1、考點(diǎn)規(guī)范練24平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個條件中,使a|a|=b|b|成立的充分條件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|2.在ABC中,AB=c,AC=b.若點(diǎn)D滿足BD=2DC,則AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c3.設(shè)向量a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值是()A.-2B.-1C.1D.24.如圖,已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)C,D是半圓弧的兩個三等分點(diǎn),AB=a,AC=b,則AD=()A.a-12bB.12a-bC.a

2、+12bD.12a+b5.已知點(diǎn)O,A,B不在同一條直線上,點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn),且2OP=2OA+BA,則()A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C.點(diǎn)P在線段AB的延長線上D.點(diǎn)P不在直線AB上6.(2017北京豐臺一模)設(shè)E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點(diǎn),且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n為實(shí)數(shù)),那么m+n的值為()A.-12B.0C.12D.17.若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足5AM=AB+3AC,則ABM與ABC的面積比為()A.15B.25C.35D.458.如圖,在ABC中,AD=DB,點(diǎn)F在線段CD上,設(shè)AB

3、=a,AC=b,AF=xa+yb,則1x+4y+1的最小值為()A.6+22B.63C.6+42D.3+229.已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為.10.已知D為ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P滿足PA+BP+CP=0,AP=PD,則實(shí)數(shù)的值為.11.如圖,在ABC中,已知BAC=3,AB=2,AC=4,點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn),滿足AC+2AB=3AD,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),滿足AE=2ED,則BE=.12.在任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),若EF=AB+DC,則+=.能力提升13.已知在ABC中,D是AB邊上的一點(diǎn),CD=CA|CA|+CB|

4、CB|,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,則用a,b表示CD為()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13bD.23a+23b14.在ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且與點(diǎn)C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)15.已知向量a,b,c中任意兩個都不共線,且a+b與c共線,b+c與a共線,則a+b+c等于()A.aB.bC.cD.016.(2017安徽馬鞍山質(zhì)檢)已知ABC是邊長為4的正三角形,D,P是ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且滿足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,則APD

5、的面積為()A.34B.32C.3D.2317.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2為實(shí)數(shù)),則1+2的值為.高考預(yù)測18.若點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,則ABC的形狀為.參考答案考點(diǎn)規(guī)范練24平面向量的概念及線性運(yùn)算1.C解析由a|a|表示與a同向的單位向量,b|b|表示與b同向的單位向量,故只要a與b同向即可,觀察可知C滿足題意.2.A解析如圖,可知AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故選A.3.B解析BC=a+b,CD=a-2b,

6、BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三點(diǎn)共線,AB,BD共線.AB=BD,即2a+pb=(2a-b).2=2,p=-.=1,p=-1.4.D解析連接CD(圖略),由點(diǎn)C,D是半圓弧的三等分點(diǎn),得CDAB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.5.B解析因?yàn)?OP=2OA+BA,所以2AP=BA.所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上,故選B.6.C解析如圖,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故選C.7.C解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D.由5AM=AB

7、+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如圖,故C,M,D三點(diǎn)共線,且MD=35CD,也就是ABM與ABC對于邊AB上的兩高之比為35,則ABM與ABC的面積比為35,選C.8.D解析AF=xa+yb=2xAD+yAC.C,F,D三點(diǎn)共線,2x+y=1,即y=1-2x,其中x0,y0.1x+4y+1=1x+21-x=x+1x-x2.令f(x)=x+1x-x2,得f(x)=x2+2x-1(x-x2)2,令f(x)=0得x=2-1(x=-2-1舍去).當(dāng)0x2-1時,f(x)2-1時,f(x)0.故當(dāng)x=2-1時,f(x)取得最小值f(2-1)=2(2-1)-(2-1)2=3

8、+22.故選D.9.90解析由AO=12(AB+AC)可得O為BC的中點(diǎn),則BC為圓O的直徑,即BAC=90,故AB與AC的夾角為90.10.-2解析如圖,由AP=PD,且PA+BP+CP=0,得P為以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn),因此AP=-2PD,則=-2.11.2219解析如圖,延長AB到F,使AF=2AB,連接CF,則AC=AF.取CF的中點(diǎn)O,連接AO,則AC+2AB=2AO=3AD,A,D,O三點(diǎn)共線,BAC=3,CAO=6,且AOCF,AC=4,AO=23.AD=433.又AE=2ED,AE=2ED=23AD=839.又AB=2,BAE=6,在ABE中,由余弦定理,得BE2

9、=4+6427-2283932=2827.BE=2219.12.1解析如圖,因?yàn)镋,F分別是AD與BC的中點(diǎn),所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因?yàn)锳B+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以=12,=12.所以+=1.13.A解析由題意知,CD是ACB的角平分線,故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故選A.14.A解析設(shè)BO=BC(1),則AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+

10、AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,得x0.15.D解析因?yàn)閍+b與c共線,所以a+b=1c.又因?yàn)閎+c與a共線,所以b+c=2a.由得b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以1+1=0,2=-1,即1=-1,2=-1.所以a+b+c=-c+c=0.16.A解析取BC的中點(diǎn)E,連接AE,因?yàn)锳BC是邊長為4的正三角形,所以AEBC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),AD=3.取AF=18BC,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因?yàn)锳PD是直角三角形,AF=12,所以APD的面積為12123=34.17.12解析因?yàn)镈E