1、2.3.2平面向量基本定理整體設(shè)計教學分析 平面向量基本定理既是本節(jié)的重點又是本節(jié)的難點.平面向量基本定理告訴我們同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內(nèi)向量的始點放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面內(nèi)的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內(nèi)的點可以由平面內(nèi)的一個點及兩個不共線的向量來表示.這是引進平面向量基本定理的一個原因.三維目標1.通過探究活動,能推導并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,理解這是應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法.能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來

2、表達.重點難點教學重點:平面向量基本定理.教學難點:平面向量基本定理的運用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直于斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機在起飛時若沿仰角的方向起飛的速度為v,可分解為沿水平方向的速度vcos和沿豎直方向的速度vsin.從這兩個實例可以看出,把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是作正

3、交分解,即在兩個互相垂直的方向上進行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量,a.是這一平面內(nèi)的任一向量,那么a與e1、e2之間有什么關(guān)系呢？在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢？思路2.前面我們學習了向量的代數(shù)運算以及對應(yīng)的幾何意義,如果將平面內(nèi)向量的始點放在一起,那么平面內(nèi)的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢？這樣就引進了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個向量進行分解或者合成

4、,在黑板上給出圖像進行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學,通過相應(yīng)的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個不共線的向量都乘以不同的系數(shù)后再進行合成將會有什么樣的結(jié)論？推進新課新知探究提出問題給定平面內(nèi)任意兩個不共線的非零向量e1、e2,請你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢?圖1如圖1,設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,A.是這一平面內(nèi)的任一向量,我們通過作圖研究a與e1、e2之間的關(guān)系.活動:如圖1,在平面內(nèi)任取一點O,作=e1,=e2,=a.過點C作平行于直線OB的直線,與直線OA.交于點M;過點C作平行于直線OA.

5、的直線,與直線OB交于點N.由向量的線性運算性質(zhì)可知,存在實數(shù)1、2,使得=1e1,=2e2.由于=+,所以a=1e1+2e2.也就是說,任一向量a.都可以表示成1e1+2e2的形式. 由上述過程可以發(fā)現(xiàn),平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1、e2表示出來.當e1、e2確定后,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a.=1e1+2e2. 定理說明:(1)我們把不共線向量e1、e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;

6、 (2)基底不唯一,關(guān)鍵是不共線; (3)由定理可將任一向量a.在給出基底e1、e2的條件下進行分解; (4)基底給定時,分解形式唯一.討論結(jié)果:可以.a=1e1+2e2.提出問題平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？活動:教師引導學生結(jié)合向量的定義和性質(zhì),思考平面中的任意兩個向量之間的關(guān)系是什么樣的,結(jié)合圖形來總結(jié)規(guī)律.教師通過提問來了解學生總結(jié)的情況,對回答正確的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論:不共線向量存在夾角,關(guān)于向量的夾角,我們規(guī)定:圖2 已知兩個非零向

7、量a和b(如圖2),作=a,=b,則AOB=(0180)叫作向量a.與b的夾角. 顯然,當=0時,a.與b同向;當=180時,a.與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區(qū)間0,180內(nèi).如果a與b的夾角是90,我們說a.與b垂直,記作a.b. 由平面向量的基本定理,對平面上的任意向量a.,均可以分解為不共線的兩個向量1a1和2a2,使a=1a1+2a2. 在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見的一種情形. 在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會為我們研究問

8、題帶來方便.討論結(jié)果:存在夾角且兩個非零向量的夾角在區(qū)間0,180內(nèi);向量與直線的夾角不一樣.可以.應(yīng)用示例思路1例1 如圖3,ABCD中,=a.,=b,H、M是AD、DC之中點,F使BF=BC,以a.,b為基底分解向量與圖3活動:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.教師可以讓學生到黑板上板書步驟,并對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由H、M、F所在位置,有=+=+=+=b+a.=-=+-=+-=+-=a-b點評:以a.、b為基底分解向量與,實為用a.與b表示向量與.變式訓練已知向量e1、e2(如圖4),求作向量-2.5

9、e1+3e2.圖4作法:(1)如圖,任取一點O,作=-2.5e1,=3e2.(2)作OACB.故就是求作的向量.例2 如圖5,質(zhì)量為10kg的物體a.沿傾角=30的斜面勻速下滑,求物體受到的滑動摩擦力和支持力.(g=10m/s2)圖5解:物體受到三個力:重力,斜面支持力,滑動摩擦力.把重力分解為平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力.因為物體做勻速運動,所以=-,=-.因為|=10(kg)10(m/s2)=100(N),|=|sin30=100=50(N)，|=|cos30=100=50(N),所以|=|=50N,|=|=50N.答：物體所受滑動摩擦力大小為50N,方向與斜面平行向上；所受斜面支持

10、力大小為50N,方向與斜面垂直向上.例3 下面三種說法:一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是( )A. B. C. D.活動:這是訓練學生對平面向量基本定理的正確理解,教師引導學生認真地分析和理解平面向量基本定理的真正內(nèi)涵.讓學生清楚在平面中對于基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量都可以作為基底.解析:平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜

11、上所述,正確.答案:B點評:本題主要考查的是學生對平面向量定理的理解.變式訓練(2007上海春季高考,13) 如圖6,平面內(nèi)的兩條相交直線和將該平面分割成四個部分、(不包括邊界).若=a.+b,且點P落在第部分,則實數(shù)a.、b滿足.( )圖6A.a.0,b0 B.a.0,b0 C.a.0,b0 D.a.0,b0解析:點P落在第部分,在直線上的分向量與同向,在直線上的分向量與反向.a.0,b0.答案:B思路2例1 如圖7,M是A.BC內(nèi)一點,且滿足條件+2+3=0,延長CM交A.B于N,令=a.,試用a.表示.圖7活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解決平面向量計算問題的重要工具.由

12、平面向量基本定理,可得到下面兩個推論:推論1:e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù)1、2,使得1e1+2e2=0,則1=2=0. 推論2:e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù)a.1,a.2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,則解:=+,=+,由+2+3=0,得(+)+2(+)+3=0.+3+2+3=0.又A.、N、B三點共線,C、M、N三點共線,由平行向量基本定理,設(shè)=,=,+3+2+3=0.(+2)+(3+3)=0.由于和不共線,.=-=.=+=2=2a.點評:這里選取,作為基底,運用化歸思想,把問題歸結(jié)為1e1+2e2=0的形式來解決.

13、變式訓練設(shè)e1與e2是兩個不共線向量,a.=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若實數(shù)、滿足a+b=5e1-e2,求、的值.解:由題設(shè)a+b=(3e1+4e2)+(-2e1+5e2)=(3-2)e1+(4+5)e2.又a+b=5e1-e2.由平面向量基本定理,知解之,得=1,=-1.例2 如圖8,A.BC中,A.D為A.BC邊上的中線且A.E=2EC,求及的值.圖8活動:教師讓學生先仔細分析題意,以明了本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯(lián)系？利用化歸思想進行轉(zhuǎn)化完后,然后結(jié)合向量的相等進行求解比值.解:設(shè)=,=.=,即-=-,=(+).又=(-),=+.又=,即-=(-)

14、,(1+)=+,=+.又=,=+.比較,、不共線,解之,得點評:本例中,構(gòu)造向量在同一基底下的兩種不同表達形式,利用相同基向量的系數(shù)對應(yīng)相等得到一實數(shù)方程組,從而進一步求得結(jié)果.變式訓練過OA.B的重心G的直線與邊OA.、OB分別交于P、Q,設(shè)=h,=k,試證:=3.證明:設(shè)=a.,=b,OG交A.B于D,則=(+)=(a.+b)(圖略).=(a+b),=-=(a.+b)-kb=a+b=-=ha-kb.P、G、Q三點共線,=.a+b=ha.-kb兩式相除,得k+h=3hk,=3.知能訓練已知G為A.BC的重心,設(shè)=a.,=b,試用a.、b表示向量.圖9解答:如圖9,=,而=+=+=a+(b-a

15、)=a+b,=(a+b)=a.+b.點評:利用向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義.課堂小結(jié)1.先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的坐標表示.2.教師與學生一起總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學方法,如待定系數(shù)法,定義法,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖.作業(yè)課本習題235、6.設(shè)計感想1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個新定理平面向量基本定理.教科書首先通過“思考”:讓學生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個向量進行加減的線性運算時所表示的新向量有什么特點,反過來,對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示.2.教師應(yīng)該多提出問題

16、,多讓學生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過解題來總結(jié)方法,引導學生理解“化歸”思想對解題的幫助,也要讓學生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部分的題.3.如果條件允許,借助多媒體進行教學會有意想不到的效果.整節(jié)課的教學主線應(yīng)以學生練習為主,教師給與引導和提示.充分讓學生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程,這也是學習數(shù)學,領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學生這種經(jīng)歷的實踐活動越多,解決實際問題的方法就越恰當而簡捷.備課資料一、三角形三條中線共點的證明如圖13所示,已知在A.BC中,D、E、L分別是BC、CA.、A.B的中點,設(shè)中線A.D、BE相交于點P.圖13求證:A.D、BE、CL三線共點.分析:欲證三條中

17、線共點,只需證明C、P、L三點共線.證明:設(shè)=a.,=b,則=b,=-=-a+b.設(shè)=m,則+=m(+),=(-1+m)+m=(-1+m)a.+m(b-a)=(-1+m)a+mb.又設(shè)=n,則-=n(+),=(1-n)+n=-(1-n)a+n(b-a.)=(-n)a+nb.由，得解之,得=-a+b=(-a.+b)=C、P、L三點共線.A.D、BE、CL三線共點.二、備用習題1.如圖14所示,已知=,=,用、表示,則等于( )圖14A.+ B.-+ C.- D.-2.已知e1,e2是兩非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若c=1e1+2e2(1,2R),則|c|的最大值為( )A.1m+2n B.1n+2m C.|1|m+|2|n D.|1|n+|2|m3.已知G1、G2分別為A.1B1C1與A.2B2C2的重心,且=e1,=e2,=e3,則等于( )A.(e1+e2+e3) B.(e1+e2+e3)C.(e1+e2+e3) D.-(e1+e