1、狀元題本高考數(shù)學(xué)壓軸試題集錦狀元題本高考數(shù)學(xué)壓軸試題集錦（一）1設(shè)函數(shù)，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。（I）求函數(shù)的解析式； （II）畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。2已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時,.3已知定義在R上的函數(shù)f(x) 同時滿足：（1）（R，a為常數(shù)）；（2）；（3）當(dāng)時，2求：（）函數(shù)的解析式；（）常數(shù)a的取值范圍4設(shè)上的兩點(diǎn)，滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（3）試問：AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果

2、不是，請說明理由.5已知數(shù)列中各項(xiàng)為：個個 12、1122、111222、 （1）證明這個數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個相鄰整數(shù)的積. （2）求這個數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 6、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值； （）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.7、已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線L:x=-1相切，點(diǎn)C在l上. (1)求動圓圓心的軌跡M的方程；（i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時，求這種

3、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. 8、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍。9、已知二次函數(shù)滿足，且關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)。 （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若函數(shù)在區(qū)間（-1-，1-）上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)C的取值范圍10、已知函數(shù)且任意的、都有 （1）若數(shù)列 （2）求的值.參考答案1解：（I）（1）當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，此時，所以；

4、2分（2）當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，此時，所以；4分（3）當(dāng)時，若，則，有；若，則，有；因此，6分而，故當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；8分綜上所述：。10分（II）畫出的圖象，如右圖。12分?jǐn)?shù)形結(jié)合，可得。14分2解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.4分又由, 得,從而.綜上可知6分()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而1

5、0分() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 = . 14分由 兩式可知: .16分3（）在中,分別令；得由，得（）當(dāng)時，（1）2，當(dāng)a0時，f(x)10，當(dāng)x0，f(-x)0 又x=0時，f(0)=10 對任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增 由f(3x-x2)f(0)得：x-x20 0x0 ,只需，且10、解：（1） 而 （2）由題設(shè)，有又得上為奇

6、函數(shù). 由得 于是故狀元題本高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解五1（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由. 本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分14分.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法

7、二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為 由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分 （）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時，由，得解法二

8、：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時，記，由知，所以14分2（本小題滿分12分）函數(shù)在區(qū)間（0，+）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù) （）用、表示m； （）證明：當(dāng)； （）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)， 求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分 （）解：2分 （）證明：令 因?yàn)檫f減，所以遞增

9、，因此，當(dāng)； 當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分（）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對任意成立的充要條件是 8分令，于是對任意成立的充

10、要條件是 由當(dāng)時當(dāng)時，所以，當(dāng)時，取最小值.因此成立的充要條件是，即10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分3（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當(dāng)時所以又所以從而故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；（II）由（I）知因?yàn)樗詮亩?-=由上-=12當(dāng)時，式=0所以；當(dāng)時，式=-12所以當(dāng)時，又所以即從而4(本小題滿分14分)已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（

11、I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（I）如圖，設(shè)為動圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時，即時，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點(diǎn)（2）當(dāng)時，由，得=將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為即所以直

12、線恒過定點(diǎn)所以由（1）（2）知，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時直線恒過定點(diǎn).5（本小題滿分12分）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為6（本小題滿分12分）數(shù)列an滿足.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不

13、等式，其中無理數(shù)e=2.71828.（）證明：（1）當(dāng)n=2時，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即那么. 這就是說，當(dāng)時不等式成立.根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推公式及（）的結(jié)論有 兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即（）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故令取對數(shù)并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.7（本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時， ，命題正確.2假設(shè)n=k時有 則 而又時命題正確.由1、2知，對一切nN時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時，； 2假設(shè)

14、n=k時有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時 成立，所以對一切 （2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以,又bn=1，所以狀元題本高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練六1 如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.2設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由. 3已知不等式為大于2的整

15、數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （）證明（）試確定一個正整數(shù)N，使得當(dāng)時，對任意b0，都有 4如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點(diǎn)P為l上的動點(diǎn)，求F1PF2最大值5已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍6(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當(dāng)x

16、Df且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)xDf且xDg g(x) 當(dāng)xDf且xDg(1) 若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式;(2) 求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0,請?jiān)O(shè)計(jì)一個定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.2010年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解六1 如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B

17、坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，

18、并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由. （）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個不同的根， 且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為 解法2：設(shè)則有 依題意，N（1，3）是AB的中點(diǎn)， 又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程x

19、+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當(dāng)時，假設(shè)存在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)12時，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設(shè)計(jì)算可得，A在以CD為直徑的圓

20、上.又B為A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （）證明（）試確定一個正整數(shù)N，使得當(dāng)時，對任意b0，都有 （）證法1：當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時有，證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸

21、上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點(diǎn)P為l上的動點(diǎn)，求F1PF2最大值本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則()5已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：()設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上()由當(dāng)時，此時不等式無解.當(dāng)時，解得.因此，原不等式的解集為.（）6(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,

22、第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當(dāng)xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)xDf且xDg g(x) 當(dāng)xDf且xDg(3) 若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式;(4) 求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0,請?jiān)O(shè)計(jì)一個定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1 x=1 (2) 當(dāng)x1時, h(x)= =x-1+2, 若x1時, 則h(x)4,其中等號當(dāng)x=2時成立 若x1時, 則h(x) 0,其中等號當(dāng)x=0時成立函數(shù)h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(