1、,一、問題的提出,二、微分方程的定義,三、主要問題求方程的解,四、小結(jié) 思考題,第一節(jié) 微分方程的基本概念,引言,對(duì)自然界的深刻研究,傅里葉,微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問題中,往往很難直接得到,所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,卻,比較容易建立起,這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間,的聯(lián)系,從而得到一個(gè),方程,即微分方程.,通過求解這種方程,同樣可以找到,指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.,因此,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián),系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科,關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的,是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.,進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.,如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、,了,解和知曉現(xiàn)實(shí)

2、世界的工具”,那么微分方程就是顯示,數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值的一種體現(xiàn).,現(xiàn)實(shí)世界中的許,多實(shí)際問題,都可以抽象為微分方程問題.,例如,物體,的冷卻、,琴弦的振動(dòng)、,電磁波的傳播等,都可以歸結(jié)為,微分方程問題.,這時(shí)微分方程也稱為,所研究問題的數(shù),學(xué)模型.,微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論,體系.,本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理,論.,幾,解,一、引例,由題有,且滿足：,解,代入條件后知,故,開始制動(dòng)到列車完全停住共需,微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程， 叫做微分方程.,例,實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的 某些

3、導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,二、基本概念,分類1: 常微分方程, 偏微分方程.,我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程,稱為,常微分方程.,類似地,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程,稱為,偏微分方程.,例如方程,是偏微分方程.,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).,一階微分方程,高階微分方程,分類2:,常微分方程的一般形式是:,是未知函數(shù),必須出現(xiàn),而其余變量可以不出現(xiàn),其余變量都沒有出現(xiàn).,就得到微分方程,如果,解出最高階導(dǎo)數(shù),以后我們討論的微分方程,程,在所討論的范圍內(nèi),連續(xù).,分類3:,非線性微分方程.,線性微分方程.,知函數(shù).,全是一次冪。,否則統(tǒng)稱為非線性微分方程

4、.,即微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù),分類4: 單個(gè)微分方程與微分方程組.,例3,試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的階數(shù).,解,(1),是一階線性微分方程,因方程中含有的,(2),是一階非線性微分方程,因方程中含有的,的平方項(xiàng).,例3,試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的階數(shù).,解,(3),是二階非線性微分方程,因方程中含有的,的三次方.,(4),是二階非線性微分方程,因方程中含有非線性,微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式 的函數(shù).,微分方程的解的分類：,三、求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,滿足,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖像: 微分方程的積分曲線.,通解的圖像: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,過定點(diǎn)的積分曲線;,一階:,二階:,過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題:求微分方程滿足初始條件的特解的問題.,解：,所求特解為,微分方程；,微分方程的階；,微分方程的解；,通解;,初始條