1、,二重積分及其性質(zhì),教學(xué)目的：二重積分及其計算 教學(xué)重點：二重積分的基本性質(zhì) 教學(xué)難點：有限與無限的轉(zhuǎn)化,二重積分及其性質(zhì),設(shè)有一立體，它的底是xoy平面上的有界閉區(qū)域D 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面. 頂是由二元非負連續(xù)函數(shù)表示的曲面z = f (x, y) 這種立體稱為D上的曲頂柱體,曲頂拄面的體積,對于平頂柱體，即f (x, y)h，這里h是大于0的常數(shù)，有,體積 = 底面積高,但曲頂柱體的高f (x, y)在區(qū)域D上是變量，當(dāng)點(x, y)在區(qū)域D上變化時，高f (x, y)不斷變化，因而曲頂柱體的體積不能用上面的公式來計算. 但我們可以仿照求曲邊梯形面積的思路

2、.,分析,將D劃分為n個小閉區(qū)域：,以每個小區(qū)域為底，以它們的邊界曲線為準線作母線平行于z軸的柱面，形成許多小曲頂柱體. 原曲頂柱體被分割成n個小曲頂柱體.,曲頂柱體體積的近似等于 n個小曲頂柱體的體積之和,例題,步驟如下：,用若干個小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,每個小曲頂柱體可以近似地看成是一個平頂柱體,例題,區(qū)域D分割得越細密，小曲頂柱體的體積和越接近體積V. 為了得到V的精確值，令n個小區(qū)域的最大直徑0， 則小曲頂柱體的體積和的極限就是曲頂柱體的體積V，即,例題,二重積分的定義,如果當(dāng)這些小區(qū)域的直徑的最大值趨于0

3、時，上式的極限總存在，則稱函數(shù)f(x, y)在區(qū)域D上可積，此極限值稱為函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上的二重積分.,例題,注1 要從定義來判定一個二重積分是否存在是困難的.為應(yīng)用方便，我們介紹一個與定積分存在定理類似的結(jié)論. 定理1 在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數(shù)必在D上可積. 特別，在有界閉區(qū)域D上有定義的初等函數(shù)必在D上可積. 因此，以后我們一般不就可積性問題展開討論.,例題,例題,二重積分的幾何意義,性質(zhì)1 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號外，即,性質(zhì)2 函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即,性質(zhì)3 如果區(qū)域D可以劃分為D1與D2，其中D1與D2除邊界外無公共點，則,.,二重積分的性質(zhì),推論,性質(zhì)5 設(shè)M和m分別是函數(shù)f (x, y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為區(qū)域D的面積，則,例題,性質(zhì)4 如果在區(qū)域D上有 ，則,性質(zhì)6（二重積分中值定理） 設(shè)函數(shù)