1、第六章 多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué),n元數(shù)量值函數(shù)：,n元向量值函數(shù)：,m唯向量,如,6.1 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質(zhì),一、物體的質(zhì)量,的非均勻細(xì)桿，通過(guò)分割、作乘積（近似）、求和、取,極限的四個(gè)步驟，,在一元函數(shù)的定積分中我們知道： 線密度為,即,其質(zhì)量可表示為,1求非均勻平面薄片的質(zhì)量,該小塊質(zhì)量近似為:,看作均勻薄片，,將 其近似,將薄片分割成n小塊 ,(作乘積）,分割：,近似：,（i=1,2,n),面密度為：,D,求和：,（閉區(qū)域的直徑：區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大者）,（薄片總質(zhì)量）,取極限：,2.非均勻空間立體的質(zhì)量,設(shè)有一空間物體分布在有界閉區(qū)域V上，其體密度,近似:,小區(qū)域 的質(zhì)

2、量的近似值,為 且 在V上連續(xù).,求和：,問(wèn)該空間物體的質(zhì)量是多少?,分割:,將近似看作均勻的，,(作乘積）,取極限:,分割,求和,取極限,近似,(作乘積）,3求非均勻空間曲線L的質(zhì)量,設(shè),分割,近似,求和,取極限,設(shè)其面密度為 , 點(diǎn)M在S上，,且在S上連續(xù).,4求非均勻空間曲面的質(zhì)量,直線細(xì)桿的質(zhì)量：,平面薄片的質(zhì)量：,空間立體的質(zhì)量：,曲線的質(zhì)量：,空間曲面的質(zhì)量：,綜上所述：,二、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念,曲線段、平面區(qū)域、一片曲面、一個(gè)空,間區(qū)域），,定義 設(shè) 為一有界閉的幾何形體( 可以是直線段、,f (M)為有界函數(shù), . 將此幾何形體 任意分割成,n個(gè)小塊,作乘積：,如果不論對(duì)

3、怎樣分割，不論Mi在i上怎樣選取,有同一極限值,則稱f (M)在 上可積分,此極限值稱為數(shù)量值函數(shù) f (M)在幾何形體 上的積分。,稱為被積表達(dá)式；,注意: 被積函數(shù)f(M)中的,記為:,a,b上直線細(xì)桿的質(zhì)量：,f(x)在a,b上的定積分,平面薄片的質(zhì)量：,稱為在D上的二重積分，, 叫面積元素。,在直角坐標(biāo)系下用平行于,坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，,則.,稱為在V上的三重積分，,空間物體V的質(zhì)量：,叫體積元素。,的三組平面,則.,稱為 在L上的第一類曲線積分，,叫弧長(zhǎng)元素。,曲線L的質(zhì)量：,或?qū)￠L(zhǎng)的曲線積分.,如果L是閉曲線，常記為：,稱為 在S上的第一類曲面積分，,叫面積元素。,或?qū)γ?/p>

4、積的曲面積分.,如果是閉曲面，常記為：,空間曲面S的質(zhì)量：,綜上所述，,有如下具體表達(dá)式,（二重積分）,（三重積分）,（第一類曲線積分）,（第一類曲面積分）,特別地，,為區(qū)間段a,b:,（定積分）,（證明略）,（可積的充分條件）,三、多元數(shù)量值函數(shù)可積分的充分條件：,四、積分的性質(zhì),性質(zhì)1,（線性性質(zhì)）,設(shè) 以下性質(zhì)中的積分都存在.,設(shè) 為常數(shù)，,則,性質(zhì)2.當(dāng)被積函數(shù) f (M) 1 時(shí)，積分,如：,當(dāng)被積函數(shù) f (x,y) 1 時(shí),=D的面積,當(dāng)被積函數(shù) f (x,y,z) 1 時(shí),=V的體積,無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則,設(shè)閉區(qū)域 可分成兩個(gè)閉區(qū)域 且 與,如果在 上滿足 f (M) g(M), 則

5、,性質(zhì)3（區(qū)域可加性）：,性質(zhì)4（保序性）：,解,例1 比較積分 與,的大小, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三頂點(diǎn)各為,(1,0),(1,1), (2,0).,三角形斜邊方程,在D內(nèi)有,于是,性質(zhì)5 (估值定理),最大值，則,設(shè)m, M分別是 f (P) 在閉幾何形體 上的最小值和,證明：,解,例2 估計(jì) 的值，,其中D：,區(qū)域面積,在 上 的最大值,的最小值,性質(zhì)6 （積分中值定理）,設(shè) f (M) 在有界閉幾何形體 上連續(xù)，則存在M0 ，,證明:,使得,由介值定理知，,.,關(guān)于 的對(duì)稱性：,上述性質(zhì)中的x=0可換為y=0或z=0，相應(yīng)地被積函數(shù) f(M)中的變量就改為關(guān)于y或z的奇偶性。,（證

6、明略）,性質(zhì)7：,X,Y,解：,積分域關(guān)于z=0 面對(duì)稱，,被積函數(shù)是 的奇函數(shù),填空題：設(shè),（P89.1）,證明：,又g(M)不變號(hào)，不防設(shè) g(M)0, 則,積分得,因 g(M)0,解,練習(xí): 不作計(jì)算，估計(jì) 的值，,其中 是橢圓閉區(qū)域：,在 上,由性質(zhì)5知,6.2 二重積分的計(jì)算,一、 二重積分 的幾何意義：,由下列三個(gè)面 ：,（1）曲頂面S：z=f(x,y)0,（2）底面D：（即曲頂面的投影區(qū)域）,（3）側(cè)面：以D的邊界線為準(zhǔn)線 母線平行于Z軸的柱面。,所圍成的立體叫曲頂柱體。,(如圖所示),通過(guò)分割、,求和、取極限，,求曲頂柱體的體積V：,近似、,- 是以D為底， 以z=f(x,y)

7、為曲頂面 的曲頂柱體體積V .,設(shè) f(x,y)0，,一般地， 是以D為底， 以z=f(x,y) 為 曲頂面的 曲頂柱體體積的代數(shù)和。,二重積分的幾何意義,當(dāng)f(x,y)0時(shí)， 為曲頂柱體體積V ;,當(dāng)f(x,y)0時(shí)， 為曲頂柱體體積的相反數(shù) V;,二、平面區(qū)域D的表示：,1、X-型區(qū)域：,穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于y 軸的,直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,X-型區(qū)域D(如圖)可以表示為：,其中， a,b為區(qū)域D在x軸上的投影。 y1(x)為穿入點(diǎn)，y2(x)為穿出點(diǎn)，,x,Y-區(qū)域D (如圖)可表示為：,2、Y-型區(qū)域：穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于x軸的,直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,其中， c , d為區(qū)域D在y軸上的投影， x1(y)為穿入點(diǎn)，x2(y)為穿出點(diǎn)，,3、如果積分區(qū)域D既不是X-型又不是Y-型，則可,將D分成幾部分，使得每個(gè)部分是X-型或Y-型。,D1、D2、D3是X-型區(qū)域，,D= D1 +D2 +D3,