深層結構特征,在這個逐步清晰的過程中,力爭尋找到突破問題的方案.,-16-,答案 C,-17-,-18-,-19-,a2=b2+c2-2bccos A, b2+c2=a2+bc=50. 則(b+c)2=100,b+c=10, b=c=5. ABC為等邊三角形. sin B+sin C=,-20-,-21-,四、審圖形特點尋簡捷 在一些高考數學試題中,問題的條件往往是以圖形的形式給出,或將條件隱含在圖形之中,因此在審題時,最好畫一個圖,并在圖中標出必要的條件和數據,畫圖的過程是一個熟悉問題的過程,是一個對已知條件進行再

9、認識的過程.不僅如此,還要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關系、數值的特點、變化的趨勢,抓住圖形的特征,利用圖形所提供的信息來解決問題.,-22-,答案,解析,-23-,-24-,五、審圖表數據找關聯 數據分析是數學學科核心素養(yǎng)之一.此類問題關注現實生活,試題中的圖表、數據隱藏著豐富的數據和信息及其內在聯系,也往往暗示著解決問題的目標和方向,要求考生發(fā)現生活中的問題,學著運用課堂上學到的知識來分析、解決.在審題時,要認真觀察分析圖表、數據的特征和規(guī)律,找到其中的內在聯系,為解決問題提供有效的途徑.,-25-,例5某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機

10、器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖:,-26-,記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數. (1)若n=19,求y與x的函數解析式; (2)若要求“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值; (3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這10

11、0臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件?,-27-,解 (1)當x19時,y=3 800; 當x19時,y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700. 所以y與x的函數解析式為 (2)由柱狀圖知,需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.,-28-,-29-,審題指導 把統(tǒng)計與函數結合在一起進行考查,有綜合性但難度不大. (1)當n=19時,探求y與x的函數解析式,由于機器使用前額外購買這種零件的價格與機器使用期間再購買這種零件的價格不同,需對1臺機器在三年使用期內

12、需更換的易損零件數x與購機的同時購買的易損零件數n=19加以比較,自然應用分類討論思想對x19與x19,分別探求y與x的函數解析式; (2)本題的統(tǒng)計圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖,而是統(tǒng)計圖表中的柱狀圖; (3)許多考生沒有讀懂題意,本問是判斷購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件,而判斷的決策依據是:這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,為此需計算兩種方案時的平均數.每一種方案,如何求解其平均數呢?自然借助于柱狀圖!,-30-,六、審結論善轉換 結論是解題的最終目標,解決問題的思維在很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的.審視結論是要探索已知條件和結論間的聯系與轉化規(guī)

13、律,可以從結論中捕捉解題信息,確定解題方向.有些問題的結論看似不明確或不利于解決,我們可以轉換角度,達到解決問題的目的.,-31-,例6(2019黑龍江高三模擬,文17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AC,BB1的中點. (1)證明:BD平面AEC1; (2)若這個三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形,側面都是正方形,求五面體AEB1C1A1的體積.,-32-,(1)證明 設AC1的中點為F,連接DF,EF.D,F分別為AC,AC1的中點, DFBE且DF=BE,BEFD為平行四邊形.BDEF.EF平面AEC1,BD平面AEC1,BD平面AEC1.,-33-,(2)解法一 取

14、A1B1的中點O,連接C1O, A1B1C1為等邊三角形, C1OA1B1. 側面是正方形,BB1A1B1,BB1B1C1. 又A1B1,B1C1平面A1B1C1,且A1B1B1C1=B1, BB1平面A1B1C1. C1O平面A1B1C1, C1OBB1.,-34-,解法二 取BC的中點H,連接AH,ABC為等邊三角形,AHBC. 側面都是正方形,BB1AB,BB1BC. AB,BC平面ABC, 且ABBC=B, BB1平面ABC. AH平面ABC,AHBB1. BCBB1=B,AH平面BB1C1C.,-35-,審題指導(1)條件出現D,E分別是AC,BB1的中點,聯想構造中位線,轉化為證明

15、線線平行,取AC1的中點F,要證明BDEF,只需證明BEFD為平行四邊形,從而證明DFBE且DF=BE,然后再由線面平行的判定定理可得結論成立. (2)方法一:要求五面體AEB1C1A1的體積,需辨別出該五面體是以C1為頂點以AEB1A1為底面的四棱錐,進而問題轉化為求四棱錐的高.此時需尋求底面AEB1A1的高,通過A1B1C1為等邊三角形,側面是正方形,和線面垂直判定定理,證明C1O為四棱錐C1-AEB1A1的高.進而求得四棱錐C1-AEB1A1的體積. 方法二:看不出五面體的規(guī)則的幾何體時,則考慮利用分割、補形的方法轉化為規(guī)則的幾何體的體積和或差求解.本題將幾何體C1-AEB1A1分割為三

16、棱柱ABC-A1B1C和四棱錐A-BEC1C,轉化為分別求三棱柱ABC-A1B1C1和四棱錐A-BEC1C的體積,然后利用面面垂直求得四棱錐A-BEC1C的高,進而求幾何體C1-AEB1A1的體積.,-36-,七、審已知與結論建聯系 高考試題的條件和結論是兩個信息源,其條件和結論很多都是以數式的結構形式進行搭配和呈現的.弄清問題不僅要弄清條件,弄清結論,還要弄清條件與所求結論的相互聯系,以求手段與目標的統(tǒng)一.,-37-,例7在ABC中,若bc=3,a=2,則ABC的外接圓的面積的最小值為.,答案,解析,-38-,審題指導求ABC的外接圓的面積的最小值,即求外接圓半徑的最小值,需要用某一變量表示半徑R.聯系條件給出的bc=3,a=2,顯然由正弦定理得2R= ,這就需要求變量sin A的范圍.bc=3與余弦定理有關,且還需要與A有聯系,4=b2+c2-2bccos A2bc-2bccos A=6(1-cos A).,-39-,1.試題的條件和結論是解題的兩個信