1、1、如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為，彈性模量為，泊松比；單元的邊長及結(jié)點編號見圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣(2) 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣(3) 單元剛度矩陣圖11、解：設(shè)圖1所示的各點坐標(biāo)為點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0）于是，可得單元的面積為 ，及(1) 形函數(shù)矩陣為(7分) ； (2) 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣分別為(7分)，； ，；(3) 單元剛度矩陣(6分)2、圖2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為，四邊受到均勻荷載的作用，荷載集度為，同時在方向相應(yīng)的兩頂點處分別承受大小為且沿板厚度方向均勻分布的荷載作用。設(shè)薄板材料的彈性模量為，泊松比。試求(1) 利用對稱性，取圖（b）

2、所示結(jié)構(gòu)作為研究對象，并將其劃分為4個面積大小相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計算模型（即根據(jù)對稱性條件，在圖（b）中添加適當(dāng)?shù)募s束和荷載，并進(jìn)行單元編號和結(jié)點編號）。(2) 設(shè)單元結(jié)點的局部編號分別為、，為使每個單元剛度矩陣相同，試在圖（b）中正確標(biāo)出每個單元的合理局部編號；并求單元剛度矩陣。(3) 計算等效結(jié)點荷載。(4) 應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。2、解：(1) 對稱性及計算模型正確(5分)(2) 正確標(biāo)出每個單元的合理局部編號(3分)(3) 求單元剛度矩陣(4分)(4) 計算等效結(jié)點荷載(3分)(5) 應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈灰萍s束之后，

3、給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。(5分)對稱對稱作業(yè)1： 有一個等截面兩節(jié)點二力桿，桿長為L，截面積為A，材料彈性模量為E。每個節(jié)點只考慮一個水平位移，對于圖 (a)、(b) 所示的坐標(biāo)系統(tǒng)和位移插值函數(shù)，分別求相應(yīng)的B矩陣和單元剛度矩陣K。解：（a）、，由邊界條件確定常數(shù)、：當(dāng)時，；當(dāng)時，可得因每個節(jié)點只考慮一個水平位移故以矩陣形式表示的單元位移函數(shù)為：單元的幾何矩陣：，即對于矩形截面梁單元，積分：為單元橫截面面積。梁單元剛度矩陣 （b）、，由邊界條件確定常數(shù)、：當(dāng)時，；當(dāng)時，可得因每個節(jié)點只考慮一個水平位移故以矩陣形式表示的單元位移函數(shù)為：單元的幾何矩陣：，即對于矩形截面梁單元，

4、積分：為單元橫截面面積。梁單元剛度矩陣32、設(shè)圖中i點有水平位移ui=1，試由單元剛度方程寫出各鏈桿的反力；并證明各水平、豎向反力之和為0。解：如圖，依題意有 且： 單元剛度矩陣子塊通式為 由于只有i點有水平位移ui=1，其余全為0，所以各鏈桿的反力為： 下面證明各水平、豎向反力之和為0：得證。33、求圖示單元1、2的單元剛度矩陣和應(yīng)力矩陣。解：單元1：依題意， 且三角形面積，所以得幾何矩陣 為計算簡單，取，則得應(yīng)力矩陣所以，單元剛度矩陣單元2：原理同（1），由于彈性矩陣為一與有關(guān)的常數(shù)矩陣，應(yīng)力矩陣線性相關(guān)于幾何矩陣,又 所以（2）中幾何矩陣 故而單元剛度矩陣41、求圖示三角形單元的等效結(jié)點

5、荷載已知：t=1.5cm, Wx =0 Wy =-0.003kg/cm3,P=6kg ,q=2kg/cm ，a=20cm，Rjx =-15.0111kg, Rjy =-8.9265kg。解：依題意，外荷載可以分為 三角形面積體積力 方向方向最終得到等效節(jié)點荷載42、用有限元法計算圖示結(jié)構(gòu)的各支座反力。E=constant, =0.15解：依題意，由于所以在單元剛度矩陣只要考慮與之對應(yīng)位移不為0的元素。 -124單元 -124單元-234單元 -234單元 -124單元 -124單元-234單元 -234單元 由，得故各支座反力為：1已知平面應(yīng)力問題下三節(jié)點三角形單元的節(jié)點坐標(biāo)、和；單元的節(jié)點位

6、移分量、；材料彈性模量，泊松比。試求：（1）單元的形函數(shù)，和；（2）單元內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力分量？ 解：(1) (2) 又由得由可得 即2圖示為一個三個節(jié)點的桿單元，為坐標(biāo)原點，其位移模式取為。設(shè)其為常數(shù)，試求其單元的剛度矩陣。O123L/2L/2x解： 可求得：上述三式代入 并整理得：則 由 得 單元的剛度矩陣3已知圖示正方形薄板的邊長為，厚度為，彈性模量為，泊松比?，F(xiàn)將其分成兩個三角形單元，設(shè)節(jié)點2、3和4為不動點，在節(jié)點1處受到向上的集中載荷P。試求節(jié)點位移，支座反力以及單元A和單元B內(nèi)的應(yīng)力？2134PyxaaABijmijm解：如圖建立坐標(biāo)系。對于單元A：i(0,a)，j(0,0)，m(a,

7、0)，由 可得對于單元B：i(a,0)，j(a,a)，m(0,a)，同理可得 整體剛陣又 可得 由可得單元A： 同理，單元B： 4已知集中載荷，試求圖示六節(jié)點三角形單元的等效節(jié)點載荷列陣。 yx21i(2,2)j(6,3)m(5,6)3(5,4)P30解：設(shè)集中載荷P的作用點為A，則又 又 由 得 5、已知材料的彈性模量和泊松比。計算圖示四面體單元的形函數(shù)；單元的剛度矩陣中的元素和。i (0,0,0)j (3,0,0)p (2,1,2)m (1,3,0) 解：同理可得:由 6、圖示四邊形單元受到均勻的重力載荷（單位體積載荷，沿軸負(fù)方向）作用，已知單元的厚度為常量，材料的彈性模量和泊松比。試用階

8、高斯積分計算節(jié)點1處的等效節(jié)點載荷和單元剛度矩陣中的元素yxhx3(7,6)4(1,5)2(8,1)1(2,1)解：由 可得：又 當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，由 可得：又由高斯積分公式可得：當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，二、將受自重作用的等截面直桿劃分成 3 個等長的單元，試分別按材料力學(xué)和有限元法的思路求解，并對結(jié)果進(jìn)行比較分析。（10 分）2.如圖2為一個平面超靜定桁架結(jié)構(gòu)，在載荷P的作用下，求各個桿的軸力。此結(jié)構(gòu)可以看成由14,24,34三個桿組成的，每個桿單元的兩端為桿單元的結(jié)點，各結(jié)點的水平，鉛直位移分別用u、v表示。解：由題意可得：各桿件在局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣： 1 0

9、 -1 0 0 0 0 0ke=EA/L -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0圖2 桁架超靜定結(jié)構(gòu)對于14桿轉(zhuǎn)角=/2+，cos=-cos，sin=sin， sin -cos 0 0 cos sin 0 0故T14= 0 0 sin -cos 0 0 cos sin sin2 sin* cos -sin2 -sin* cos對于K14=T14 T*K14 *T14=EA/L* -sin* cos cos2 sin* cos -cos2 -sin2 -sin* cos sin2 sin* cos sin* cos -cos2 -sin* cos cos2對于24桿轉(zhuǎn)角=

10、90，則有： 0 0 0 0 0 1 0 -1K24= EA/L* 0 0 0 0 0 -1 0 1對于34桿轉(zhuǎn)角=/2-，cos=cos，sin=-sin，cos -sin 0 0 -sin cos 0 0故T34= 0 0 -cos sin 0 0 -sin cos 對于K34=T34 T*K34 *T34 -sin2 sin* cos -sin2 -sin* cos 0 0 0 0 sin* cos cos2 -sin* cos cos2 0 0 0 0 sin2 sin* cos 0 0 0 0 -sin2 -sin* cos Ke=K14+K24+K34=EA/L* -sin* co

11、s cos2 0 -1 0 -1 -sin* cos cos2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -sin2 -sin* cos 0 0 sin2 sin* cos 0 0 -sin* cos -cos2 0 0 sin* cos cos2利用K*0 0 u v 0 0 0 0=0 0 0 P 0 0 0 0，可以解得u，v的值。對于桿單元14時，14=K14*q14可以求得；對于桿單元24時，24=K24*q24可以求得；對于桿單元34時，34=K34*q34可以求得。3.如圖3所示的鋼架中，兩桿為尺寸相等的等截面桿件，橫截面積為A=0.5m2，截面慣

12、性矩為I=1/24m4，E=3*107kpa，求解此結(jié)構(gòu)。圖3 鋼架解：將桿件單元標(biāo)出單元號碼及結(jié)點號碼（如圖所示），鋼架的單元參數(shù)如下：單元數(shù)為2，結(jié)點數(shù)為3，各桿件子局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣： -1 0 -1 0Ke=EA/L* 0 0 0 0 e=1,2 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0對于單元轉(zhuǎn)角=0，故K =EA/L* 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0對于單元轉(zhuǎn)角=90，故K = EA/L* 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0K=K +K

13、=EA/L* 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0由K*u v 0 0 0 0=14 -22 0 0 0 0,可以求得u，v。4.1 軸對稱問題的兩個單元a和b，設(shè)材料的彈性模量為E，泊松比為 = 0.15，試手算這兩個單元的剛度矩陣。 解：對于單元，由題可知：單元a的截面面積為單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以的剛度矩陣為對于單元，由題可知單元的截面面積為單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以單元的剛度矩陣為3.16一長方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸。板長12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。

14、使用有限元法求解板的內(nèi)應(yīng)力，并和精確解比較（提示：可利用結(jié)構(gòu)對稱性，并用2個三角形單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散）。解：結(jié)點編號 12 34單元號12X坐標(biāo) 012 012相鄰結(jié)點13Y坐標(biāo) 00 442234平面三角形單元的面積均為 應(yīng)力矩陣為：單元1的應(yīng)變距陣為：單元1的單元剛度矩陣為：單元2的應(yīng)變距陣為：單元2的單元剛度矩陣為：總剛度矩陣為：位移分量為：載荷列陣為：因為 可以得單元1的單元應(yīng)力： 單元2的單元應(yīng)力： 長方形薄板內(nèi)應(yīng)力的精確解為：拉應(yīng)力，用有限元法求解出的結(jié)果與精確解大致相等。3.11 如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度t=1cm，彈性模量E=2.0*105mpa，泊松比=0.3，

15、試求插值函數(shù)矩陣N，應(yīng)變矩陣B，應(yīng)力矩陣S，單元剛度矩陣Ke。解：此三角形單元可得：2=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0B=1/2* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -

16、8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0D=E/(1-2)* 1 0 =E/0.91* 0.3 1 0 0 0 (1-)/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0S=D*B=E/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0K=BT*D*B*t*=E/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1

17、0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7K=BT*D*B*t*=E/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應(yīng)變矩陣，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，求出主應(yīng)力及方向。若在

18、單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結(jié)點的的載荷分量。解：如圖2=64/3，解得以下參數(shù)：a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；N1=64/3*(19-3x-y) N2=64/3*(-2-3x-3y)N3=64/3*(6-x+4y)故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0B=1/2* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0=64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0D=E/(1-2)* 1 0 0 0 (1-)/2 1 0 -3 0 4 0 -1 0單元應(yīng)力矩陣S=D*B= E/13(1-2)* 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-)/2 -