1、第三章 直線與方程本章教材分析 直線與方程是平面解析幾何初步的第一章,用坐標(biāo)法研究平面上最簡單的圖形直線. 本章首先在平面直角坐標(biāo)系中,介紹直線的傾斜角、斜率等概念;然后建立直線的方程:點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等;通過直線的方程,研究直線間的位置關(guān)系:平行和垂直,以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式等. 解析幾何研究問題的主要方法是坐標(biāo)法,它是解析幾何中最基本的研究方法.坐標(biāo)法的基本特點(diǎn)是,首先用代數(shù)語言(坐標(biāo)及其方程)描述幾何元素及其關(guān)系,將幾何問題代數(shù)化;解決代數(shù)問題,得到結(jié)果;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,最終解決幾何問題. 本章自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想.在圖形的研究過程中,注意

2、代數(shù)方法的使用;在代數(shù)方法的使用過程中,加強(qiáng)與圖形的聯(lián)系. 直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).只有學(xué)好本章才能為第四章的圓與方程做好準(zhǔn)備和鋪墊.教學(xué)中一定要注重由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，多采用變式教學(xué)，同時(shí)滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、推廣、特殊化、化歸等）,體現(xiàn)由特殊到一般的研究方法，化難為易、化抽象為具體，深入淺出的引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽質(zhì)疑、積極思考、合作探究、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，教師合理誘導(dǎo)并且及時(shí)鼓勵(lì)，使同學(xué)們能愉快的、輕松的學(xué)習(xí)，并且提高他們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題（尤其

3、是實(shí)際問題）的能力，真正體現(xiàn)出“在用中學(xué)，在學(xué)中用，為用而學(xué)，學(xué)而能用”，這一點(diǎn)也正符合新課標(biāo)的要求和精神. 本章教學(xué)時(shí)間約9課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：3.1.1傾斜角與斜率約1課時(shí)3.1.2兩直線平行與垂直的判定約1課時(shí)3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程約1課時(shí)3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程約1課時(shí)3.2.3直線的一般式方程約1課時(shí)3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)約1課時(shí)3.3.2兩點(diǎn)間的距離約1課時(shí)3.3.3及3.3.4點(diǎn)到直線的距離及兩條平行線間的距離約1課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)3.1.1 傾斜角與斜率一、教材分析 直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活

4、地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).事實(shí)上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個(gè)基本概念，學(xué)生才能對直線及其位置進(jìn)行定量的研究.對直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們的準(zhǔn)確涵義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧. 本小節(jié)從一個(gè)具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的傾斜角概念，注重了由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到之所以引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率概念，是進(jìn)一步研究直線方程的需要.二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.（2）理解直線傾斜角的唯一性.（3）理解直線斜率的存在性

5、.（4）斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.2過程與方法引導(dǎo)幫助學(xué)生將直線的位置問題（幾何問題）轉(zhuǎn)化為傾斜角問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為傾斜角的正切即斜率問題（代數(shù)問題）進(jìn)行解決，使學(xué)生不斷體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過直線傾斜角的概念的引入學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價(jià)能力.（2）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線的傾斜角和斜率概念以及過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.教學(xué)

6、難點(diǎn):斜率公式的推導(dǎo).四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.如圖1所示，在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P的一條直線繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對x軸的相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率.圖1思路2.我們知道,經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線.那么,經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎?這些直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢?教師引入課題：傾斜角與斜率.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題怎樣描述直線的傾斜程度呢？圖2中標(biāo)出的直線的傾斜角對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？圖2直線的傾斜角能不能是0？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平角？能否大于平角？日常生活中，還有

7、沒有表示傾斜程度的量？正切函數(shù)的定義域是什么？任何直線都有斜率么？我們知道兩點(diǎn)確定一條直線，那么已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何才能求出它的傾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(1，4)，則直線AB的斜率是多少?活動(dòng):與交角有關(guān).當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.可見：平面上的任一直線都有唯一的一個(gè)傾斜角，并且傾斜角定了，直線的方向也就定了.考慮正方向.動(dòng)手在坐標(biāo)系中作多條直線，可知傾斜角的取值范圍是0180.在此范圍內(nèi)，坐標(biāo)平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個(gè)傾斜角都能確定一條直線的方向.傾斜角直觀地表示了直線對x軸正方向的傾

8、斜程度.規(guī)定：當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為0，所以傾斜角的范圍是0180.聯(lián)想小時(shí)候玩的滑梯，結(jié)合坡度比給出斜率定義，直線斜率的概念.傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan.教師介紹正切函數(shù)的相關(guān)知識(shí).說明：直線與斜率之間的對應(yīng)不是映射，因?yàn)榇怪庇趚軸的直線沒有斜率.（傾斜角是90的直線沒有斜率）已知直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直線l與x軸不垂直，如何求直線l的斜率？教學(xué)時(shí)可與教材上的方法一樣推出.討論結(jié)果:用傾斜角.都不對.與定義中的x軸正方向、直線向上方向相違背.直線的傾斜角能是0，能是銳角，能是直角，能是鈍

9、角，不能是平角，不能大于平角.有，常用的有坡度比.90的正切值不存在.傾斜角是90的直線沒有斜率.過兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線的斜率公式k=.（三）應(yīng)用示例思路1例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生明確已知兩點(diǎn)坐標(biāo),由斜率公式代入即可求得k的值;而當(dāng)k=tan0時(shí),傾斜角是鈍角;而當(dāng)k=tan0時(shí),傾斜角是銳角;而當(dāng)k=tan=0時(shí),傾斜角是0.解:直線AB的斜率k1=0,所以它的傾斜角是銳角;直線BC的斜率k2=-0.50,所以它的傾斜角是鈍角;直線CA的斜率k3=10,所

10、以它的傾斜角是銳角.變式訓(xùn)練 已知A(1,3),B(0,2),求直線AB的斜率及傾斜角.解:kAB=,直線傾斜角的取值范圍是0180,直線AB的傾斜角為60.例2 在平面直角坐標(biāo)系中,畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1,-1,2及-3的直線a,b,c,l.活動(dòng):要畫出經(jīng)過原點(diǎn)的直線a,只要再找出a上的另外一點(diǎn)M.而M的坐標(biāo)可以根據(jù)直線a的斜率確定.解:設(shè)直線a上的另外一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)斜率公式有：1=,所以x=y.可令x=1,則y=1,于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1).此時(shí)過原點(diǎn)和點(diǎn)M(1,1),可作直線a.同理,可作直線b,c,l.變式訓(xùn)練1.已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1)=0；（2）

11、=60；(3)=90.活動(dòng):指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義直接求解.解：(1)tan0=0，傾斜角為0的直線斜率為0.(2)tan60=，傾斜角為60的直線斜率為.(3)tan90不存在，傾斜角為90的直線斜率不存在.點(diǎn)評：通過此題訓(xùn)練，意在使學(xué)生熟悉特殊角的斜率.2.關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的( )A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x軸的直線的傾斜角是0或；兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等D.直線斜率的范圍是(，)答案：D思路2例1 求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(-5,3)的直線的斜率和傾斜角.解：kAB=1，即tan=-1，又0180，

12、=135.該直線的斜率是-1，傾斜角是135.點(diǎn)評：此題要求學(xué)生會(huì)通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角.變式訓(xùn)練 求過下列兩點(diǎn)的直線的斜率k及傾斜角.（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).解：（1）P1P2與x軸垂直，直線斜率不存在，傾斜角=90.（2）k=tan=0，直線斜率為0，傾斜角=0.例2 已知三點(diǎn)A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證:這三點(diǎn)在同一條直線上.證明：由直線的斜率相同，可知直線AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而兩直線過公共點(diǎn)A，所以直線AB與AC重合，因此A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評：此題反映了斜率公式的應(yīng)用，即

13、若有共同點(diǎn)的兩直線斜率相同，則可以判斷三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練1.若三點(diǎn)A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共線，求實(shí)數(shù)m的值.解：kAB=-1，kAC=，A、B、C三點(diǎn)共線，kAB=kAC.=-1.m=.2.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線，則+的值等于_.答案：例3 已知三角形的頂點(diǎn)A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中點(diǎn)為D，當(dāng)AD斜率為1時(shí)，求m的值及|AD|的長.分析：應(yīng)用斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式.解：D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,)，kAD=1.m=7.D點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).|AD|=.變式訓(xùn)練 過點(diǎn)P(1，1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若P恰為線段A的中心，求直線l的斜率和傾斜角.答案：k=-1,傾斜角為.（四）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、.（五）拓展提升已知點(diǎn)A(-