1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),【知識(shí)梳理】 1.周期函數(shù)和最小正周期,非零常數(shù),f(x+T)=f(x),2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),R,R,-1，1,-1，1,R,x|xR且x + k，kZ,(kZ),(kZ),2k-，,2k(kZ),2k，2k+,(kZ),(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),(k，0)，,kZ,x=k，kZ,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: y=sinx在第一、第四象限是增函數(shù); 所有的周期函數(shù)都有最小正周期; 正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù); y=ksinx+1,xR,則y的最大值為k+1; y=sin|x|是偶函數(shù). 其中正確的是(

2、) A.B.C.D.,【解析】選C.錯(cuò)誤.由y=sinx的遞增區(qū)間是 (kZ)可知不正確, 錯(cuò)誤.不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如函數(shù)f(x)=C (C為常數(shù))的周期為任意非零實(shí)數(shù),但沒(méi)有最小正周期. 錯(cuò)誤.正切函數(shù)y=tanx在每一個(gè)區(qū)間 (kZ)上 都是增函數(shù),但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故不是增函數(shù). 錯(cuò)誤.當(dāng)k0時(shí)y的最大值為k+1;而當(dāng)k0時(shí),y的最大值為-k+1. 正確.由sin|-x|=sin|x|可知正確.,2.函數(shù)y=tan( -x)的定義域是( ) A.x|x ,xR B.x|x- ,xR C.x|xk- ,kZ,xR D.x|xk+ ,kZ,xR 【解析】選D.因?yàn)閤-

3、 k+ ，kZ, 所以xk+ ，kZ.,3.函數(shù)y=tan(2x+)的最小正周期是( ) A.2 B. C. D. 【解析】選C.根據(jù)正切函數(shù)的周期公式可知最小正周期為 T= ，選C.,4.函數(shù)y=4sinx,x-,的單調(diào)性是() A.在-,0上是增函數(shù),在0,上是減函數(shù) B.在 上是增函數(shù)，在 和 上都是減函數(shù) C.在0，上是增函數(shù)，在-，0上是減函數(shù) D在 和 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù) 【解析】選B.函數(shù)y=4sinx,x-,在 上是增函數(shù), 在 和 上是減函數(shù).,5.(2014嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)sin(x+ )(0)的最 小正周期為，則該函數(shù)的圖象( ) A.關(guān)于直線x 對(duì)稱

4、B.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 C.關(guān)于直線x 對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱 【解析】選B.由題意知T ，則2，所以f(x) sin(2x+ )，又f( )sin( )sin 0，故圖象關(guān) 于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱.,6.y 的最大值為_,此時(shí)x_. 【解析】當(dāng)cos(x+ )1時(shí)， 函數(shù)y23cos(x+ )取得最大值5， 此時(shí)x 2k,kZ，從而x 2k，kZ. 答案：5 2k，kZ,考點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域與值域 【典例1】(1)函數(shù)y=2sin( )(0 x9)的最大值與最小值之和為( ) A.2- B.0 C.-1 D.-1- (2)函數(shù)f(x)=1-2sin2x+2cos x的最小值和最大值

5、分別為( ) A.-1,1 B.- ，-1 C.- ，3 D.-2， (3)函數(shù) 的定義域是_.,【解題視點(diǎn)】(1)先由x的范圍求出 的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值 (2)利用平方關(guān)系將sin x用cos x表示，再利用二次函數(shù)求解. (3)由三角函數(shù)的正弦線、余弦線及單位圓進(jìn)行作圖求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值. 因?yàn)? x9，所以 所以 所以y- ，2，所以ymax+ymin= (2)選C.因?yàn)閒(x)=1-2sin2x+2cos x=1-2(1-cos2x)+2cos x= 2cos2x+2cos x-1= 又因?yàn)閤R，所以cos x-1,

6、1. 所以當(dāng)cos x= 時(shí)，f(x)有最小值，且f(x)min= 當(dāng)cos x=1時(shí)，f(x)有最大值，且f(x)max=3.,(3)由題意，得 即 首先作出sin x= 與cos x= 表示的角的終邊(如圖所示).,由圖可知劣弧 和優(yōu)弧 的公共部分對(duì)應(yīng)角的范圍是 所以函數(shù)的定義域?yàn)?答案:,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.,2.三角函數(shù)值域的三種求法 (1)直接法:利用sinx,cosx的值域. (2)化一法:化為y=Asin(x+)+k的形式逐步分析x+的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域.

7、(3)換元法:把sinx或cosx看作一個(gè)整體,可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】函數(shù)ysin xcos xsin xcos x，x0，的最小值是_. 【解析】設(shè)sin xcos xt， 因?yàn)閤0，所以 所以t1， ，sin xcos x 所以 當(dāng)t1時(shí)，ymin1. 答案：1,【加固訓(xùn)練】 1.函數(shù) 的定義域?yàn)開. 【解析】要使函數(shù)有意義，必須使sin x-cos x0. 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.,在0,2內(nèi)，滿足sin x=cos x的x為 再結(jié)合正弦、 余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)?x| +2kx +

8、2k,kZ. 答案：x| +2kx +2k,kZ,2.函數(shù)y 的值域?yàn)開. 【解析】由y 得cos x 因?yàn)?cos x1，所以1 1，解得 因此，原函數(shù)的值域?yàn)?答案：,考點(diǎn)2 三角函數(shù)的單調(diào)性 【典例2】(1)函數(shù)y=sin( -2x)的減區(qū)間是. (2)(2014紹興模擬)若函數(shù)f(x)=2sinx(0)在 上單調(diào)遞增,則的最大值為. 【解題視點(diǎn)】(1)將x的系數(shù)化為正數(shù)后再求解. (2)根據(jù) 是相應(yīng)增區(qū)間的子集構(gòu)造不等式求解或轉(zhuǎn)化 為周期關(guān)系求解.,【規(guī)范解答】(1)ysin( -2x)可化為 ysin(2x- ). 令2k 2x 2k ，kZ， 得k xk ，kZ. 所以xR時(shí)，ys

9、in( -2x)的減區(qū)間為 kZ. 答案： kZ,(2)方法一：由2k x2k ，kZ, 得f(x)的增區(qū)間是 ，kZ. 因?yàn)閒(x)在 上是增函數(shù)， 所以 . 所以 且 ，又因?yàn)?,所以(0, . 因此的最大值為 .,方法二：因?yàn)閤 ,0. 所以x , 又f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù)， 所以 ， 則 得0 因此的最大值為,方法三：因?yàn)閒(x)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故原點(diǎn)到 的距離不超過(guò) ，即 ，得T ,即 , 又0，得0 因此的最大值為 答案：,【互動(dòng)探究】在本例(1)中函數(shù)不變，求函數(shù)在，0上 的單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】方法一：xR時(shí)，ysin( -2x)的減區(qū)間為k- ,k+ ，kZ.令k0

10、得 ；令k1得 ，故x，0時(shí)，ysin( -2x)的減 區(qū)間為-, ， ,0.,方法二：因?yàn)閤0， 所以 結(jié)合正弦曲線， 由 解得 由 解得 所以單調(diào)減區(qū)間為-, ， ,0.,【規(guī)律方法】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法:所謂代換法,就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是:從左到右,圖象上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間,圖象下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間,畫出三角函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間. 提醒:求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正,同時(shí)切莫漏掉考慮

11、函數(shù)自身的定義域.,【變式訓(xùn)練】函數(shù) 的遞減區(qū)間是_. 【解析】y的遞減區(qū)間為cos 2x的遞增區(qū)間，同時(shí)注意 cos 2x0，所以有2k 2x2k(kZ)，k xk(kZ)，其遞減區(qū)間為(k ，k(kZ). 答案：(k ，k(kZ),【加固訓(xùn)練】 1.下列區(qū)間是函數(shù)y2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是( ) A.(0，) B.(- ,0) C.( ,2) D.(-,- ) 【解析】選D.作出函數(shù)y2|cos x|的圖象，結(jié)合圖象可判斷選D.,2.比較下列各組數(shù)的大?。?(1)cos( )與 . (2)cos 1,sin 1. 【解析】(1)cos( )=cos =cos(- )=-cos ;

12、 而 因?yàn)?所以 所以 所以,(2)因?yàn)閏os 1=sin( -1)，而0 -11 , 且y=sin x在0, 上單調(diào)遞增， 所以sin( -1)sin 1，即cos 1sin 1.,考點(diǎn)3 三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性 【考情】三角函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱性在高考中以選擇題、填空題或解答題的某一問(wèn)的形式出現(xiàn)，考查對(duì)稱中心與對(duì)稱軸、奇偶性的判斷等問(wèn)題.,高頻考點(diǎn)通關(guān),【典例3】(1)(2014湖州模擬)函數(shù)y2sin(3x) (| )的一條對(duì)稱軸為x ，則_. (2)(2014舟山模擬)函數(shù)f(x) (0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖 象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且 AB

13、C為正三角形,則_.,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)對(duì)稱軸方程求或利用對(duì)稱軸處函數(shù)取最值求解. (2)利用相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為半個(gè)周期求解.,【規(guī)范解答】(1)方法一：由ysin x的對(duì)稱軸為xk (kZ)，即3 k (kZ)，得k (kZ) 又| ，所以k0，故 . 方法二：因?yàn)閤 是函數(shù)y2sin(3x)(| )的一條 對(duì)稱軸，故當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)y2sin(3x)取得最值，即 f( )2，故2sin( )2，得 得k (kZ).又| ，所以k0，故 . 答案：,(2)正三角形ABC的高為2 ，從而BC4. 所以函數(shù)f(x)的周期T428， 即 答案：,【通關(guān)錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組

14、】 1.(2012福建高考)函數(shù)f(x)sin(x- )的圖象的一條對(duì)稱 軸是( ) A.x B.x C.x D.x,【解析】選C.方法一：(圖象特征) 因?yàn)檎液瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)， 故令x k ，kZ，所以xk ，kZ. 取k1，則x . 方法二：(驗(yàn)證法) x 時(shí)，sin（ ）0，不合題意，排除A；x 時(shí)， sin( ) ，不合題意，排除B；x 時(shí)，sin(- - )1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x 時(shí)，sin(- - ) 不合題意，故D項(xiàng)也不正確.,2.(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知0,0，直線x 和x 是函數(shù)f(x)sin(x)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則 ( ) 【解析】

15、選A.由于直線x 和x 是函數(shù)f(x)sin(x )圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T 2，所以1，所以 k (kZ).又0， 所以 .,3.(2014無(wú)錫模擬)函數(shù)f(x)=Asin(x+) (A0,0)的圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+ f(3)+f(2013)=. 【解析】由圖可得:T=8,A=2,可取0. 且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+f(2013)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) = +2. 答案:2+,4.(2014紹興模擬)已知函數(shù)y=Acos( x+)(A

16、0)在一個(gè)周 期內(nèi)的圖象如圖所示,其中P,Q分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低 點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)，且PMQ=90，則A的值為_.,【解析】由y=Acos( x+)知,函數(shù)的周期 設(shè)M(x0,0)， 則P(x0+3,A),Q(x0+1,-A)，又PMQ=90，故kPMkQM= =-1，解得A2=3，又A0，故A= . 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014哈師大附中模擬)若函數(shù)f(x)=Asin2x(A0,0)在x=1處取得最大值,則f(x+1)的奇偶性為() A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù),【解析】選A.因?yàn)閒(x)=Asin2x在x=1處取得最大值,故

17、f(1)=A,得2= +2k,kZ.因此,f(x+1)=Asin(2x+2) =Asin( )=Acos2x,故f(x+1)是偶函數(shù).,2.(2012上海高考)若Sn= (nN*),則在 S1,S2,S100中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.16B.72C.86D.100 【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin 的最小正周期為T=14, 又 所以在S1,S2,S3,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0. 由周期性可知,在S1,S2,S100中共有14個(gè)0,其余都大于0, 即共有86個(gè)正數(shù).,3.已知函數(shù) (1)判斷f(x)的奇偶性. (2)求f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由cos2x0得2xk+ ,kZ, 解得 kZ, 所以f(x)的定義域?yàn)閤|x ，kZ. 當(dāng)x ,kZ時(shí), f(x)=,又f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 所以f(x)是偶函數(shù). (2)因?yàn)閒(x)=3cos2x-1= 所以函數(shù)的最小正周期為T= =.,【巧思妙解4】巧用對(duì)稱性解決奇偶性問(wèn)題 【典例】(2014金華模擬)若函數(shù)f(x)2sin(2x+- ) (0)是偶函數(shù)，則_.,【解析】常規(guī)解法： 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)xR,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 即 整理得 因?yàn)閤R,所以 又因?yàn)?， 故 所以 答案：,巧妙