1、專題70 離散型隨機(jī)變量及其分布列問題 考綱要求:（1）理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.(2)理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.(3)了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念,理解 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布,并能解決一些簡單的實(shí)際問題. 基礎(chǔ)知識回顧:1、離散型隨機(jī)變量： 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫做隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量2、離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)： （1）離散型隨機(jī)變量的分布

2、列：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：（）pi0，i1,2，n；（）p1p2pipn1.3、常見的兩種分布：（1）二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq 其中0p1，q1p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布（2）超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，

3、MN，n，M，NN*，稱分布列X01mP為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布應(yīng)用舉例:類型一、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例1、隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P（Xn） （n1,2,3,4），其中a是常數(shù)，則P（X）的值為（ ） A. B. C. D.【答案】D例2【2017-2018學(xué)年湖北省松滋市第一中學(xué)】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk),k1,2,3，則m的值為 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，選B.例3、若隨機(jī)變量的分布列為則_【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)可得 由兩點(diǎn)分布的方差可得 點(diǎn)評：(1)利用分布列中各概率之和

4、為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)(2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的取值概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量對應(yīng)的取值概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式類型二、離散型隨機(jī)變量分布列的求法例4、本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時間不超過兩小時免費(fèi)，超過兩個小時的部分每小時收費(fèi)2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)騎游（各組一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為， ；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為， ；兩人租車時間都不會超過四小時.（1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用

5、相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列.【答案】（1）（2）見解析記甲、乙兩人所付得租車費(fèi)用相同為事件，則所以，甲、乙兩人所付得租車費(fèi)用相同的概率為（2）設(shè)甲、乙兩個所付的費(fèi)用之和為， 可能取得值為0，2，4，6，8， ， ， ，分布列例5【2017屆貴州省銅仁市第四中學(xué)高三適應(yīng)性測試】醫(yī)學(xué)上某種還沒有完全攻克的疾病，治療時需要通過藥物控制其中的兩項(xiàng)指標(biāo)和現(xiàn)有三種不同配方的藥劑，根據(jù)分析，三種藥劑能控制指標(biāo)的概率分別為0.5，0.6，0.75，能控制指標(biāo)的概率分別是0.6，0.5，0.4，能否控制指標(biāo)與能否控制指標(biāo)之間相互沒有影響（）求三種藥劑中恰有一種能控制指

6、標(biāo)的概率；（）某種藥劑能使兩項(xiàng)指標(biāo)和都得到控制就說該藥劑有治療效果求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數(shù)的分布列【答案】（）;（）見解析.即，的可能取得為，即，故的分布列為01230.3430.4410.1890.027點(diǎn)評：1求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是分析清楚隨機(jī)變量的取值有多少，并且正確求出隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率2在求解隨機(jī)變量概率值時，注意結(jié)合計數(shù)原理、古典概型等知識求解類型三、超幾何分布例6在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 ()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)【答案】C例7、在

7、一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題。甲能正確完成其中的4道題，乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響。記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，則X的分布列為_；記乙能答對的題數(shù)為Y，則Y的期望為_【答案】 X123P0.20.60.2 點(diǎn)評：對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)類型四、分布列與統(tǒng)計的交匯問題例8、某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2017年9月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生作為樣本，

8、統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列解析：(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.010.020.030.09)50.1550.75， 所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40(10.75)400.2510. (2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2. P(Y0)；P(Y1)；P(Y2). 所以Y的分布列為：Y012P方法

9、、規(guī)律歸納:求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i1,2,3，n)(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi.(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確實(shí)戰(zhàn)演練:1標(biāo)110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為，那么隨機(jī)變量可能取的值有 ()A. 17個 B. 18個 C. 19個 D. 20個【答案】A 2一只袋內(nèi)裝有m個白球，nm個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于的是()AP(X3) BP(X2) CP(X3) DP(X2)解析：選D由超幾何分布知P(X2).3設(shè)隨機(jī)變量

10、X的分布列為P(Xk)mk(k1,2,3)，則m的值為()A. B. C. D.解析：由分布列的性質(zhì)得P(X1)P(X2)P(X3)mm2m31.m.4一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，則P(X4)的值為()A. B. C. D.解析：用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量當(dāng)X4時，說明取出的3個球有2個舊球，1個新球，P(X4)，故選C. 5.已知隨機(jī)變量的分布列為， 則等于( )A. B. C. D. 【答案】D 6已知隨機(jī)變量的分布列如下，則的值是( )01A. 0 B. C. D. 【答案】D

11、【解析】 根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，故選D.7. 帶活動門的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，現(xiàn)隨機(jī)地放出5只做實(shí)驗(yàn)，X表示放出的蜂中工蜂的只數(shù)，則X2時的概率是() A. B. C. D.解析：X服從超幾何分布，P(X2).答案：B8.已知隨機(jī)變量只能取三個值：x1、x2、x3，其概率依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍【答案】 【解析】試題分析：根據(jù)概率范圍為，所有概率和為1，確定公差d的取值范圍試題解析：解設(shè)的分布列為x1x2x3Padaad由離散型隨機(jī)變量分布列的基本性質(zhì)知：解得d.92017年5月13日第30屆大連國際馬拉松賽舉行，某單位的10名跑友報名參加了半程馬拉松、10公里健身跑、迷你馬拉松3個項(xiàng)目(每人只報一項(xiàng))，報名情況如下：項(xiàng)目半程馬拉松10公里健身跑迷你馬拉松人數(shù)235(其中：半程馬拉松公里，迷你馬拉松公里)(1)從10人中選出2人，求選出的兩人賽程距離之差大于10公里的概率；(2)從10人中選出2人，設(shè)為選出的兩人賽程距離之和，求隨機(jī)變量的分布列.【答案】（1）；（2）見解析. 10.【2018屆黑龍江省大慶中學(xué)高三上開學(xué)】某校從參加高三化學(xué)得分訓(xùn)練的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其化學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段、后得到部分頻率分布直方圖（如圖）.觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)