1、.2006 年上海高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一填空題 （本大題共 48 分）1 已知集合 A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合 B = 3 , m 2 。若 B A，則實(shí)數(shù) m =_ 。2 已知圓 x2 4x 4 +y 2= 0 的圓心是點(diǎn) P，則點(diǎn) P 到直線 x y 1 = 0 的距離是 _。3 若函數(shù) f(x) = a x（ a 0 且 a 1）的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)( 2 , 1 )，則 a =_。4 計(jì)算： limC 3n=_。3nn15 若復(fù)數(shù) z 同時(shí)滿(mǎn)足 zz 2i, ziz （ i 為虛數(shù)單位） 。則 z=_ 。6 如果 cos1，且是第四象限的角，那么cos() =_ 。527

2、已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(23 , 0 )，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 。8 在極坐標(biāo)系中，O 是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) A (4,), B(5,5) 。則 OAB 的面積是 _。369 兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷1 本，共 8 本。將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?4 本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是_。（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”。在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_ 。11 若曲線 y2 = |x| + 1 與直線 y = kx + b

3、沒(méi)有公共點(diǎn)，則k , b 分別應(yīng)滿(mǎn)足的條件是_ 。12 三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題 “關(guān)于 x 的不等式 x2 + 25 + |x 35x 2| ax 在 1 , 12 上恒成立， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”。乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x 的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x 的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a 的取值范圍是 _ 。二選擇題 （本大題共 16 分）13 如圖，在平行四邊形ABCD 中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）(A) ABDC(B) ADABACD

4、C(C) ABAD BD(D) ADCB0AB14 若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面上”的（）(A) 充分非必要條件(B) 必要非充分條件(C)充分必要條件(D) 既非充分又非必要條件;.15 若關(guān)于 x 的不等式 ( 1 + k 2)x k4 + 4 的解集是 M ，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)k，總有（）(A) 2M , 0M(B) 2M , 0M(C) 2M , 0M(D) 2M , 0M16 如圖，平面中兩條直線l1和 l 2 相交于點(diǎn) O。對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M ，若 p , q 分別是 M到直線 l1 和 l 2 的距離，則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì) ( p ,

5、 q )是點(diǎn) M 的“距離坐標(biāo)” 。已知常數(shù) p 0 , q 0，給出下列三個(gè)命題：若 p = q = 0 ，則“距離坐標(biāo)”為( 0 , 0 )的點(diǎn)有且僅有 1 個(gè)。若 pq = 0，且 p + q0，則“距離坐標(biāo)”為 ( p , q )的點(diǎn)有且僅有2 個(gè)。若 pq 0，則“距離坐標(biāo)”為 ( p , q )的點(diǎn)有且僅有 4 個(gè)。上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）(A) 0(B) 1(C)2(D) 3三解答題 （本大題 86 分）17（本小題滿(mǎn)分12 分）求函數(shù) y2cos(x) cos(x)3 sin 2x 的值域和最小正周期。4418（本小題滿(mǎn)分12 分）如圖，當(dāng)甲船位于A 處時(shí)獲悉，在其正東

6、方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救。甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 處的乙船， 試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援（角度精確到 1） ?;.19（本小題滿(mǎn)分14 分）在四棱錐P-ABCD 中，底面是邊長(zhǎng)為2 的菱形。 DAB = 60 ，對(duì)角線AC 與 BD 相交于點(diǎn)O，PO平面 ABCD ，PB 與平面 ABCD 所成角為60。(1) 求四棱錐P-ABCD 的體積；(2) 若 E 是 PB 的中點(diǎn)，求異面直線DE 與 PA 所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示） 。20（本小題滿(mǎn)分14 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy

7、中，直線l 與拋物線y2 = 2x 相交于 A , B 兩點(diǎn)。(1) 求證：“如果直線l 過(guò)點(diǎn) T( 3 , 0 ) ，那么 OAOB3 ”是真命題；(2) 寫(xiě)出 (1) 中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由。;.21（本小 分16 分）已知有 數(shù)列a n 共有 2k （整數(shù) k2），首 a1 = 2。 數(shù)列的前n 和 Sn，且 an+1 = ( a 1 )Sn+ 2 ( n = 1 , 2 , , 2k 1 )，其中常數(shù)a 1。(1) 求 ：數(shù)列 a n 是等比數(shù)列；21 log 2 (a1a2(2)若 a22 k 1 ，數(shù)列 b n 足 bna n ) ( n = 1 ,

8、2 , , 2k ) ，求數(shù)列 b n 的通 公式；n(3)若 (2) 中的數(shù)列 b n 足不等式 | b133332| + | b 2|+ + | b2 k 1| + | b 2k| 4，求 k 的 。222;.22（本小題滿(mǎn)分18 分）已知函數(shù) y xa有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a 0，那么該函數(shù)在 (0,a 上是減函數(shù)，在 a,) 上x(chóng)是增函數(shù)。(1)如果函數(shù) yx2b( x 0 ) 的值域?yàn)?6,) ，求 b 的值；x(2)研究函數(shù) yx2c（常數(shù) c 0 ）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；x2(3)對(duì)函數(shù) y xa 和 yx 2 c （常數(shù) a 0）作出推廣 ，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特

9、例。xx 211F(x )(x2n(x )n研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性 （只須寫(xiě)出結(jié)論， 不必證明），并求函數(shù)x )x 2（ n 是正整數(shù)）在區(qū)間 1 ,2 上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）。2;.參 考 答 案一填空題：1、 m 1； 2、 d2 ； 3、 a1； 4、 1 ； 5、 i 1 ； 6、 2 6； 7、 x2y21；22651648、 5 ；9、 1；10、 36；11、 k 0,b( 1,1)；12、 a(,10 ；35二選擇題：13、 C ； 14、 A ； 15、 A ；16、D三解答題17 解 y2cos( x)cos( x)3sin2 x1 cos2 x442(

10、1sin 2 x )3sin2 x22cos2 x3sin2 x2sin(2 x6 ) 函數(shù) y2cos( x)cos( x)3sin2 x 的值域是 2,2,最小正周期是；4418 解 連接 BC, 由余弦定理得BC 2=20 2+10 2 22010COS120 =700.于是 ,BC=107 .sin ACBsin1203107, sinACB=,207 ACB90 ACB=41乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往 B 處救援 .19 解 （ 1）在四棱錐P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD, 得PBO 是 PB 與平面 ABCD 所成的角 , PBO=60 .在 Rt AOB 中 BO

11、=ABsin30 =1, 由 PO BO,于是 ,PO=BOtg60=3 ,而底面菱形的面積為23 .四棱錐 P-ABCD 的體積 V= 12 3 3 =2.3（ 2）解法一： 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,射線 OB 、 OC、OP 分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在 Rt AOB 中 OA= 3 ,于是 ,點(diǎn) A 、 B、D、 P 的坐標(biāo)分別是 A(0, 3 ,0),B (1,0,0), D ( 1,0,0),P (0,0,3 ).1,0,333E 是 PB 的中點(diǎn) ,則 E()于是 DE =( ,0,), AP =(0, 3 , 3 ).2222;.3設(shè) DE與 A

12、P 的夾角為 ,有 cos=22234, =arccos ,934443異面直線 DE 與 PA 所成角的大小是arccos2；4解法二： 取 AB 的中點(diǎn) F,連接 EF、 DF.由 E 是 PB 的中點(diǎn) ,得 EF PA， FED 是異面直線 DE 與 PA 所成角 (或它的補(bǔ)角 ) ，在 Rt AOB 中 AO=ABcos30 = 3 =OP，于是 , 在等腰 Rt POA 中，PA= 66，則 EF=.2在正 ABD 和正 PBD 中,DE=DF=3 ，1 EF62cos FED= 24=DE34異面直線 DE 與 PA 所成角的大小是arccos2.420 解 （ 1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,

13、0) 的直線 l交拋物線21122y =2x 于點(diǎn)A(x ,y )、 B(x,y ).當(dāng)直線 l 的鈄率不存在時(shí) ,直線 l的方程為 x=3, 此時(shí) ,直線 l 與拋物線相交于點(diǎn) A(3,6 )、B(3, 6 ). OA OB =3；當(dāng)直線 l 的鈄率存在時(shí) ,設(shè)直線 l 的方程為 yk ( x3) ，其中 k0 ，y 22 x得 ky 22 y 6k 0 y1 y26由y k ( x 3)又 x11 y2, x21 y 2 ，2122uuuruuurxxy y1( y y) 2y y3 ， OA gOB122221411綜上所述，命題 “如果直線 l過(guò)點(diǎn) T(3,0) ，那么 OA OB =

14、3”是真命題；(2)逆命題 是：設(shè)直線 l交拋物線 y2=2x 于 A 、B 兩點(diǎn) ,如果 OA OB =3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0). 該命題是假命題 .uuuruuur例如：取拋物線上的點(diǎn)，1，此時(shí)=3,A(2,2)B(g,1)OA OB2;.直 AB 的方程 ：y2 ( x 1) ，而 T(3,0) 不在直 AB 上；3 明：由拋物 y2=2x 上的點(diǎn) A (x 1,y1) 、 B (x 2,y2) 足 OA OB =3 ，可得 y1y2= 6，或 y1 y2=2 ，如果 y1y2= 6，可 得直 AB 點(diǎn) (3,0) ；如果 y1y2=2，可 得直 AB 點(diǎn) ( 1,0),而不 點(diǎn)

15、(3,0).21 (1) 明 當(dāng) n=1 時(shí) ,a2=2a,則 a2 =a；a12 n 2k1 時(shí) , an+1 =(a 1) Sn+2, an=(a1) Sn 1+2,n+1nnan1=a, 數(shù)列 an是等比數(shù)列 .a a =(a 1) a ,ann 1n1 2(n 1)nn (n 1)nn( n 1)(2) 解：由 (1)n1 2na=2a2=22 k 1,得 a =2a, a a a=2bn=1 nn( n1)n 11(n=1,2, ,2k).n2k12k1n31n3；（ 3） b ,解得 n k+,又 n 是正整數(shù) ,于是當(dāng) nk , b .23 b1)+(3 b23bk)+(bk+1

16、32k3)原式 =(2)+ +()+ +(b2222=(b k+1 + +b2k ) (b1+ +bk)1(k2k1) k1k1)k= 2(0k22k1k 21k =.2k2k1k 2 4,得 k2 8k+40,4 23 k4+2 3 ,又 k2,當(dāng)2k1當(dāng) k=2,3,4,5,6,7 時(shí) ,原不等式成立 .22 解 （ 1）函數(shù) y=x+2b2b， 22b2(x0) 的最小 是 2=6, b=log 9.x12 212c2c22)(12c(2) 設(shè) 0x x,y y = x22x12(x2x12 ) .x2x1x1x2當(dāng)4c x 1y 1, 函數(shù) y= x2c4c ,+ )上是增函數(shù)；x2 在 c當(dāng) 0x1x2421函數(shù) y=2(0,4c 上是減函數(shù) .c 時(shí) y0),其中 n 是正整數(shù) .x n當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí) ,函數(shù) y= xna在 (0, 2 n a 上是減函數(shù) ,在2n a ,+ )上是增函數(shù) ,x n在 ( , 2n a 上是增函數(shù) , 在 2n a ,0)上是減函數(shù)；當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí),函數(shù) y= xna在 (0,2