1、第4節(jié)數列求和及綜合應用,考點專項突破,知識鏈條完善,易混易錯辨析,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導讀】 數列求和有哪些方法? 提示:公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、錯位相減法.,知識梳理,1.數列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比數列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一個數列an滿足與首末兩項等“距離”的兩項的和相等(或等于同一常數),那么求這個數列的前n項和,可用倒序相加法. (3)裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和. (4)分組求和法 一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成

2、,求和時可用分組求和法,分別求和而后相加.,(5)并項求和法 一個數列的前n項和中,若項與項之間能兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用并項法求解. (6)錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和可用此法來求,如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的. 2.數列應用題的常見模型 (1)等差模型:當增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型是等差模型,增加(或減少)的量就是公差. (2)等比模型:當后一個量與前一個量的比是一個固定的數時,該模型是等比模型,這個固定的數就是公比. (3)遞推模型:找到數列

3、中任一項與它前面項之間的遞推關系式,可由遞推關系入手解決實際問題,該模型是遞推模型.等差模型、等比模型是該模型的兩個特例.,【拓展提升】,對點自測,1.數列1+2n-1的前n項和為( ) (A)1+2n (B)2+2n (C)n+2n-1(D)n+2+2n,C,2.設an是公比為q的等比數列,Sn是其前n項和,若Sn是等差數列,則q為( ) (A)-1(B)1(C)1 (D)0,B,解析:據題意可知,2S2=S1+S3,知2(a1+a1q)=a1+(a1+a1q+a1q2),即a1q=a1q2,因為a10,q0,所以q=1.故選B.,A,5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n=.,

4、考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,數列求和(高頻考點),考查角度1:分組求和法 【例1】 設數列an滿足a1=2,a2+a4=8,且對任意nN*,函數f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x滿足f =0. (1)求數列an的通項公式;,(2)若bn=2(an+ ),求數列bn的前n項和Sn.,分組法求和的常見類型 (1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數列,可采用分組法求an的前n項和. (2)通項公式為an= 的數列,其中數列bn,cn是等比數列或等差數列,可采用分組法求和.,反思歸納,考查角度2:裂項相消法 高考掃描:2011高考新課

5、標全國卷,2015高考新課標全國卷.,(1)常見的裂項方法(其中n為正整數),反思歸納,(2)利用裂項相消法求和時,應注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項,再就是將通項公式裂項后,有時候需要調整前面的系數,使前后相等.,考查角度3:錯位相減法求和 高考掃描:2014高考新課標全國卷. 【例3】 (2016山東卷)已知數列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數列,且an=bn+bn+1. (1)求數列bn的通項公式;,錯位相減法求和策略 (1)如果數列an是等差數列,bn是等比數列,求數列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法,一般是和式兩邊同乘以等比

6、數列bn的公比,然后作差求解. (2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式. (3)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.,反思歸納,考點二,與數列求和有關的綜合問題,(1)數列與函數的綜合問題主要有以下兩類:已知函數條件,解決數列問題,一般利用函數的性質、圖象;已知數列條件,解決函數問題,一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. (2)數列與不等式的恒成立問題.此類問題常構造函數,通過函數的單調性、最值等解決問題. (3)與數列有關的不等式證明問題.解決此類問題

7、要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.,反思歸納,【即時訓練】 已知各項不為零的數列an的前n項和為Sn,且滿足Sn=a1(an-1),數列bn滿足anbn=log2an,數列bn的前n項和為Tn. (1)求an,Tn;,解:(1)當n=1時,a1=S1=a1(a1-1), 因為a10, 所以a1=2. 當n2時,Sn=a1(an-1), Sn-1=a1(an-1-1), -得,an=a1(an-an-1)=2(an-an-1), 所以an=2an-1, 所以數列an是首項為2,公比為2的等比數列, 所以an=2n.,(2)若nN*,不等式t2+2t+3Tn恒成立,求

8、使關于t的不等式有解的充要條件.,備選例題,【例1】 (2016全國卷)Sn為等差數列an的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=lg an,其中x表示不超過x的最大整數,如0.9=0,lg 99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求數列bn的前1 000項和.,解:(1)設an的公差為d,據已知有7+21d=28, 解得d=1.所以an的通項公式為an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.,【例2】 (2016湖南八校聯考)已知數列an與bn滿足an+1-an=2(bn+1-bn)(nN*). (1)若a1=1,bn=3n+5,求數列an的通項公式;,解:(1)因為an+1-an=2(bn+1-bn),bn=3n+5, 所以an+1-an=2(bn+1-bn)=2(3n+8-3n-5)=6, 所以an是等差數列,首項為a1=1,公差為6,即an=6n-5.,(2)若a1=6,bn=2n(nN*)且an2n+n+2對一切nN*恒成立,求實數的取值范圍.,【例3】 (2016河南鄭州模擬)已知數列an的首項為a1=1,前n項和為Sn,且數列 是公差為2的等差數列. (1)求數列an的通項公式;,(2)若bn