1、2.3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量自主廣場(chǎng)我夯基 我達(dá)標(biāo)1.O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，下列各組向量：與；與；與；與.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D.思路解析：平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量均能構(gòu)成一組向量基底.通過(guò)畫圖可得與不共線；=-，則，所以與共線；與不共線；=-，則，所以與共線.由平面向量基底的概念知可以構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的基底.答案：B2.如圖2-3-8，矩形ABCD中，若=5e1，=3e2，則等于（ ）圖2-3-8A.（5e1+3e2） B.（5e1-3e2） C.（3e2+5e1） D.（5e2-3e1）思路解析：用，表示，再

2、代入向量和的值即可.=（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).答案：A3.M為ABC的重心，點(diǎn)D、E、F分別為三邊BC、AB、AC的中點(diǎn)，則+為（ ）A.6 B.-6 C.0 D.6思路解析：如圖2-3-9所示，由題意，知設(shè)MB的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP、PE，得平行四邊形MDPE，取向量，為一組基底，則有=2=2（+），=-2，=-2，則有+=0.圖2-3-9答案：C4.(2006廣東高考卷，3)如圖2-3-10所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量為（ ）圖2-3-10A.-+ B.- C. - D.+思路解析：用基向量，表示向量.=+=-+.答案：A5.(2006河北石家莊一模，理7)在

3、ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，且=4=r-s，則s+t等于（ ）A.0 B. C. D.3思路解析：如圖2-3-11所示，由題意，得點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上.=4，=.又=-,= (-)= -,r=s=，s+t=.圖2-3-11答案：C6.在ABC中，設(shè)=m，=n，D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，則=_,=_.思路解析：由D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，可得=,=，轉(zhuǎn)化為已知向量即可.答案：m+n m+n我綜合 我發(fā)展7.如圖2-3-12，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BD上，且有BN=BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線.圖2-3-12思路分析：要證M，N，C三點(diǎn)共線，只需證向量與共線

4、即可.證明：設(shè)=a，=b(a,b不共線)，則=+=-=b-a.N是BD的三等分點(diǎn)，=b-b.而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，=.又、有共同的起點(diǎn)M，M,N,C三點(diǎn)共線.8.用向量方法證明：梯形中位線平行于底且等于上、下兩底和的一半.思路分析：用向量證明幾何問(wèn)題，首先要用向量表示幾何元素，然后進(jìn)行向量線性運(yùn)算，最后作出運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋即可.證明：如圖2-3-13，已知梯形ABCD中，E、F是兩腰、的中點(diǎn)，求證：，且|=（|+|）.圖2-3-13證明：E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，=-，=-,=+，=+.=（+）=（+）.又，設(shè)=(R).=(+)=(+)=.E、F、D、C四

5、點(diǎn)不共線，.同理,可證，且同向，|=|（+）|=|+|=（|+|）.|=（|+|）.9.在正六邊形ABCDEF中，=a，=b，求,.思路分析：由平面幾何的知識(shí)可知，正六邊形的各邊長(zhǎng)相等，相對(duì)的邊平行且相等，邊長(zhǎng)與其外接圓的半徑也相等.應(yīng)用平行向量及相等向量的知識(shí)、向量的加法運(yùn)算，容易用a,b表示所求的向量.解：如圖2-3-14，連結(jié)FC交AD于O，連結(jié)OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形ABOF、四邊形ABCO均是平行四邊形.圖2-3-14解法一：根據(jù)向量的平行四邊形法則有=+=a+b.在平行四邊形ABCO中，=+=a+b+a=2a+b.由正六邊形知識(shí)知，=2=2a+2b.又=+,且=-,=-=2a+

6、2b-a=a+2b.解法二：根據(jù)向量的平行四邊形法則有=+=a+b.=，=a+b.根據(jù)向量加法的三角形法則得=+，=a+b+a=2a+b.又=b，=+=2a+b+b=2a+2b.=+=-=2a+2b-a=a+2b.10.設(shè)x為未知向量，解方程x+3a-b=0.思路分析：這是一個(gè)關(guān)于未知向量的向量方程，由于向量具有許多與數(shù)相同的運(yùn)算性質(zhì)，我們可以按照解關(guān)于數(shù)的方法來(lái)解這個(gè)方程.解：原方程可化為x+(3a-b)=0，x=-(3a-b）.x=-9a+b.11.如圖2-3-15，在平行四邊形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分別取點(diǎn)K、L、M、N，其中K、N分別為PQ，PS的中點(diǎn)，QL=QR,SM=SR，設(shè)KM與LN交于A點(diǎn)，=q，=s，試用q,s表示.圖2-3-15思路分析：由于，而=，關(guān)鍵是求.又由于與共線，而可用q,s表示，這樣可以求得一個(gè)關(guān)于q,s的分解式(含參數(shù)).同樣，利用,還可求得另一個(gè)關(guān)于q,s的分解式(也含參數(shù)).由于關(guān)于q,s的分解式的唯一性，就可得到含參數(shù)的兩個(gè)方程，解出參數(shù)值，問(wèn)題得到解決.解：與共線，存在實(shí)數(shù)1，使=1.=,K為的中點(diǎn)，=,=-