1、24.1.2 垂徑定理,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋, 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,問題情境,把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,可以發(fā)現(xiàn)： 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸,活動(dòng)一,如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段（半徑除外）和?。繛槭裁?？,O,A,B,C,D,E,活 動(dòng) 二,線段：

2、AE=BE,弧：,把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合， ， 分別與 、 重合,不成立,AEBE， ，,（2）若CD和AB不垂直如圖2,（1）中的結(jié)論是否還成立？,若CDAB，但CD不是直徑，如圖3，（1）中的結(jié)論是否還成立？,不成立,O,A,B,C,D,E,幾何語言表達(dá),理解垂徑定理注意一下三點(diǎn)：,（1）這里的徑可以是直徑、半徑、或過圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過圓心”；,（2）垂徑定理是證明線段相等，弧相等的重要依據(jù)；,（3）垂徑定理也可以這樣理解：,練習(xí)：在下列圖形中，能使用垂徑定理的圖形有哪些？,X,X,X,活動(dòng)3,證明：過O作OECD于E C

3、E=DE,AE=BE AE-CE=BE-DE 即 AC=BD,證OCA ODB,例 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn). 求證:AC=BD.,活動(dòng)4,練習(xí)1如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑,（鞏固與提高）,解：,答：O的半徑為5cm.,活 動(dòng) 五,連OA,練習(xí)2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,練習(xí)3.在平面直角坐標(biāo)系中，A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)B(8，0)

4、，交y軸于點(diǎn)C (0，6),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （ ）,4,3,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋, 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,練習(xí)4,解得：R279（m）,解決求趙州橋拱半徑的問題,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.,OA2=AD2+OD2,實(shí)踐應(yīng)用,如圖，AB為O的弦,ODAB于D,交O于C,AB=a,OD=d,CD=h,O的半徑為r, 則a,h,d,r之間的關(guān)系可

5、以用幾個(gè)怎樣的式子來表示？,d+h=r,知二求二,1 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都 是它的對(duì)稱軸；,2 垂徑定理。,小結(jié)： 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？,理解垂徑定理注意一下三點(diǎn)：,（1）這里的徑可以是直徑、半徑、或過圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過圓心”；,（2）垂徑定理是證明線段相等，弧相等的重要依據(jù)；,（3）垂徑定理也可以這樣理解：一條直線如果具有兩個(gè)性質(zhì)：經(jīng)過圓心，垂直于弦。那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)：平分弦，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，平分弦所對(duì)的劣弧。,練習(xí)5. AB為O的弦，從圓上任意一點(diǎn)C引弦CDAB，作OCD的平分線交O于P，求證:,證明：連接OP OP=OC OPC=OCP, 又DCP=OCP, DCP=OPC CD OP,又CDAB OPAB,練習(xí)6、過圓內(nèi)一定點(diǎn)的弦中, 弦最短。,變式1：如圖，P為O內(nèi)一