1、2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）（2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，則（3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(diǎn)(1,2)處的全微分（4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .（5）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則_.（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為，則二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則(a) .

2、(b) .(c) . (d) . （8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(a) 存在 (b) 存在(c) 存在 (d)存在 （9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(a) 收斂 . （b）收斂.(c) 收斂. (d) 收斂. （10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(a) 若，則. (b) 若，則. (c) 若，則. (d) 若，則. （12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(a) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (b) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (c) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (

3、d) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). （13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）. （）.（）. （）. （14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(a) (b) (c) (d) 三 、解答題：1523小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求() ；() .（16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.（17）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時，. （18）（本題滿分8分）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當(dāng)與

4、直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.（19）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.（21）（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得；（）求及，其中為3階單位矩陣.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).()求的概率密度；()；().（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機(jī)樣

5、本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（）求的矩估計；（）求的最大似然估計2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析二、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】將其對數(shù)恒等化求解. 【詳解】， 而數(shù)列有界，所以. 故 . （2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，則 【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可. 【詳解】由題設(shè)知，兩邊對求導(dǎo)得 ， 兩邊再對求導(dǎo)得 ，又，故 . （3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(diǎn)(1,2)處的全微分 【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算. 【詳解】方法一：因?yàn)椋?， 所以 . 方法二：對微分得 ，故 . （4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2

6、 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.（5）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨(dú)立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度 .則 .【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖： 則 .（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為，則 【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可. 【詳解】因?yàn)?， 所以 ，又因是的無偏估計量，所以 .二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）

7、設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則(a) . (b) .(c) . (d) . 【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時，故應(yīng)選(). （8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(a) 存在 (b) 存在(c) 存在 (d)存在 c 【分析】從入手計算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性. 【詳解】由知，.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則 . 令，則. 所以存在，故本題選（c）. （9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(a) 收斂 . （b）收斂.(c) 收斂. (d) 收斂. 【分析】 可以通過舉反例及級

8、數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級數(shù)收斂，故應(yīng)選(). 或利用排除法： 取，則可排除選項(xiàng)（），（）； 取，則可排除選項(xiàng)（）.故（）項(xiàng)正確.（10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于是對應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解為 ，故應(yīng)選().【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應(yīng)齊次微分方程的通解.（11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(a)

9、若，則. (b) 若，則. (c) 若，則. (d) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應(yīng)的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得 .（因?yàn)椋?，若，則.故選（）.（12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(c) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (d) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (c) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (d) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). a 【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().（13）設(shè)為3階

10、矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）. （）.（）. （）. 【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得 ，而 ，則有.故應(yīng)選（）.（14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且 則必有(b) (b) (c) (d) a 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得， 則 ，即. 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù). 又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(a).三 、解答題：1523小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求() ；() . 【分析】第()問

11、求極限時注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第()問需利用第()問的結(jié)果，含未定式極限. 【詳解】() . () （通分） （16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域. 【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可. 【詳解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦栂碌暮瘮?shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以 （17）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當(dāng)時，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.（18）（本題滿分8分）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率

12、與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值. 【分析】()利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；()利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù). 【詳解】() 設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得 ，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲線的方程為 . () 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 ， 故.（19）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 【分析】因?yàn)閮缂墧?shù)缺項(xiàng)，按函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域的求法計算；利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù). 【詳解】記，則. 所以當(dāng)時，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng)時，所給

13、冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，所給冪級數(shù)為，均收斂，故所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)樵趦?nèi)，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所給冪級數(shù)在處都收斂，且在 處都連續(xù)，所以在成立，即 ，.（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出. 【分析】因?yàn)橄蛄拷M中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關(guān)組. 【詳解】記以為列向量的矩陣為，則 . 于是當(dāng)時，線性相關(guān). 當(dāng)時，顯然是一個極大線性無關(guān)組，且； 當(dāng)時， ， 由于此時有三階非零行列式，所以為極大

14、線性無關(guān)組，且. （21）（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.() 求的特征值與特征向量；() 求正交矩陣和對角矩陣,使得；（）求及，其中為3階單位矩陣.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣；由可得到和.【詳解】 () 因?yàn)榫仃嚨母餍性刂途鶠?，所以 ，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應(yīng)的特征向量.對應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知 ，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的全部特征向量為 ，其中為不全為零的常數(shù).() 因?yàn)槭菍?shí)對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取 ， .再將單位化，得 ，令 ，則，由是實(shí)對稱矩陣必可相似對角化，得 . （）由()知 ，所以 . ，則.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).() 求的概率密度；() ；() .【分析】 求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公