1、2.2.2反證法,1.反證法 一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.,做一做1用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟:A+B+C=90+90+C180,這與三角形內(nèi)角和為180矛盾,所以A=B=90不成立;所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;假設(shè)A,B,C中有兩個(gè)直角,不妨設(shè)A=B=90. 其中正確的順序應(yīng)該是() A.B. C.D. 解析:根據(jù)反證法的步驟,容易知道選C. 答案:C,2.反證法常見(jiàn)的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,這

2、個(gè)矛盾可以是與 已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等. 3.反證法的一般步驟 用反證法證明命題時(shí),要從否定結(jié)論開(kāi)始,經(jīng)過(guò)正確的推理,導(dǎo)出邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程包括下面三個(gè)步驟: (1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論的反面為真; (2)歸謬由“反設(shè)”作為條件,經(jīng)過(guò)一系列正確的推理,得出矛盾; (3)存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤,從而肯定原結(jié)論成立.,答案:D,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)反證法是間接證明的一種基本方法. () (2)反證法與“證明逆否命題法”是同一種方法. ()

3、 (3)否定性命題、唯一性命題等只能用反證法進(jìn)行證明. () (4)反證法證明的第一步是對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),用反證法證明:否定性命題 【例1】 已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為an=n2+n(nN*),求證:數(shù)列 中,任意連續(xù)的三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列. 分析:該命題是否定性命題,故可用反證法證明. 證明:假設(shè)數(shù)列 中,存在連續(xù)的三項(xiàng),構(gòu)成等差數(shù)列. 設(shè)這連續(xù)的三項(xiàng)為ak,ak+1,ak+2(kN*),則2ak+1=ak+ak+2, 即2(k+1)2+(k+1)=(k2+k)+(k+2)2+(k+2), 整理得2k2+6k+4=2k2+6k+6, 所

4、以4=6,這顯然是矛盾的. 因此假設(shè)錯(cuò)誤,即數(shù)列中 ,任意連續(xù)的三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1已知m是整數(shù),且m2+6m是偶數(shù),求證:m不是奇數(shù). 證明:假設(shè)m是奇數(shù),不妨設(shè)m=2k-1(kZ), 則m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5, 由于kZ,所以k2+2kZ,于是4(k2+2k)是偶數(shù),從而4(k2+2k)-5為奇數(shù), 即m2+6m是奇數(shù),這與已知條件中的m2+6m是偶數(shù)相矛盾, 因此假設(shè)錯(cuò)誤,即m不是奇數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂

5、檢測(cè),用反證法證明:唯一性命題 【例2】 求證:經(jīng)過(guò)平面外一A點(diǎn)只能有一條直線和平面垂直. 分析:本題為唯一性命題,可用反證法證明,即假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都與平面垂直,然后根據(jù)空間以及平面中的有關(guān)定理推出矛盾.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),解:如圖,點(diǎn)A在平面外,假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB,AC(B,C為垂足), 那么AB,AC是兩條相交直線,它們確定一個(gè)平面,平面和平面相交于直線BC, 因?yàn)锳B平面,AC平面,且BC,所以ABBC,ACBC. 在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直, 這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾. 因此假設(shè)錯(cuò)誤,即經(jīng)

6、過(guò)平面外一點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間m,n上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且f(x)在m,n上單調(diào)遞減,若f(m)f(n)x1,則有f(x0)f(x1),即00,矛盾; 故假設(shè)錯(cuò)誤,即方程f(x)=0在m,n上的根是唯一的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),用反證法證明:“至少、至多”型命題 【例3】 已知a,b,c都是小于2的正數(shù),求證:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一個(gè)不大于1. 分析:本題為“至少”、 “至多”型問(wèn)題,反設(shè)其結(jié)論,容易導(dǎo)

7、出矛盾,故用反證法證明.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),(方法2)假設(shè)(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1, 即(2-a)b1,(2-b)c1,(2-c)a1, 以上三式相乘得(2-a)b(2-b)c(2-c)a1, 即a(2-a)b(2-b)c(2-c)1. 又由于a,b,c都是小于2的正數(shù), 同理b(2-b)1,c(2-c)1, 所以a(2-a)b(2-b)c(2-c)1, 這與a(2-a)b(2-b)c(2-c)1相矛盾, 故假設(shè)錯(cuò)誤,即(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一個(gè)不大于1.,探究一,探究二,探

8、究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練3已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0. 同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0. (a-

9、b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c. 這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而原命題得證.,探究二,探究三,探究一,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反證法證明過(guò)程中漏用反設(shè)導(dǎo)致錯(cuò)誤 典例已知實(shí)數(shù)k滿足2k2+3k+10,運(yùn)用反證法證明:關(guān)于x的方程x2-2x+5-k2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.,探究二,探究三,探究一,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究二,探究三,探究一,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練用反證法證明命題“已知a,b為整數(shù),若ab不是偶數(shù),則a,b都不是偶數(shù)”時(shí),對(duì)結(jié)論的正確的反設(shè)是. 解析:對(duì)于整數(shù)a,b,一共有以下四種情況:(1)a是偶數(shù),b是偶數(shù);(2)a是偶數(shù),b是奇數(shù);(3)a是

10、奇數(shù),b是偶數(shù);(4)a是奇數(shù),b是奇數(shù).因此“a,b都不是偶數(shù)”的含義是其中的第(4)種情況,其否定應(yīng)為剩余的(1)(2)(3)三種情況,故應(yīng)為“a,b不都是奇數(shù)”.也可以是“a,b至少有一個(gè)是偶數(shù)”. 答案:“a,b不都是奇數(shù)”(“a,b至少有一個(gè)是偶數(shù)”),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),1.下列命題不適合用反證法證明的是() A.同一平面內(nèi),分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交 B.兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角 C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分 D.已知x,yR,且x+y2,求證:x,y中至少有一個(gè)大于1 解析:A中命題條件較少,不易正面證明;B中命題是否定性命題,其反設(shè)是顯而易見(jiàn)的定理;D中命題是“至少”型命題,其結(jié)論包含三種情況,而反設(shè)只有一種情況,適合用反證法證明. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),2.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是() A.有兩個(gè)內(nèi)角是直角 B.有三個(gè)內(nèi)角是直角 C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角 解析:“最多只有一個(gè)”的含義是“有且僅有一個(gè)或者沒(méi)有”,因此它的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)”. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),3.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)() A.至少有一個(gè)是正數(shù) B.兩個(gè)都是正數(shù)