1、數(shù)字圖象處理,北京大學(xué)計(jì)算機(jī)研究所 陳曉鷗,第三節(jié) 頻域變換,傅立葉變換導(dǎo)言 理論基礎(chǔ)、連續(xù)與離散的傅立葉變換 二維傅立葉變換特性 可分離性、周期與共軛對稱、平移性、 旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性 、均值性、 拉普拉斯、卷積與相關(guān) 快速傅立葉變換 FFT算法、逆向FFT算法、算法實(shí)現(xiàn),第三節(jié) 頻域變換,2.2.1 傅立葉變換導(dǎo)言 理論基礎(chǔ) 連續(xù)與離散的傅立葉變換,第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),理論基礎(chǔ) 線性系統(tǒng) 卷積與相關(guān),第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的定義： 接受一個(gè)輸入，并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實(shí)體。 系統(tǒng)的輸入是一個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，輸出 是相同變量的另一個(gè)函數(shù)。,系統(tǒng),x(t)輸入,

2、y(t)輸出,第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)的定義： 對于某特定系統(tǒng)，有： x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) 該系統(tǒng)是線性的當(dāng)且僅當(dāng)： x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t) 從而有：a*x1(t) a*y1(t),第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)移不變性的定義： 對于某線性系統(tǒng)，有： x(t) y(t) 當(dāng)輸入信號沿時(shí)間軸平移T，有： x(t - T) y(t - T) 則稱該線性系統(tǒng)具有移不變性,第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),卷積 卷積的定義 離散一維卷積 二維卷積的定義 離散二維卷積 相關(guān)的定義,第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),卷積的

3、定義 對于一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出h(t)，如果有一個(gè)一般表達(dá)式，來說明他們的關(guān)系，對線性系統(tǒng)的分析，將大有幫助 卷積積分就是這樣的一般表達(dá)式 h(t) = g(t - )f()d 記為：h = g * f - g(t)稱為沖激響應(yīng)函數(shù),第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),離散一維卷積 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j) j 二維卷積的定義 h(x,y) = f*g = f(u,v)g(x u, y v)dudv -,第三節(jié) 頻域變換:理論基礎(chǔ),離散二維卷積 h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x m, y n) m n 相關(guān)的定義 h(t) = g(t +

4、)f()d 記為：y = g x -,第三節(jié) 頻域變換,連續(xù)與離散的傅立葉變換 一維連續(xù)傅立葉變換 二維連續(xù)傅立葉變換 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,一維連續(xù)傅立葉變換：定義 設(shè) f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)， f(x)的傅立葉變換表示為Ff(x),定義為： Ff(x) = F(u) = f(x)exp(-j2ux)dx 其中 j2 = -1 - 如果給定F(u),f(x)可以由傅立葉逆變換得到： FF(u) = f(x) = F(u)exp(j2ux)du,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,一維連續(xù)傅立葉變換：幾個(gè)概念 假設(shè)函數(shù)f(x)為實(shí)函數(shù)。但一個(gè)

5、實(shí)函數(shù)的傅立葉變換可能為復(fù)函數(shù)： F(u) = R(u) + jI(u) （1） f(x)的傅立葉模記為： |F(u)| |F(u)| = R2(u) + I2(u)1/2 （2） f(x)的傅立葉模平方記為： P(u) P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u),第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,一維連續(xù)傅立葉變換：幾個(gè)概念 （3） f(x)的傅立葉相位記為： (u) (u) = tan-1 (I(u) / R(u) （4） 傅立葉變換中的變量u通常稱為頻率變量 這個(gè)名稱源于尤拉公式中的指數(shù)項(xiàng) exp-j2ux = cos2ux - jsin2ux 如果把傅立葉變換的積分解釋為

6、離散項(xiàng)的和，則易推出F(u)是一組sin和cos函數(shù)項(xiàng)的無限和，其中u的每個(gè)值決定了其相應(yīng)cos, sin函數(shù)對的頻率。,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,二維連續(xù)傅立葉變換 如果f(x,y)連續(xù)可積，并且F(u,v)可積，則存在以下傅立葉變換對，其中u,v為頻率變量： Ff(x,y)=F(u,v)=f(x,y)exp-j2(ux+vy)dxdy - FF(u,v)=f(x,y)=F(u,v)expj2(ux+vy)dudv -,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,二維連續(xù)傅立葉變換 二維傅立葉模、相位和模平方分別為： 模： |F(u,v)| = R2(u,v) + I2(u,v)1/2 相位： (u,

7、v) = tan-1 (I(u,v) / R(u,v) 模平方：P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v),第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換 假設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x),通過取N個(gè)x單位的采樣點(diǎn)，被離散化為一個(gè)序列： f(x0), f(x0+x) , f(x0+2x), ,f(x0+N1 x) 無論將x作為離散的或連續(xù)的變量，在子序列中來研究都將是方便的，僅僅依賴于討論的上下文。為作到此要求定義： f(x) = f(x0+ xx),第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換 其中假設(shè)x現(xiàn)在的離散值是：0,1,2, ,N-1。 f(x0),f(x0+x)

8、,f(x0+2x), . , f(x0+N1x) 表示相對與連續(xù)函數(shù)的任意N個(gè)統(tǒng)一的空間采樣,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換 函數(shù)f(x0+xx)的離散傅立葉變換對有： N-1 F(u) = 1/N f(x)exp-j2ux/N x=0 u = 0, 1, 2, .N-1 N-1 f(x) = F(u)expj2ux/N u=0 x = 0, 1, 2, .N-1,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換:二維 M-1 N-1 F(u,v) =1/MNf(x,y)exp-j2(ux/M+vy/N) x=0 y=0 u = 0, 1, 2, M-1; v = 0, 1, 2,

9、.N-1 M-1 N-1 f(x,y) = F(u,v)expj2(ux/M+vy/N) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, .N-1; y = 0, 1, 2, .N-1,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示 離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 離散傅立葉變換的顯示,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的計(jì)算舉例,x,f(x0)=f(x0+x),0,1,2,3,1,2,3,4,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,F(0) = 1/4f(x)exp0 = 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3) = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = 3.25 F(1

10、) = 1/4f(x)exp-j2x/4) = 1/4(2e0 + 3e j2/4 + 4e j22/4 + 4e j23/4) = 1/4(-2 + j) F(2) = -1/4(1 + j0) F(3) = -1/4(2 + j),第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 因?yàn)?，函?shù)f(x,y)的傅立葉變換是f(x,y)積分的函數(shù)，因此計(jì)算每一個(gè)傅立葉變換值，原函數(shù)f(x,y)的每一個(gè)點(diǎn)都需要參予,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的顯示 通過對傅立葉變換模，來顯示傅立葉變換圖象。由于模的值域大于顯示的值域，因此要進(jìn)行動態(tài)值域的壓縮 D(u,v) = c log(1

11、 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|) 值域0,k的上限（最大值）,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的顯示,第三節(jié) 頻域變換:傅立葉變換,離散傅立葉變換的顯示,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,2.2.2 二維傅立葉變換特性 可分離性 周期與共軛對稱 平移性 旋轉(zhuǎn)特性,線性與相似性 均值性 拉普拉斯 卷積與相關(guān),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,可分離性 二維離散傅立葉變換DFT可分離性的基本思想是： 二維DFT可分離為兩次一維DFT 應(yīng)用： 二維快速傅立葉算法FFT ，是通過計(jì)算兩次一維FFT實(shí)現(xiàn)的,

12、第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,可分離性的定義 M-1 N-1 F(u,v)=1/MN f(x,y)e(-j2vy/N) e(-j2ux/M) x=0 y=0 u = 0, 1, 2, M-1; v = 0, 1, 2, .N-1 M-1 N-1 f(x,y)= F(u,v)e(j2vy/N) e(j2ux/M) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, .N-1; y = 0, 1, 2, .N-1,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,可分離性成立的推導(dǎo) 先對行（y變量）做變換： N-1 F(x,v)=1/Nf(x,y)exp(-j2vy/N) y=0 然后對列（x變量）進(jìn)行變換：

13、M-1 F(u,v)=1/MF(x,v)exp(-j2ux/M) x=0,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,先對行做變換：,然后對列進(jìn)行變換：,f(x,y),（0，0）,（N-1，M-1）,x,y,F(x,v),（0，0）,（N-1，M-1）,x,v,F(x,v),（0，0）,（N-1，M-1）,x,v,F(u,v),（0，0）,（N-1，M-1）,u,v,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,平移性定理 平移性的描述 函數(shù)自變量的位移的傅立葉變換產(chǎn)生一個(gè)復(fù)系數(shù) Ff(x-a,y-b) = exp-j2(au+bv)F(u,v),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,平移性成立的證明 用一

14、維函數(shù)為例進(jìn)行證明： 設(shè)位移為a,f(x-a)的傅立葉變換為： Ff(x-a) = F(u) = f(x-a)exp(-j2ux)dx - 將積分乘以 1 = exp(-j2au) exp(j2au) 且設(shè)：v = x-a, dv = dx,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,平移性成立的證明 Ff(x-a) = F(u) = f(x-a)exp(-j2ux)exp(-j2au)exp(j2au)dx - =exp(-j2au) f(x-a)exp(-j2ux)exp(j2ua)dx -,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性, = exp(-j2au) f(x-a)exp-j2u(x-a)d

15、x - = exp(-j2au) f(v)exp-j2uvdv - = exp(-j2au)F(u),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,周期與共軛對稱 周期性的描述：離散傅立葉變換DFT和它的逆變換是以N為周期的 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F(u + N) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F(u + M,v+N),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,周期與共軛對稱 共軛對稱性的描述：傅立葉變換結(jié)果是以原點(diǎn)為中心的共軛對稱函數(shù) 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F*(-u) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F*(-u ,-v),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立

16、葉變換特性,共軛對稱性證明 以一維傅立葉變換為例證明： F(u) =f(x)exp-j2uxdx =f(x)expj2(-u)xdx =f(x)exp-j2(-u)x*dx（取共軛復(fù)數(shù)） = F*(-u),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,旋轉(zhuǎn)特性 旋轉(zhuǎn)特性描述：如果f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度 ，那么f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖象的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度 。 設(shè)： a(x,y) = x cos() - y sin() b(x,y) = x sin() + y cos() Ff(a(x,y),b(x,y) F(a(u,v),b(u,v),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,旋轉(zhuǎn)特性 結(jié)論：

17、 對圖象的旋轉(zhuǎn)變換和傅立葉變換的順序是可交換的 FRf(x,y) RFf(x,y),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,線性與相似性 線性的描述：傅立葉變換是線性系統(tǒng)、函數(shù)和的傅立葉變換是可分離的 設(shè)： f(x,y) 的傅立葉變換為Ff(x,y) g(x,y)的傅立葉變換為Fg(x,y) 有：Ff(x,y)+g(x,y) = Ff(x,y)+Fg(x,y),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,線性的證明 用一維函數(shù)為例進(jìn)行證明： Ff(x)+g(x) = F(u) = (f(x)+g(x)exp-j2uxdx = (f(x)exp-j2ux + g(x)exp-j2ux) dx = f(x

18、)exp-j2uxdx + g(x)exp-j2uxdx = F(u) + G(u),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,線性與相似性 相似性的描述： a f(x,y) a F(u,v) 且有： f(ax,by) 1/|ab|F(u/a,v/b),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,相似性的證明 用一維函數(shù)為例進(jìn)行證明：f(ax) 1/|a|F(u/a) Ff(ax) = F(u) = f(ax)exp-j2uxdx 將指數(shù)和積分同時(shí)乘以 1 = a/a 并設(shè)：v = ax, dv = adx Ff(ax) = f(ax)exp-j2ux a/a a/a dx =1/a f(ax)exp-

19、j2u xa/a adx =1/a f(v)exp-j2v (u /a) dv =1/|a|F(u/a),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,均值性 均值性的描述： 離散函數(shù)的均值等于該函數(shù)傅立葉變換在(0,0)點(diǎn)的值 M-1N-1 f(x ,y) = 1/MNf(x,y)e0 x=0 y=0 f(x ,y) = F(0,0),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,拉普拉斯 拉普拉斯特性的描述： 給出二維拉普拉斯函數(shù)的傅立葉變換表達(dá)式： 拉普拉斯函數(shù)：2 f(x,y) = 2f / x2 + 2f / y2 其傅立葉變換為： F2 f(x,y) = -42(u2 +v2)F(u,v) 這個(gè)定

20、理將在圖象的邊界提取中用到,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,卷積與相關(guān):空域和頻域之間的基本聯(lián)系 卷積定理的描述： 空域中的卷積等價(jià)于頻域中的相乘 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) Ff(x,y)*g(x,y) = F(u,v)G(u,v) 同時(shí)有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,卷積定理成立的證明 用一維函數(shù)為例進(jìn)行證明： Ff(x)*g(x) = f(x)*g(x) exp-j2uxdx = f(t)g(x-t)dt exp-j2uxdx 對于上面這個(gè)式子，我們可以看出是一個(gè)兩個(gè)變量t、x的二維積分。

21、交換積分的順序有：,第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,= f(t)g(x - t) exp-2juxdxdt = f(t) g(x - t) exp-2juxdxdt 將 t 視為位移量，由平移定理 Gg(x - t) = g(x - t)exp-2juxdx = exp-j2tuG(u) 有： = f(t) exp-2jtuG(u) dt = G(u) f(t) exp-2jtu dt = F(u)G(u),第三節(jié) 頻域變換:二維傅立葉變換特性,卷積與相關(guān):空域和頻域之間的基本聯(lián)系 相關(guān)定理的描述： 空域中f(x,y)與g(x,y)的相關(guān)等價(jià)于頻域中F(u,v)的共軛與G(u,v) 相乘

22、 f(x,y)g(x,y) F*(u,v)G(u,v) 同時(shí)有： f*(x,y) g(x,y) F(u,v)G(u,v),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,2.2.3 快速傅立葉變換 FFT算法 逆向FFT算法 算法實(shí)現(xiàn),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法基本思想 FFT算法基于一個(gè)叫做遞推加倍的方法。為方便起見我們用下式表達(dá)離散傅立葉變換公式 N-1 F(u)=1/Nf(x)(WN)ux x=0 這里 WN = exp(-j2/N) 是一個(gè)常數(shù),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法基本思想 假設(shè)N為： N = 2n 其中n是一個(gè)正整數(shù)，因此N可表示為： N = 2M 這里M

23、仍然是一個(gè)正整數(shù)。將N = 2M代入上式，得到：,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法基本思想 2M-1 F(u)=1/(2M)f(x)(W2M)ux x=0 M-1 M-1 =1/2 1/Mf(2x)W2Mu(2x)+1/Mf(2x+1)W2Mu(2x+1) x=0 x=0,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法基本思想 由于： WN = exp(-j2/N) W2M2ux = exp-j22ux/2M = exp-j2ux/M = WMux 所以： W2M2xu = Wmxu 代入上式有：,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,M-1 M-1 1/21/Mf(2x)Wmux +

24、1/Mf(2x+1)WMux W2Mu x=0 x=0 定義兩個(gè)符號： M-1 Feven(u) = 1/Mf(2x)Wmux 偶數(shù)部分 x=0u = 0,1,2,M-1 M-1 Fodd (u) = 1/Mf(2x+1)Wmux 奇數(shù)部分 x=0 u = 0,1,2,M-1,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,得出FFT 的第一個(gè)遞推公式： F(u)=1/2 ( Feven(u)+Fodd(u)W2Mu ) 該公式說明F(u)可以通過奇部和偶部之和來計(jì)算,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,另有：WMu+M = exp-2j(u+M)/M = exp-2ju/Mexp-2j = WMuej(-2

25、) = WMu(-1)(-2) = Wmu 且：W2Mu+M = exp-2j(u+M)/2M = exp-2ju/2M ej(-1) = W2Mu (-1)(-1) = -W2Mu 最后有：WMu+M = Wmu ； W2Mu+M = -W2Mu,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,因?yàn)椋篧Mu+M = Wmu ； W2Mu+M = -W2Mu 得出u+M 的DFT為： M-1 F(u+M) = 1/2 1/Mf(2x)WM(u+M)x + x=0 M-1 1/Mf(2x+1)WM(u+M)x W2Mu+M x=0 = 1/2 ( Feven(u)- Fodd(u)W2Mu ),第三節(jié) 頻域變

26、換:快速傅立葉變換,得出FFT的第二個(gè)遞推公式： F(u+M)= 1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu) 該公式說明F(u+M)可以通過F(u)偶部和奇部之差來計(jì)算,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,得出FFT的兩個(gè)遞推公式： F(u) = 1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)= 1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,分析這些表達(dá)式得到如下一些有趣的特性： （1）一個(gè)N個(gè)點(diǎn)的變換，能夠通過將原始 表達(dá) 式分成兩個(gè)部分來計(jì)算 （2）通過計(jì)算兩個(gè)（N/2）個(gè)點(diǎn)的變換。得到 Feven(u)和 Fodd(u) （

27、3）奇部與偶部之和得到F(u)的前(N/2)個(gè)值。 （4）奇部與偶部之差得到F(u)的后(N/2)個(gè)值。 且不需要額外的變換計(jì)算。,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,歸納快速傅立葉變換的思想： 1）通過計(jì)算兩個(gè)單點(diǎn)的DFT，來計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的DFT， 2）通過計(jì)算兩個(gè)雙點(diǎn)的DFT，來計(jì)算四個(gè)點(diǎn)的DFT，以此類推 3）對于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過計(jì)算兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，來計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的DFT,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,逆向FFT算法 算法思想描述：用正向變換計(jì)算逆向變換 N-1 F(u) = 1/N f(x)exp-j2ux/N x=0 u = 0, 1, 2, .N-1 N-1 f

28、(x) = F(u)expj2ux/N u=0 x = 0, 1, 2, .N-1,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,逆向FFT算法 在離散逆向變換表達(dá)式兩邊同取共軛，并除N N-1 1/Nf*(x) = 1/N F*(u) exp-j2ux/N u=0 u = 0, 1, 2, .N-1 用正向變換算法計(jì)算，得到1/Nf*(x) ，取共軛并乘上N，即得到f(x),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法實(shí)現(xiàn) 通過一個(gè)實(shí)例來體會一下FFT算法： 設(shè)：有函數(shù)f(x)，其 N = 23 = 8 有： f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7)

29、計(jì)算： F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), F(5), F(6),F(7),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,FFT算法實(shí)現(xiàn) 首先分成奇偶兩組： 有： f(0), f(2), f(4), f(6) f(1), f(3), f(5), f(7) 為了利用遞推特性，再分成兩組： 有： f(0), f(4) ， f(2), f(6) f(1), f(5) ， f(3), f(7) ,第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換, f(0), f(4) f(2), f(6) f(1), f(5) f(3), f(7) F2(0),F2(4) F2(2),F2(6) F2(1),F2(5)

30、F2(3),F2(7) F4(0), F4(4), F4(2), F4(6) F4(1), F4(5), F4(3),F4(7) F8(0), F8(1), F8(2), F8(3), F8(4), F8(5), F8(6), F8(7),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,算法實(shí)現(xiàn)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 1）地址的排序：按位倒序規(guī)則 例如：N = 23 = 8 原地址 原順序 新地址 新順序 000 f(0) 000 f(0) 001 f(1) 100 f(4) 010 f(2) 010 f(2) 011 f(3) 110 f(6) 100 f(4) 001 f(1) 101 f(5) 101 f(5) 110 f(6) 011 f(3) 111 f(7) 111 f(7),第三節(jié) 頻域變換:快速傅立葉變換,算法實(shí)現(xiàn)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 2）計(jì)算順序及地址增量 地址+1