1、習(xí)題四答案(A)1 求下列矩陣的特征值與特征向量:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解 （1）矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值4的全部特征向量為 (為任意常數(shù))（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值-1的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解

2、對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值3的全部特征向量為 (為任意常數(shù)) (3) 矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值4的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值-2的全部特征向量為 (為任意常數(shù)) (4)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為（二重），對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為 (為任意常數(shù)

3、)對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為 (為任意常數(shù))(5)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值0的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為 (為任意常數(shù))(6)矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值6的全部特征向量為 (為任意常數(shù))對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值2的全部特征向量為 (

4、為不全為零的任意常數(shù))2 設(shè)為階矩陣，(1) 若，且存在正整數(shù)，使得(稱為冪零矩陣)，證明:的特征值全為零；(2) 若滿足(稱為冪等矩陣)，證明:的特征值只能是0或1；(3) 若滿足(稱為周期矩陣)，證明: 的特征值只能是1或證明：設(shè)矩陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，即.（1）因，而故.又因，故，得（2）因，而故，即又因，故，得或1.（3）同（2）可得，即又因，故，得或.3 設(shè)分別為階矩陣的屬于不同特征值和的特征向量，證明:不是的特征向量證明：反證法.若是的特征向量，相應(yīng)的特征值為，則有，即.又因分別為矩陣的屬于特征值和的特征向量，即，則，即.因是矩陣的屬于不同特征值的特征向量,故線性無關(guān)，于

5、是可得，即，矛盾.4 證明定理4.4.若是階矩陣的特征值，則(1)設(shè)，則是的特征值，其中；(2)若可逆，則，且是的特征值，是的伴隨矩陣的特征值證明：設(shè)矩陣屬于特征值的特征向量為，即.（1）因故是的特征值.（2）因可逆，故.而為的特征值之積，故的特征值.用左乘兩端得.因，故，即是的特征值.因，故是的伴隨矩陣的特征值5 證明:矩陣可逆的充分必要條件是的特征值全不等于零證明：因矩陣可逆，故.由是的全部特征值）得，故.6 已知三階矩陣的特征值為1，2，3，求的特征值解：由矩陣的特征值的性質(zhì)得的特征值為，；的特征值為；因的特征值為.7 是三階矩陣，已知，求解：因，故三階矩陣的全部特征值為1，2，3.因此

6、的特征值為于是.8 已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，求常數(shù)的值解：因是的特征向量，故也是的特征向量.設(shè)對應(yīng)的特征值為，于是由可得，解得或.9 證明:如果矩陣可逆，則證明：因，且可逆，則10 如果，證明：存在可逆矩陣，使得證明：因，故存在可逆矩陣，使得.將上式兩端右乘，得，即.11 如果，證明:證明：因，故存在可逆矩陣，使得.于是有.而可逆，故.12 已知為二階矩陣，且，證明:存在可逆矩陣，使得為對角矩陣證明：為二階矩陣，且，故必有兩個(gè)不等特征值，因此必存在可逆矩陣，使得為對角矩陣13 已知矩陣與矩陣相似，求(1) 常數(shù)和的值；(2) 可逆矩陣，使得解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值為

7、，故1，2也是的特征值.而.將代入上式中得.于是可得，故有的特征值為，因此.（2）由（1）知的特征值為，（二重）對應(yīng)的無關(guān)特征向量為，對應(yīng)的無關(guān)特征向量為，令，則可逆，且.14 設(shè)三階矩陣的特征值為1， 2， 3， 對應(yīng)的特征向量分別為，求(1)；(2)解：（1）令，則.而則.（2）因，所以，故.15 判斷第1題中各矩陣是否可以對角化?若可以對角化，求出可逆矩陣，使得為對角陣解：由第1題結(jié)果知(1) 可以對角化， ；(2) 可以對角化， ；(3) 可以對角化， ；(4) (5) 不可以對角化；(6) 可以對角化， 16 證明正交矩陣的實(shí)特征值只能是1或證明：設(shè)為正交矩陣，則.設(shè)矩陣的特征值為，

8、對應(yīng)的特征向量為，即.將上式兩端取轉(zhuǎn)置得.將上面兩式左右相乘得，即.而為非零常數(shù)，故.17 設(shè)，求正交矩陣，使得為對角陣解：矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為（二重），對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為， 將其正交化，取，再單位化，得；對于，解對應(yīng)齊次線性方程組，可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為將其單位化，得令，則18 設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值為， 屬于的特征向量為，求屬于的特征向量及矩陣解：設(shè)屬于的無關(guān)特征向量為.因是實(shí)對稱矩陣，故的特征向量必正交，于是，即是齊次線性方程組的兩個(gè)線性無關(guān)解向量.求得上述方程組的基礎(chǔ)解系為，故取，因此屬于的全部特征向量為 (不全為零)；令，則.而，故(B

9、)1 設(shè)階矩陣的各行元素之和為常數(shù)，證明:是矩陣的一個(gè)特征值， 是對應(yīng)的特征向量證明：設(shè)，其中.由知是矩陣的一個(gè)特征值，是對應(yīng)的特征向量2 設(shè)都是非零向量，且，記，求(1)；(2)的特征值與特征向量解：（1）由得，于是.（2）由A組第2題（1）知的特征值為0.求的特征向量.，因都是非零向量，故必存在某個(gè)和不為零，因此中元素，不妨設(shè).將做初等行變換得，即，故齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量.令為，得，于是所求特征向量為，不全為零）.3 已知三階矩陣的特征值為2， 3， 4， 對應(yīng)的特征向量分別為，令向量，（1）將用線性表示；（2）求(為正整數(shù))解：（1）由得.（2） 4 設(shè)為三階實(shí)對稱矩陣，

10、且滿足條件，求矩陣的全部特征值解：設(shè)矩陣的特征值為，則由得，故或.因?yàn)槿A實(shí)對稱矩陣，故必與某三階對角矩陣相似.因，故，所以的對角線元素有兩個(gè)和一個(gè)0.因此的全部特征值為（二重），5 設(shè)四階矩陣滿足，求的一個(gè)特征值解：因，故矩陣可逆.由知得.因得是矩陣的一個(gè)特征值，因此的一個(gè)特征值為6 設(shè)有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求與滿足的條件解：矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為，（二重）因有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1，即.而，于是7 問階矩陣與是否相似，為什么?解：令，則.矩陣的特征值為重），.對應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為故屬于的無關(guān)特征向量有個(gè)；對應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為故屬于的無關(guān)特征向量有1個(gè).因此矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故可對角化，且 因?yàn)椋实奶卣髦当赜?和非零數(shù)值.因，故特征值0有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以0的重?cái)?shù)至少為，則的非零特征值為，因此矩陣的特征值為重），.因?yàn)閷?shí)對稱矩陣，故必可對角化，且，于是.8 設(shè)為階矩陣， ，且存在正整數(shù)，使得，證明不能對角化解：