1、第2講 相交線與平行線動點(diǎn)提高題知識點(diǎn)：1、平行線的判定：同位角相等，兩直線平行。內(nèi)錯角相等，兩直線平行。 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。2、推論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。3、平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。4、平移：平移前后的兩個圖形形狀大小不變，位置改變。對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。 平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這樣的兩個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。動點(diǎn)型問題是最近幾年中考的一個

2、熱點(diǎn)題型，所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。典型例題例1.（1）如圖（1），EFGF，垂足為F，AEF=150，DGF=60試判斷AB和CD的位置關(guān)系，并說明理由（2）如圖（2），ABDE，ABC=70，CDE=147，C=_（直接給出答案）（3）如圖（3），CDBE，則2+3-1=_（直接給出答案）（4）如圖（4），ABCD，ABE=DCF，求證：BECF

3、解（1）：ABCD理由：如答圖，過點(diǎn)F作FHAB，則AEF+EFH=180AEF=150，EFH=30，又EFGF，HFG=90-30=60又DGF=60，HFG=DGF，HFCD，則ABCD；（2）延長ED交BC于點(diǎn)FABDE，BFE=ABC=70，則CFE=180-BFD=110，C=CDE-CFE=147-110=37，故答案是：37；（3）延長DC交AB于點(diǎn)F，作ACF的外角4CDBE，DFB=3，又DFB+2+4=360，2+3+4=360，即2+3=360-42+3-1=360-4-1=360-180=180，故答案是：180；（4）延長BE交直線CD于點(diǎn)GABCD，ABE=BGD

4、，又ABE=DCF，BGF=DCF，BECF例2.平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖1若ABCD點(diǎn)P在AB、CD外部求證：BPD=B-D；（2）將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部如圖2（1）中的結(jié)論是否成立若成立說明理由：若不成立則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系不必說明理由；（3）在圖2中將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q如圖3則BPD、B、D、BQD之間有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（4）在圖4中若A+B+C+D+E+F+G=n90則n=_解（1）ABCD，B=BOD，而BOD=BPD+D，B=BPD+D，即BPD=B-D；（2）（1）中的結(jié)論不成立，BPD=B+D作

5、PQAB，如圖2，ABCD，ABPQCD，1=B，2=D，BPD=B+D；（3）BPD=B+D+BQD理由如下：連結(jié)QP并延長到E，如圖3，1=B+BQP，2=D+DQP，1+2=B+BQP+D+DQP，BPD=B+D+BQD；（4）連結(jié)AG，如圖4，B+F=BGA+FAG，A+B+C+D+E+F+G=A+FAG+C+D+E+BAG+G=（5-2）180=690，n=6故答案為6例3.如圖，直線ACBD，連結(jié)AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成、四個部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分。當(dāng)動點(diǎn)P落在某個部分時(shí)，連結(jié)PA、PB，構(gòu)成PAC、APB、PBD三個角。(提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射

6、線所組成的角是0)(1)當(dāng)動點(diǎn)P落在第部分時(shí)，求證：APBPACPBD；(2)當(dāng)動點(diǎn)P落在第部分時(shí)，APBPACPBD是否成立(直接回答成立或不成立)？ ABABABP(第5題圖)CDCDCD(3)當(dāng)動點(diǎn)P落在第部分時(shí)，全面探究PAC、APB、PBD之間的關(guān)系，并寫出動點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論。選擇其中一種結(jié)論加以證明。（1）解法一：如圖9-1延長BP交直線AC于點(diǎn)E ACBD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 解法二：如圖9-2過點(diǎn)P作FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB =PBD . A

7、PB =APF +FPB =PAC + PBD .解法三：如圖9-3， ACBD , CAB +ABD = 180 即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180. 又APB +PBA +PAB = 180, APB =PAC +PBD . （2）不成立. （3）(a)當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是PBD=PAC+APB .(b)當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是PBD =PAC +APB .或PAC =PBD +APB 或 APB = 0，PAC =PBD（任寫一個即可）.(c) 當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是PAC =APB +PBD . 選擇(a) 證明：如圖9-4，連接PA，連

8、接PB交AC于M ACBD , PMC =PBD .又PMC =PAM +APM , PBD =PAC +APB . 選擇(b) 證明：如圖9-5 點(diǎn)P在射線BA上，APB = 0. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或PAC =PBD+APB 或APB = 0，PAC =PBD. 選擇(c) 證明：如圖9-6，連接PA，連接PB交AC于F ACBD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , 考點(diǎn)訓(xùn)練一選擇題1將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）1=2；（2）3=4；（3）2+4=90；（4）4+5=180，其中正確的個數(shù)是

9、（）A1B2C3D4【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答解：紙條的兩邊平行，（1）1=2（同位角）；（2）3=4（內(nèi)錯角）；（4）4+5=180（同旁內(nèi)角）均正確；又直角三角板與紙條下線相交的角為90，（3）2+4=90，正確故選：D2如圖，A0B的兩邊OA，OB均為平面反光鏡，A0B=40在射線OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則QPB的度數(shù)是（）A60B80C100D120【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及平角的定義可計(jì)算即可解：QROB，AQR=AOB=40，PQR+QPB

10、=180；AQR=PQO，AQR+PQO+RQP=180（平角定義），PQR=1802AQR=100，QPB=180100=80故選：B3如圖，直線l1l2，A=125，B=85，則1+2=（） A30B35C36D40【分析】過點(diǎn)A作l1的平行線，過點(diǎn)B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得3=1，4=2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出CAB+ABD=180，然后計(jì)算即可得解解：如圖，過點(diǎn)A作l1的平行線，過點(diǎn)B作l2的平行線，3=1，4=2，l1l2，ACBD，CAB+ABD=180，3+4=125+85180=30，1+2=30故選：A4如圖，把矩形ABCD沿直線EF折疊，若

11、1=20，則2=（） A80B70C40D20【分析】過G點(diǎn)作GHAD，則2=4，根據(jù)折疊的性質(zhì)3+4=B=90，又ADBC，則HGBC，根據(jù)平行線性質(zhì)得1=3=20，所以24=9020=70解：過G點(diǎn)作GHAD，如圖，2=4，矩形ABCD沿直線EF折疊，3+4=B=90，ADBC，HGBC，1=3=20，4=9020=70，2=70故選B5如圖，已知DE由線段AB平移得到的，且AB=DC=4cm，EC=3cm，則DCE的周長是（）A9cmB10cmC11cmD12cm6如圖，將ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周長為16cm，則四邊形ABFD的周長為（）A16cmB18cmC2

12、0cmD22cm二填空題1.如圖，計(jì)劃把河水引到水池A中，先作ABCD，垂足為B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短【分析】過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短解：根據(jù)垂線段定理，連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，沿AB開渠，能使所開的渠道最短故答案為：連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短2用等腰直角三角板畫AOB=45，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)22，則三角板的斜邊與射線OA的夾角為22度 【分析】由平移的性質(zhì)知，AOSM，再

13、由平行線的性質(zhì)可得WMS=OWM，即可得答案解：由平移的性質(zhì)知，AOSM，故WMS=OWM=22；故答案為：223如圖，直線AEBD，點(diǎn)C在BD上，若AE=4，BD=8，ABD的面積為16，則ACE的面積為8【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，可知兩個三角形的高相等，所以根據(jù)ABD的面積可求出高，然后求ACE的面積即可解：在ABD中，當(dāng)BD為底時(shí)，設(shè)高為h，在AEC中，當(dāng)AE為底時(shí)，設(shè)高為h，AEBD，h=h，ABD的面積為16，BD=8，h=4則ACE的面積=44=8三解答題1如圖，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)B在l2上設(shè)ABC1的面積

14、為S1，ABC2的面積為S2，ABC3的面積為S3，小穎認(rèn)為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，即可解答解：直線l1l2，ABC1，ABC2，ABC3的底邊AB上的高相等，ABC1，ABC2，ABC3這3個三角形同底，等高，ABC1，ABC2，ABC3這些三角形的面積相等即S1=S2=S32如圖，已知ABCD，BE平分ABC，DE平分ADC，BAD=80，試求：（1）EDC的度數(shù)；（2）若BCD=n，試求BED的度數(shù) 【分析】（1）由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由DE為角平分線，即可確定出EDC的度數(shù)；（2）過E作EFAB，則EFA

15、BCD，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義求得BEF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得FED的度數(shù)，則BED即可求解解：（1）ABCD，ADC=BAD=80，又DE平分ADC，EDC=ADC=40；（2）過E作EFAB，則EFABCDABCD，ABC=BCD=n，又BE平分ABC，ABE=n，EFAB，BEF=ABE=n，EFCD，F(xiàn)ED=EDC=40，BED=n+403ABC在如圖所示的平面直角中，將其平移后得ABC，若B的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）（1）在圖中畫出ABC；（2）此次平移可看作將ABC向左平移了2個單位長度，再向下平移了1個單位長度得ABC；（3）ABC的面積為10【分析

16、】（1）根據(jù)“B的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）”的規(guī)律求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，順次連接即可（2）通過作圖可直接得到答案是：向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度（3）平移后的面積與原面積相同，可用補(bǔ)全法求面積解：（1）如圖（2）向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度（平移的順序可顛倒）（3）把ABC補(bǔ)成矩形再把周邊的三角形面積減去，即可求得ABC的面積=ABC的面積為=24446=10作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn)，所

17、得到的圖形即為平移后的圖形4實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射若被b反射出的光線n與光線m平行，且1=38，則2=76，3=90（2）在（1）中，若1=55，則3=90；若1=40，則3=90（3）由（1）、（2），請你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角3=90時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行你能說明理由嗎？【分析】（1）根據(jù)入射角與反射角相等，可得1=5，7=6，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得4=104，根據(jù)mn，所以2=

18、76，5=38，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，即可求出答案；（2）結(jié)合題（1）可得3的度數(shù)都是90；（3）證明mn，由3=90，證得2與4互補(bǔ)即可解：（1）入射角與反射角相等，即1=5，7=6，又1=38，5=38，4=18015=104，mn，2=1804=76，6=（18076）2=52，3=18065=90；（2）由（1）可得當(dāng)1=55和1=40時(shí)，3的度數(shù)都是90；（3）3=90，6+5=90，又由題意知1=5，7=6，2+4=180（7+6）+180（1+5），=3602526，=3602（5+6），=180由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可知：mn故答案為：76，9090，90905如圖，

19、已知直線l1l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P 在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合記AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：3=1+2；（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請直接寫出1、2、3之間的關(guān)系；（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫出1、2、3之間的關(guān)系并給予證明【分析】此題三個小題的解題思路是一致的，過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和1、2相等的角，然后結(jié)合這些等角和3的位置關(guān)系，來得出1、2、3的數(shù)量關(guān)系證明：（1）過P作PQl1l2，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，

20、3=1+2（2）關(guān)系：3=21；過P作直線PQl1l2，則：1=QPE、2=QPF；3=QPFQPE，3=21（3）關(guān)系：3=36012過P作PQl1l2；同（1）可證得：3=CEP+DFP；CEP+1=180，DFP+2=180，CEP+DFP+1+2=360，即3=360126如圖，直線CBOA，C=OAB=100，E、F在CB上，且滿足FOB=AOB，OE平分COF（1）求EOB的度數(shù)；（2）若平行移動AB，那么OBC：OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值（3）在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使OEC=OBA？若存在，求出其度數(shù)；

21、若不存在，說明理由【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出AOC，然后求出EOB=AOC，計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得AOB=OBC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得OFC=2OBC，從而得解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出COE=AOB，從而得到OB、OE、OF是AOC的四等分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解解：（1）CBOA，AOC=180C=180100=80，OE平分COF，COE=EOF，F(xiàn)OB=AOB，EOB=EOF+FOB=AOC=80=40；（2）CBOA，AOB=OBC，F(xiàn)OB=AOB，F(xiàn)OB=OBC，OFC=F

22、OB+OBC=2OBC，OBC：OFC=1：2，是定值；（3）在COE和AOB中，OEC=OBA，C=OAB，COE=AOB，OB、OE、OF是AOC的四等分線，COE=AOC=80=20，OEC=180CCOE=18010020=60，故存在某種情況，使OEC=OBA，此時(shí)OEC=OBA=607.平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）如圖1，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，B=50，D=30，求BPD（2）如圖2，將點(diǎn)P移到AB、CD外部，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論（2）如圖3，寫出BPDBDBQD之間的數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）如圖4，求出A+B+C+D+E+F的度數(shù)解:（1）過點(diǎn)P作PEAB，ABCD，ABEPCD，B=1=50，D=2=30，BPD=80；（2）B=BPD+D理由如下：設(shè)BP與CD相交于點(diǎn)O，ABCD，BOD=B，在POD中，BOD=BPD+D，B=BPD+D（3）如圖，連接QP并延長，結(jié)論：BPD=BQD+B+D（4）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，A+E=1，B+F=2，1+2+C+D=360，A+B+C+D+E+F=3608 如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，1與2互