1、3.4 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題知識(shí)梳理（一）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列an的性質(zhì)（1）am=ak+（mk）d，d=.（2）若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列an+b（、b為常數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；若bn也是公差為d的等差數(shù)列，則1an+2bn（1、2為常數(shù)）也是等差數(shù)列且公差為1d+2d.（3）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，則am+an=ak+al，反之不成立.（5）設(shè)A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a

2、2n+3+a3n，則A、B、C成等差數(shù)列.（6）若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n（nN*），則S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1為中間兩項(xiàng)）；若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n1（nN*），則S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an為中間項(xiàng)）.2.等比數(shù)列an的性質(zhì)（1）am=akqmk.（2）若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列1an（1為常數(shù)）是公比為q的等比數(shù)列；若bn也是公比為q2的等比數(shù)列，則1an2bn（1、2為常數(shù)）也是等比數(shù)列，公比為qq2.（3）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qm.（4）若m、n、l、kN*，且

3、m+n=k+l，則aman=akal，反之不成立.（5）設(shè)A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，則A、B、C成等比數(shù)列，設(shè)M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，則M、N、P也成等比數(shù)列.（二）對(duì)于等差、等比數(shù)列注意以下設(shè)法：如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，a+d；若四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等差數(shù)列，知其和，可設(shè)為a3d，ad，a+d，a+3d.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a，aq，若四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，知其積，可設(shè)為，aq，aq3.（三）用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列

4、1.對(duì)于等差數(shù)列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），當(dāng)d0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn).當(dāng)d0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d=0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù).若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=pn2+qn（p、qR）.當(dāng)p=0時(shí)，an為常數(shù)列；當(dāng)p0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問(wèn)題.2.對(duì)于等比數(shù)列：an=a1qn1.可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)理解.當(dāng)a10，q1或a10，0q1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a10，0q1或a10，q1時(shí)，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列.當(dāng)q=1時(shí)，是一

5、個(gè)常數(shù)列.當(dāng)q0時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列.點(diǎn)擊雙基1.等比數(shù)列an的公比為q，則“q1”是“對(duì)于任意自然數(shù)n，都有an+1an”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析：當(dāng)a10時(shí)，條件與結(jié)論均不能由一方推出另一方.答案：D2.已知數(shù)列an滿足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，則該數(shù)列前2002項(xiàng)的和為A.0 B.3 C.3 D.1解析：由題意，我們發(fā)現(xiàn)：a1=1，a2=2，a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=1，a6=a4=2，a2001=a1999=1，a2002=a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.a1

6、+a2+a3+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案：C3.若關(guān)于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值是A. B. C. D.解析：依題意設(shè)四根分別為a1、a2、a3、a4，公差為d，其中a1=，即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.由此求得a4=，d=，于是a2=，a3=.故a+b=a1a4+a2a3=+=.答案：D4.（2004年春季上海，12）在等差數(shù)列an中，當(dāng)ar=as（rs）時(shí)，數(shù)列an必定是常數(shù)列，然而在等比數(shù)列an中，對(duì)某些正整數(shù)r、s（rs

7、），當(dāng)ar=as時(shí)，非常數(shù)列an的一個(gè)例子是_.解析：只需選取首項(xiàng)不為0，公比為1的等比數(shù)列即可.答案：a，a，a，a（a0）5.（2002年北京，14）等差數(shù)列an中，a1=2，公差不為零，且a1，a3，a11恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于_.解析：設(shè)a1，a3，a11成等比，公比為q，a3=a1q=2q，a11=a1q2=2q2.又an是等差數(shù)列，a11=a1+5（a3a1），q=4.答案：4典例剖析【例1】 （2005年春季北京，17）已知an是等比數(shù)列，a1=2，a3=18；bn是等差數(shù)列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求數(shù)列bn的

8、通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn的公式；（3）設(shè)Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，試比較Pn與Qn的大小，并證明你的結(jié)論.剖析：將已知轉(zhuǎn)化成基本量，求出首項(xiàng)和公比后，再進(jìn)行其他運(yùn)算.解:（1）設(shè)an的公比為q，由a3=a1q2得q2=9，q=3.當(dāng)q=3時(shí)，a1+a2+a3=26+18=1420，這與a1+a2+a320矛盾，故舍去.當(dāng)q=3時(shí)，a1+a2+a3=2+6+18=2620，故符合題意.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2，解得d=3，所以bn=3n1.（2）Sn=n2+

9、n.（3）b1，b4，b7，b3n2組成以3d為公差的等差數(shù)列，所以Pn=nb1+3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列，b10=29，所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，對(duì)于正整數(shù)n，當(dāng)n20時(shí)，PnQn；當(dāng)n=19時(shí)，Pn=Qn；當(dāng)n18時(shí)，PnQn.評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【例2】 （2005年北京東城區(qū)模擬題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)

10、.（1）求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列cn對(duì)任意正整數(shù)n均有+=（n+1）an+1成立，其中m為不等于零的常數(shù)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.剖析：（1）依已知可先求首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)an和bn；（2）由題先求出an的通項(xiàng)公式后再求Sn.解：（1）由題意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2.a1=1，解得d=2（d=0不合題意舍去），an=2n1（n=1，2，3，）.由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n1（n=1，2，3，）.（2）當(dāng)n=1時(shí)，c1=6；當(dāng)n2時(shí)，=（n+1）an+1nan=4n+1，cn=（4n+1）mn1bn=（4

11、n+1）（3m）= 當(dāng)3m=1，即m=時(shí)，Sn=6+9+13+（4n+1）=6+=6+（n1）（2n+5）=2n2+3n+1.當(dāng)3m1，即m時(shí)，Sn=c1+c2+cn，即Sn=6+9（3m）+13（3m）2+（4n3）（3m）n2+（4n+1）（3m）n1. 3mSn=63m+9（3m）2+13（3m）3+（4n3）（3m）n1+（4n+1）（3m）n. 得（13m）Sn=6+33m+4（3m）2+4（3m）3+4（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+4（3m）2+（3m）3+（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+（4n+1）（3m）n.Sn=+.Sn= 評(píng)述：本題主

12、要考查了數(shù)列的基本知識(shí)和解決數(shù)列問(wèn)題的基本方法.如“基本量法”“錯(cuò)位相減求和法”等.【例3】 （2005年北京海淀區(qū)模擬題）在等比數(shù)列an（nN*）中，a11，公比q0.設(shè)bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2）求bn的前n項(xiàng)和Sn及an的通項(xiàng)an；（3）試比較an與Sn的大小.剖析：（1）定義法即可解決.（2）先求首項(xiàng)和公差及公比.（3）分情況討論.（1）證明：bn=log2an，bn+1bn=log2=log2q為常數(shù).數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差d=log2q.（2）解：b1+b3+b5=6，b3=2.a11，b1=log2a10.

13、b1b3b5=0，b5=0.解得Sn=4n+（1）=.an=25n（nN*）.（3）解：顯然an=25n0，當(dāng)n9時(shí)，Sn=0.n9時(shí)，anSn.a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，當(dāng)n=3，4，5，6，7，8時(shí)，anSn；當(dāng)n=1，2或n9時(shí)，anSn.評(píng)述：本題主要考查了數(shù)列的基本知識(shí)和分類討論的思想.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.在等比數(shù)列an中，a5+a6=a（a0），a15+a16=b，則a25+a26的值是A. B. C. D.解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得三個(gè)和成等比數(shù)列，

14、由等比中項(xiàng)公式可得選項(xiàng)為C.答案：C2.公差不為零的等差數(shù)列an的第二、三及第六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則=_.解析：設(shè)公差為d（d0），由題意a32=a2a6，即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解得d=2a1，故=.答案：3.若數(shù)列x，a1，a2，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，y成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.解析：在等差數(shù)列中，a1+a2=x+y；在等比數(shù)列中，xy=b1b2.=+2.當(dāng)xy0時(shí)，+2，故4；當(dāng)xy0時(shí)，+2，故0.答案：4，+）或（，04.已知數(shù)列an中，a1=且對(duì)任意非零自然數(shù)n都有an+1=an+（）n+1.數(shù)列bn對(duì)任意非零自然數(shù)n都有bn=an+1an.（1）

15、求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（1）證明：bn=an+1an=an+（）n+1an=（）n+1an，bn+1=（）n+2an+1=（）n+2an+（）n+1=（）n+1an（）n+1=（）n+1an=（）n+1an，=（n=1，2，3，）.bn是公比為的等比數(shù)列.（2）解：b1=（）2a1=，bn=（）n1=（）n+1.由bn=（）n+1an，得（）n+1=（）n+1an，解得an=6（）n+1（）n+1.5.設(shè)an為等比數(shù)列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和S10及T10.解：設(shè)公差為d，公比為q，由題意知 或S10=

16、10+（）=.當(dāng)q=時(shí)，T10=；當(dāng)q=時(shí)，T10=.培養(yǎng)能力6.（2003年北京高考，文16）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令bn=anxn（xR），求數(shù)列bn前n項(xiàng)和的公式.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a1+a2+a3=3a1+3d=12.又a1=2，得d=2.所以an=2n.（2）令Sn=b1+b2+bn，則由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2+（2n2）xn1+2nxn， xSn=2x2+4x3+（2n2）xn+2nxn+1. 當(dāng)x1時(shí)，式減去式，得（1x）Sn=2（x+x2+xn）2nxn+1=2nxn

17、+1.所以Sn=.當(dāng)x=1時(shí)，Sn=2+4+2n=n（n+1）.綜上可得，當(dāng)x=1時(shí)，Sn=n（n+1）；當(dāng)x1時(shí)，Sn=.7.數(shù)列an中，a1=8，a4=2，且滿足an+22an+1+an=0（nN*）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)bn=（nN*），Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有Sn總成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）an+22an+1+an=0，an+2an+1=an+1an（nN*）.an是等差數(shù)列.設(shè)公差為d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，d=2.an=2n+10.（2）bn=（），Sn=b1+b2+bn=（1）

18、+（）+（）=（1）=.假設(shè)存在整數(shù)m滿足Sn總成立.又Sn+1Sn=0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的.S1=為Sn的最小值，故，即m8.又mN*，適合條件的m的最大值為7.探究創(chuàng)新8.有點(diǎn)難度喲?。ɡ恚┮阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足an+1=an22nan+2（nN*），又a5=11.（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推測(cè)出an的通項(xiàng)公式（不要求證明）；（2）設(shè)bn=11an，Sn=b1+b2+bn，Sn=|b1|+|b2|+|bn|，求.解：（1）由a5=11，得11=a428a4+2，即a428a49=0.解得a4=9或a4=1（舍）.由a4=9，得a326a37=0.解得a3=7或a3=1（舍）.同理可求出a2=5，a1=3.由此推測(cè)an的一個(gè)通項(xiàng)公式an=2n+1（nN*）.（2）bn=11an=102n（nN*），可知數(shù)列bn是等差數(shù)列.Sn=n2+9n.當(dāng)n5時(shí)，Sn=Sn=n2+9n；當(dāng)n5時(shí)，Sn=Sn+2S5=Sn+40=n29n+40.當(dāng)n5時(shí)，=1；當(dāng)n5時(shí)，=.=.（文）設(shè)f（k）是滿足不等式log2x+log2（32k1x）2k1（kN*）的自然數(shù)x的個(gè)數(shù).（1）求f（k）的表達(dá)式；（2）記Sn=f（1）+f（2）+f（n），Pn=n2+n1，當(dāng)n5時(shí)試比較Sn與Pn的大小.解：（1）由不等式log2x+log2（32k1x）2