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文檔簡介

1、在這一章里我們要對于域作一些進一步的討論我們不準備證明一些復雜的結構定理，而主要是對單擴域、代數(shù)擴域、多項式的分裂域、有限域和可離擴域作一些討論,第五章 擴域,定理令 是一個域若 的特征是 ，那么 含有一個與有理數(shù)域同構的子域；若 的特征是素數(shù) ，那么 含有一個與 同構的子域，這里 是整數(shù)環(huán)， 是由 生成的主理想,這就有如何選擇域的 問題我們有以下事實,：,但 包含 的商域 由，10，定理4， 與 的商域，也就是有理數(shù)域同構,情形2 的特征是素數(shù) 這時 此處 是 的核但 所以 ，因而 由，引理， 是一個最大理想,另一方面， 所以 而 ，因而 證完,有理數(shù)域和 顯然都不含真子域 定義一個域叫做一

2、個素域，假如它不含真子域 由定理知道：一個素域或是與 有理數(shù)同構，或是與同構因此定理的另一形式是 定理2另 是一個域若 的特征是，那么 包含一個與有理數(shù)域同構的素域；若 的特征是素數(shù) ，那么 包含一個與 同構的素域,由定理2，一個任意域都是一個素域的擴域；因此，如果我們能夠決定素域的所有擴域，我們就掌握了所有的域但事實上研究素域的擴域并不比研究一個任意域 的擴域來的容易因此我們研究域的普通方法是：設法決定一個任意域的所有擴域 ,現(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個擴域的結構,另 是域 的一個擴域我們從 里取出一個子集來我們用 表示含 和 的 的最小子域，把它叫做添加集合 于 所得的擴域,形式的元，這里

3、 ， ， ，是 中的任意有限個元素，而 和 是 上的這些 的多項式這是因為： 既然是含有 和 的一個域，它必然含有一切可以寫成形式（）的元；令一方面，一切可以寫成形式（）的元已經作成一個含有 和 的域,適當選擇 ，我們可以使 例如，取 ，就可以作到這一點實際上，為了作到這一點，常常只須取 的一個真子集 ,現(xiàn)在假定 那么按照上面的分析， 是一切添加 的有限子集于 所得子域的并集這樣，求 就歸納為求添加有限集于 所得的子域以及求這些子域的并集,定理令 是域 的一個擴域，而 和 上 的兩個子集那么,證明 是一個包含 、 和 的 的子域，而 是包含 和 的 的最小子域因此 （）,另一方面， 是一個包含 、 和 ，因而是一個包含 和 的 的子域但 是包含和 的 的最小子域，因此 （

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