1、 5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用,高考數(shù)學(xué) (浙江專用),考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積,A組自主命題浙江卷題組,五年高考,1.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=,I2=,I3=,則() A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3,答案C本題考查向量的數(shù)量積,共線向量定理,解三角形,考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力.,如圖,建立直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,2),C(2,0). 設(shè)D(m,n), 由AD=2和CD=3,得 從而有n-m=0,nm. 從而DBC45,又BCO=45,BOC為

2、銳角. 從而AOB為鈍角.故I10. 又OA1),=-2(21), 從而I3=12=12I1, 又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故選C.,2.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e為平面單位向量,則|ae|+|be|的最大值是.,答案,解析由已知易得a,b所成角為60,如圖. 設(shè)向量e與a所成角為,e與b所成角為, 則與的關(guān)系為=60-(e在區(qū)域)或=60+(e在區(qū)域)或=300-(e在區(qū)域)或=-60(e在區(qū)域).,|ae|+|be|=cos +2cos =2cos +sin =sin(+),其中tan =,則30, +60

3、+, |ae|+|be|的最大值為. 同理可得另三種情況下所求的最大值均為.,故|ae|+|be|的最大值為.,1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足 b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是() A.-1B.+1C.2D.2-,考點(diǎn)二向量的綜合應(yīng)用,答案A設(shè)=a,=b,=e,以O(shè)為原點(diǎn),方向?yàn)閤軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,則E (1,0).不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限,a與e的夾角為,點(diǎn)A在從原點(diǎn)出發(fā),傾斜角為,且在第一象 限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2

4、=1,即點(diǎn)B在圓(x-2)2+y2=1上運(yùn)動(dòng).而=a-b,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=x (x0)的距離減去圓的半徑,所以|a-b|min=-1.選A.,一題多解將b2-4eb+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 設(shè)=e,=a,=b,=3e,=2e,則, 點(diǎn)B在以M為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖. |a-b|=|,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離 減去圓的半徑. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.,2.(2017浙

5、江,15,6分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.,答案4;2,解析本題考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算,向量的幾何意義,向量絕對(duì)值不等式,利用基本不等式求最值,利用三角代換求最值,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與a-b反向時(shí)取等號(hào),此時(shí)|a+b|+|a-b|取最小值4. =, |a+b|+|a-b|2. 當(dāng)且僅當(dāng)|a+b|=|a-b|時(shí)取等號(hào),此時(shí)ab=0. 故當(dāng)

6、ab時(shí),|a+b|+|a-b|有最大值2.,解法二:設(shè)x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3. 設(shè)y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可設(shè)x=cos ,cos ,y=sin ,sin . 設(shè)1,2為銳角,且sin 1=,sin 2=, 則有12,又012, 則x+y=(cos +sin )=2sin, 1+2+,而1+2+, 故當(dāng)+=,即=時(shí),x=y,此時(shí)|a+b|=|a-b|, 所以當(dāng)ab時(shí),x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2.,. 又sin=sin=, 故當(dāng)=1或=2時(shí),x=3,y=1或x=1,y=3,此時(shí)ab, x+y=

7、|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:設(shè)b=(2,0),a=(x,y),則x2+y2=1. 故|a+b|+|a-b|=+,=+=+ =, 0 x21, 當(dāng)x=0,即ab時(shí), |a+b|+|a-b|有最大值2; 當(dāng)x2=1,即ab時(shí),|a+b|+|a-b|有最小值4.,解法四:設(shè)x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3.設(shè)y=|a-b|,同理可得1y3. 又x2+y2=2a2+2b2=10. 故可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題“已知求x+y的最大值和最小值.” 其可行域?yàn)閳D中弧AB,平移直線x+y=0,顯然過(guò)A、B點(diǎn)時(shí),x+y有最小值4. 與圓弧相切時(shí),切點(diǎn)為C(,),x+y有

8、最大值2,則|a+b|+|a-b|的最小值為4,最大值為2.,3.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|,則ab的最 大值是.,答案,解析對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e 共線時(shí),等號(hào)成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值為.,考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積,B組統(tǒng)一命題、省（區(qū)、市）卷題組,1.(2019課標(biāo)全國(guó)文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=() A.B.2C.5D.50,答案A本題主要

9、考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故選A.,一題多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,則|a-b|= .故選A.,2.(2019課標(biāo)全國(guó)理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,則=() A.-3B.-2C.2D.3,答案C本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積和模的求解;通過(guò)模的運(yùn)算,考查了方程的思想方法.考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. =-=(1,t-3), |=1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析先利用|=1求出t的值,再利

10、用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積.,3.(2019課標(biāo)全國(guó)理,7,5分)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為() A.B.C.D.,答案B本題考查向量的運(yùn)算及向量的夾角;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查了數(shù)形結(jié)合思想;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算. 解法一:因?yàn)?a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=,故選B. 解法二:如圖,令=a,=b,則=-=a-b,因?yàn)?a-b)b,所以O(shè)BA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB=,即=.故選B.,思路分析本題可由兩向量

11、垂直的充要條件建立方程求解;也可以將兩向量放在直角三角形中,由題設(shè)直接得到兩向量的夾角.,4.(2018課標(biāo)全國(guó)理,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0,答案B本題考查平面向量的運(yùn)算. 因?yàn)閨a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故選B.,5.(2017課標(biāo)全國(guó),12,5分)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則 (+)的最小值是() A.-2B.-C.-D.-1,答案B本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查利用數(shù)形結(jié)合的方法求解最值問(wèn)題. 以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x

12、軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖, 則A(-1,0),B(1,0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D.(+)=2=2(-1-x,-y) =2=2. 因此,當(dāng)x=-,y=時(shí),(+)取得最小值,為2=-,故選B.,解后反思本題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將“數(shù)”與“形”的問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.,6.(2016課標(biāo)全國(guó),3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=() A.-8B.-6C.6D.8,答案D由題意可得a+b=(4,m-2),(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故選D.,7.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量,則“|

13、a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,答案D當(dāng)|a|=|b|0時(shí),|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同樣,由|a|=|b|也不能推出ab.故選D.,解后反思由向量加法、減法的幾何意義知,當(dāng)a、b不共線,且|a|=|b|時(shí),a+b與a-b垂直;當(dāng)ab時(shí),|a+b|=|a-b|.,評(píng)析本題考查向量的模及運(yùn)算性質(zhì),屬容易題.,8.(2016天津,7,5分)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2

14、EF,則的值為() A.-B.C.D.,答案B建立平面直角坐標(biāo)系,如圖. 則B,C,A,所以=(1,0). 易知DE=AC,則EF=AC=,因?yàn)镕EC=60,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為, 所以=, 所以=(1,0)=.故選B.,疑難突破若利用公式ab=|a|b|cos求解十分困難,則可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.確定點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.,評(píng)析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積.考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.,9.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為 () A.4B.-4C.D.-,答案B因?yàn)閚(tm+n)

15、,所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos= =-=,所以t=-4.故選B.,評(píng)析本題主要考查了非零向量垂直的充要條件和夾角公式,屬中檔題.,10.(2015福建,9,5分)已知,|=,|=t.若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且= +,則的最大值等于() A.13B.15C.19D.21,答案A以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(t 0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17- 17-22=13,故的最大值為13,故選A.,11.(2019課標(biāo)全國(guó)文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則co

16、s=.,答案-,解析本題考查平面向量夾角的計(jì)算,通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)運(yùn)算法則與運(yùn)算方法的素養(yǎng)要素. 由題意知cos=-.,12.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=.,答案8,解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8.,易錯(cuò)警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.,13.(2019課標(biāo)全國(guó)理,13,5分)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-b,則cos= .,答案,解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積、模長(zhǎng)及平面向量夾角的

17、計(jì)算;通過(guò)向量的數(shù)量積、夾角的求解考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a-b)=2a2-ab=2, |c|=|2a-b|=3. cos=.,小題巧解不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),則c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.,方法總結(jié)利用數(shù)量積求解向量模的處理方法: a2=aa=|a|2或|a|=; |ab|=.,14.(2018北京文,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),則m=.,答案-1,解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-

18、1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,15.(2017北京文,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則的最大 值為.,答案6,解析解法一:表示在方向上的投影與|的乘積,當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí),有最大 值,此時(shí)=23=6. 解法二:設(shè)P(x,y),則=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由題意知-1x1,x=1時(shí),取最大值6, 的最大值為6.,16.(2017山東理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+e2的夾角為60,則實(shí) 數(shù)的值是.,答案,解析本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量

19、的夾角公式. 由題意不妨設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1),則e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根據(jù)向量的夾角公式得cos 60= =,所以-=,解得=.,疑難突破根據(jù)“e1,e2是互相垂直的單位向量”將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解決本題的突破口.,易錯(cuò)警示對(duì)向量的夾角公式掌握不牢而致錯(cuò).,17.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且=,=,則的最小值為.,答案,解析如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C,D. 由=得E,由=得F. 從而=+2=當(dāng)且僅

20、當(dāng)=時(shí),取等號(hào).,1.(2018北京理,6,5分)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,考點(diǎn)二向量的綜合應(yīng)用,答案C本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以及充分、必要條件的判斷. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0ab,故選C.,方法總結(jié)平面向量模的問(wèn)題的處理方法: 通常是進(jìn)行平方,轉(zhuǎn)化成平面向量的數(shù)量積問(wèn)題解決.,2.(2018天津理,8,5分)如圖,在平面四

21、邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為() A.B.C.D.3,答案A本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用. 解法一:如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,當(dāng)t =-=時(shí),取得最小值,()min=-+=.故選A. 解法二:令=(01),由已知可得DC=, =+,=+=+, =(+)(+) =+|2+2|2 =32-+.,當(dāng)=-=時(shí),取得最小值.故選A.,方法總結(jié)向量的最值問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求

22、解,建立函數(shù)關(guān)系時(shí),可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算.,3.(2016課標(biāo)全國(guó),3,5分)已知向量=,=,則ABC=() A.30B.45 C.60D.120,答案AcosABC=,所以ABC=30,故選A.,4.(2016四川,10,5分)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足|=|=|,=-2, 動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|=1,=,則|2的最大值是() A.B. C.D.,答案B由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且 ADC=ADB=BDC=120,ABC為正三角形,設(shè)|=a,則a2cos 120=-2a=2AC=2 OC=3,如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-,0),B(,0)

23、,C(0,3).由=P,M,C三點(diǎn)共線且M為PC的中點(diǎn),設(shè)P(x,y),由|=1 (x+)2+y2=1, 令則即P(sin -,cos ), M, |2=(sin -3)2+(3+cos )2=37-(6sin -6cos )=(37+1,2)=. |2的最大值為.,疑難突破本題的難點(diǎn)是如何找出|2與變量之間的關(guān)系,突破之處是抓住|=1(x+)2 +y2=1,然后將坐標(biāo)參數(shù)化,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求asin +bcos =sin(+)的最大值問(wèn)題.,5.(2015湖南,8,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|+ +|的最大值為() A.6B.7

24、C.8D.9,答案B解法一:由圓周角定理及ABBC,知AC為圓的直徑. 故+=2=(-4,0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). 設(shè)B(cos ,sin ),=(cos -2,sin ), +=(cos -6,sin ),|+|=7,當(dāng) 且僅當(dāng)cos =-1時(shí)取等號(hào),此時(shí)B(-1,0),故|+|的最大值為7.故選B. 解法二:同解法一得+=2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),又=+,|+|=|3+| 3|+|=32+1=7,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào),此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),故|+| max=7.故選B.,評(píng)析本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的模等基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)能力要求較高.,6.(2019天津文,14,5分)在四邊形ABCD中,

25、ADBC,AB=2,AD=5,A=30,點(diǎn)E在線段CB的延 長(zhǎng)線上,且AE=BE,則=.,答案-1,解析本題主要考查平面幾何知識(shí)的應(yīng)用、解三角形、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的求解;考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力;通過(guò)向量的不同表現(xiàn)形式更全面考查了學(xué)生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2,EA=EB=2. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.,則A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,), =(2,-),=(1,),=(2,-)(1,)=-1. 解法二:

26、同解法一,求出EB=EA=2, 以,為一組基底, 則=-,=+=-, =(-) =-+- =52-12-25=-1.,7.(2019江蘇,12,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若=6,則的值是.,解析本題考查平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積等有關(guān)知識(shí),考查學(xué)生的抽象概括能力和運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. 過(guò)D作DFEC,交AB于F. D為BC的中點(diǎn),F為BE的中點(diǎn), 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO=AD, =(+). =(+) =.,答案,=6, =-+, =3,|=|, =.,一題多解由于題

27、目中對(duì)BAC沒(méi)有限制,所以不妨設(shè)BAC=90,AB=c,AC=b,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 則E,D, 易得lAD:y=x,lEC:+=1,聯(lián)立得解得則O. 由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.,考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積,C組教師專用題組,1.(2015安徽,8,5分)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列 結(jié)論正確的是() A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b),答案Db=-=,|b|=|=2,故A錯(cuò);=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=- 1,故B、C都錯(cuò);(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+

28、b),故選D.,2.(2015山東,4,5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ABC=60,則=() A.-a2B.-a2C.a2D.a2,答案D=(+)=+=a2+a2=a2.,3.(2015重慶,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),則a與b的夾角為() A.B.C.D.,答案A(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos-2|b|2=0. 又|a|=|b|,|b|2-|b|2cos-2|b|2=0. cos=.0,=.選A.,4.(2017課標(biāo)全國(guó)文,13,5分)已知向量a=(-2,3)

29、,b=(3,m),且ab,則m=.,答案2,解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.,5.(2017課標(biāo)全國(guó)理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.,答案2,解析解法一(公式法):由題意知ab=|a|b|cos 60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab= 4+4+4=12.所以|a+2b|=2. 解法二(坐標(biāo)法):根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,由題意,不妨取a=(2,0),b=,則a+2b= (3,),所以|a+2b|=2.,6.(2016課標(biāo)全國(guó),13,5分)設(shè)向量

30、a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.,答案-2,解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.,7.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,則=.,答案9,解析,=0, 即(-)=0, =9.,8.(2016江蘇,13,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),=4, =-1,則的值是.,答案,解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=- , =+=+=-=(-)-(+)=-, =+=+=(-)-(+) =-, =+=+=(-)-(+)=-, 因?yàn)?4,所以=4, 則= =-+ =-(+)

31、=4-(+)=-1, 所以+=,從而= =-+ =-(+)+ =-+4 =.,思路分析合理選擇“基底”,把相關(guān)向量用“基底”表示出來(lái),進(jìn)而求得向量的數(shù)量積.,9.(2015廣東,16,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x . (1)若mn,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為,求x的值.,解析(1)因?yàn)閙n,所以mn=sin x-cos x=0. 即sin x=cos x,又x,所以tan x=1. (2)易求得|m|=1,|n|=1. 因?yàn)閙與n的夾角為, 所以cos=. 則sin x-cos x=sin=. 又因?yàn)閤,所以x-. 所以x-

32、=,解得x=.,1.(2018天津文,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2 ,則的值為() A.-15B.-9 C.-6D.0,考點(diǎn)二向量的綜合應(yīng)用,答案C本題考查向量的運(yùn)算. 解法一:連接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-), =3(-)=3(-|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故選C. 解法二:在ABC中,不妨設(shè)A=90,取特殊情況ONAC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)镸ON=120,ON=2,OM=1,所以O(shè),C ,M,B. 故=-=-6.故選C.,2.

33、(2017課標(biāo)全國(guó)文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.,答案7,解析本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.,3.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,的模分別為1,1,與的夾角 為,且tan =7,與的夾角為45.若=m+n(m,nR),則m+n=.,答案3,解析本題考查平面向量基本定理及其應(yīng)用,平面向量的夾角及其應(yīng)用等知識(shí). 解法一:tan =7,0, cos =,sin =, 與的夾角為, =, =m+n

34、,|=|=1,|=, =, 又與的夾角為45, =, 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 =-=-,=|cosAOB=-, 將其代入得m-n=, -m+n=1, 兩式相加得m+n=, 所以m+n=3. 解法二:過(guò)C作CMOB,CNOA,分別交線段OA,OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N, 則=m,=n, 由正弦定理得=, |=,由解法一知,sin =,cos =, |=, |=,又=m+n=+,|=|=1, m=,n=, m+n=3.,4.(2015江蘇,14,5分)設(shè)向量ak=cos,sin+cos(k=0,1,2,12),則(akak+1)的值為 .,答案9,

35、解析由ak=(k=0,1,2,12)得ak+1=(k =0,1,2,11), 故akak+1=cos,sin+coscos,sin+cos =coscos+sin+cos =coscos+sinsin+sincos+cossin+coscos =cos+sin+cos,=cos+sin+coscos-sin =cos+sin+-sin =+sin+cos-sin =+sin+cos+cos-sin,=+sin+cos =+sin, 其中cos =,sin =, 所以(ak ak+1) =+sin+ =12=9.,考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,1

36、.(2019浙江金麗衢第一次聯(lián)考,2)已知向量a=(4,),b=(1,5),則向量a,b的夾角為() A.30B.45C.60D.90,答案Ccos=,從而=60,故選C.,2.(2019浙江寧波北侖中學(xué)高三模擬(一),4)設(shè)向量a, b滿足: |a|=1,|b|=2, a(a+b)=0, 則a與b的夾角是() A.30 B.60C.90 D.120,答案D由題意得,a(a+b)=|a|2+ab=1+|a|b|cos=1+2cos=0,則cos=-,故a與 b的夾角是120,故選D.,3.(2019浙江嵊州高三上期末,7)如圖,在ABC中,AB=2AC,BAC=,P1,P2,P3是邊BC的四等

37、 分點(diǎn),記I1=,I2=,I3=,則() A.I1I2I3B.I2I1I3 C.I2I3I1D.I3I2I1,答案C因?yàn)?(+),所以I1=(+),I3=(+),故只需判斷 ,之間的大小關(guān)系.不妨令A(yù)C=1,AB=2,則由余弦定理可得BC=,作ADBC, 由勾股定理容易得到P3位于點(diǎn)D的右側(cè),故AP3B為銳角,顯然有,故I2I3I1, 選C.,4.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,9)已知向量|a|=2且b2-2ab-3a2=0,則(b-a)b的最大值是() A.24B.34C.36D.40,答案Ab2-2ab-3a2=(b+a)(b-3a)=0. 令u=b+a,v=b-3a,則uv=0,u-v=

38、4a,3u+v=4b, (u-v)2=64,即u2+v2=64, (b-a)b=u2+824,故選A.,5.(2019浙江金麗衢第一次聯(lián)考,15)若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足:=+ ,則=.,答案-2,解析由題意可知,=(-)(-)=-+ -=-2.,6.(2019浙江杭州二模(4月),16)已知向量a=(1,2),平面向量b滿足(2a+b)a=|b|,則(b-4a)b的最 小值等于.,答案20,解析由題意得2a2+ab=|b|, 因?yàn)閨ab|b|,所以-|b|b|-2a2|b|,解得|b|, 所以(b-4a)b=b2-4ab=|b|2-4(|b|-2a2)=|b|2-4|b|+4

39、0=+2020.,7.(2019浙江諸暨高三上期末,15)已知|a|=3,|a-b|=|a-2b|,則|b|的最大值為.,答案2,解析設(shè)a與b的夾角為.將|a-b|=|a-2b|兩邊平方,化簡(jiǎn),解得|b|=2cos ,|b|2,當(dāng)且僅當(dāng)cos =1時(shí)取等號(hào).,8.(2019浙江寧波北侖中學(xué)高三模擬(二),17)如圖,C,D在半徑為1的O上,線段AB是O的直徑,則的取值范圍是.,答案,解析由題意得=(+)=-,顯然當(dāng)DC,DB均為O的直徑時(shí),取 得最大值4, 取BC的中點(diǎn)M,由極化恒等式可知=-=+-1-1-1 =-, 故.,1.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(三),7)設(shè)為兩個(gè)非零向量a,b的夾

40、角,且0,已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t (-1,1),|b+ta|無(wú)最小值,則以下說(shuō)法正確的是() A.若和|b|確定,則|a|唯一確定 B.若和|b|確定,則|a|無(wú)最大值 C.若確定,則|a|b| D.若不確定,則|a|b|,考點(diǎn)二向量的綜合應(yīng)用,答案D記y=|b+ta|2=|a|2t2+2tab+|b|2,則對(duì)稱軸為t=-=-0. 由題意知y關(guān)于t的二次函數(shù)在t(-1,1)上無(wú)最小值, 則-1, 即|a|b|cos 恒成立,當(dāng)和|b|確定時(shí),|a|有最大值,|a|不唯一. 無(wú)論取何值,都有|a|b|,故A,B,C錯(cuò)誤,D正確,故選D.,2.(2019浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中,9)若單位向量a,b的夾角

41、為鈍角,|b-ta|(tR)的最小值為, 且(c-a)(c-b)=0,則c(a+b)的最大值為() A.B.C.D.3,答案B不妨取a=(1,0),b=(cos ,sin ),則|b-ta|= , ,cos (-1,0), 當(dāng)t=cos 時(shí),|b-ta|取得最小值,sin =. ,=,b=. 設(shè)c=(x,y),(c-a)(c-b)=0,c2-c(a+b)+ab=0,c(a+b)=c2-.,由(c-a)(c-b)=0,可得(x-1,y)=x2-x-+y2-y=0, +=, |c|+=,c(a+b)=c2-=, c(a+b)的最大值為,故選B.,3.(2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考(2月),9)若平面

42、向量a,b,e滿足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且ab-e(a+b)+1=0,則|a-b|的最小值是() A.1B.2-1 C.2D.,答案B解法一:由ab-e(a+b)+1=0知,ab+1=e(a+b),所以|ab+1|=|e(a+b)|a+b|, 上式兩邊平方得(ab+1)2a2+b2+2ab=13+2ab, 所以-2ab2, 從而|a-b|=2-1, 故選B. 解法二:設(shè)a=,b=,e=,記e=(1,0), 由題意可知A在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上;B在以O(shè)為圓心,3為半徑的圓上. 因?yàn)閍b-e(a+b)+1=0,所以(e-a)(e-b)=0,即, 以,為邊作矩形AEBC,由矩形的

43、性質(zhì)可知,OE2+OC2=OA2+OB2, 所以O(shè)C=2,即C是在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上. 因?yàn)閨a-b|=AB=EC,而ECmin=2-1,ECmax=2+1, 所以|a-b|min=2-1,故選B.,4.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(二),9)已知平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,不等式|ka+tb|2恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是() A. B.(,+) C. D.(-,-1)(1,+),答案C由|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,得ab=-, 將|ka+tb|2兩邊平方,整理得9k2-15kt+25t2-40, 由題意得,故選C.,5.(2

44、019浙江金華十校聯(lián)考(4月),17)已知平面向量 a,m,n,滿足|a|=4,則當(dāng)|m-n|= 時(shí),m與n的夾角最大.,答案,解析m2-am+1=0可化為=-1=3,n2-an+1=0可化為=-1=3. 令a=,m=,n=,取OA的中點(diǎn)D,則M,N在以D為圓心,為半徑的圓上,連接DM,DN,MN, 如圖, 當(dāng)OM,ON與圓D相切時(shí),MON,即最大, 此時(shí)cosMDO=,MDO=,MDN=, |m-n|=MN=.,6.(2019浙南聯(lián)盟高三上期末,16)若向量a,b,c滿足ab,c0且(c-a)(c-b)=0,則的 最小值是.,答案2,解析不妨設(shè)|c|=1,則轉(zhuǎn)化為求|a+b|+|a-b|的最

45、小值. 利用幾何法處理,設(shè)a=,b=,c=,取AB的中點(diǎn)M,連接OM,CM,AB,AC,BC,則有|a+b|=2| |,|a-b|=|=2|,因?yàn)?c-a)(c-b)=0,所以,所以|=|,即|a-b|=2|, 從而|a+b|+|a-b|=2(|+|)2|-|=2|=2,當(dāng),反向平行或其中一個(gè)為零向 量時(shí)取等號(hào).,7.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(一),17)已知非零向量a,b滿足|2a+b|=1,|a-2b|=2,則|ab|的最大值是.,答案,解析令u=2a+b,v=a-2b,則|u|=1,|v|=2,解得a=,b=, 所以ab=,從而|ab|的最大值為.,B組20172019年高考模擬專題

46、綜合題組 時(shí)間:20分鐘分值:32分 一、選擇題(每小題4分,共12分),1.(2019浙江臺(tái)州一中、天臺(tái)一中高三上期中,7)已知a,b是兩個(gè)不共線的單位向量,則+ 的最小值為() A.B.1 C.2D.4,答案B因?yàn)?=+=,所以當(dāng)cos 2=0時(shí),+取得最小值1.故選B.,2.(2019浙江溫州普通高中高考適應(yīng)性測(cè)試(2月),7)在平面上,e1,e2是方向相反的單位向量,|a|=2 ,(b-e1)(b-e2)=0,則|a-b|的最大值為() A.1 B.2 C.4 D.3,答案D(b-e1)(b-e2)=0,b2-e1b-e2b+e1e2=0,b2-(e1+e2)b-1=0,解得|b|=1,又|a|=2,|a-b|2=a2+b2-2ab=5-2ab=5-2|a|b|cos=5-4cos9, |a-b=9,|a-b|max=3.故選D.,3.(2019浙江寧波效實(shí)中學(xué)高三上期中,10)已知|a|=|b|=1,ab=,c=(m,1-m),d=(n,1-n)(m,nR).若 存在a,b,對(duì)