1、,二、交錯級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性,第二節(jié),一、正項級數(shù)斂散性判別法,數(shù)項級數(shù)斂散性判別法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第五章,1,一、正項級數(shù)及其判別法,若,定理 1. 正項級數(shù),收斂,部分和序列,有界 .,若,收斂 ,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項級數(shù) .,單調(diào)遞增,收斂 ,也收斂.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2,都有,定理2 (比較判別法),設,且存在,對一切,有,(1) 若強級數(shù),則弱級數(shù),(2) 若弱級數(shù),則強級數(shù),證:,設對一切,則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)散 .,分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和, 則有,是兩個正項級數(shù),(常數(shù)

2、 k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3,(1) 若強級數(shù),則有,因此對一切,有,由定理 1 可知,則有,(2) 若弱級數(shù),因此,這說明強級數(shù),也發(fā)散 .,也收斂 .,發(fā)散,收斂,弱級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4,例1. 討論 p 級數(shù),(常數(shù) p 0),的斂散性.,解: 1) 若,因為對一切,而調(diào)和級數(shù),由比較判別法可知 p 級數(shù),發(fā)散 .,發(fā)散 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5,因為當,故,考慮強級數(shù),的部分和,故強級數(shù)收斂 , 由比較判別法知 p 級數(shù)收斂 .,時,2) 若,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

3、,6,調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).,若存在,對一切,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7,證明級數(shù),發(fā)散 .,證: 因為,而級數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .,例2.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8,定理3. (比較判別法的極限形式),則有,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,(2) 當 l = 0,(3) 當 l =,證: 據(jù)極限定義,設兩正項級數(shù),滿足,(1) 當 0 l 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,9,由定理 2 可知,同時收斂或同時發(fā)散 ;,(3) 當l = 時,即,由定理2可知, 若,發(fā)散 ,(1) 當0 l 時,(2) 當l = 0時,由定

4、理2 知,收斂 ,若,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,10,是兩個正項級數(shù),(1) 當 時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,特別取,可得如下結(jié)論 :,對正項級數(shù),(2) 當 且 收斂時,(3) 當 且 發(fā)散時,也收斂 ;,也發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,11,的斂散性.,例3. 判別級數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)比較判別法的極限形式知,例4. 判別級數(shù),解:,根據(jù)比較判別法的極限形式知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,12,定理4 . 比值判別法,設,為正項級數(shù), 且,則,(1) 當,(2) 當,證: (1),收斂 ,時, 級數(shù)收斂 ;,或,時, 級數(shù)發(fā)散 .,由比較判別法

5、可知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,13,因此,所以級數(shù)發(fā)散.,時,(2) 當,說明: 當,時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,例如, p 級數(shù),但,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 .,從而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,14,例5. 討論級數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)定理4可知:,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,15,思考：,設正項級數(shù),收斂,能否推出,收斂 ?,提示:,由比較判斂法可知,收斂 .,注意:,反之不成立.,例如,收斂 ,發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,對任意給定的正數(shù) ,定理5. 根值判別法 ( Cauchy判別法),設,為正項

6、級,則,證明提示:,即,分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確.,數(shù), 且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,17,時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .,例如 , p 級數(shù),說明 :,但,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,例6. 證明級數(shù),收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 .,解:,由定理5可知該級數(shù)收斂 .,令,則所求誤差為,并估計以部分和 Sn 近,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,19,二 、交錯級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性,則各項符號正負相間的級數(shù),稱為交錯級數(shù) .,定理6 . ( Leibnitz 判別法 ),若交錯級數(shù)滿足條件:,

7、則級數(shù),收斂 , 且其和,其余項滿足,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,20,證:,是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又,故級數(shù)收斂于S, 且,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,收斂,收斂,用Leibnitz 判別法判別下列級數(shù)的斂散性:,收斂,上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?,發(fā)散,收斂,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,三、絕對收斂與條件收斂,定義: 對任意項級數(shù),若,若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級,收斂 ,數(shù),為條件收斂 .,均為絕對收斂.,例如 ：,絕對收斂 ；,則稱原級,數(shù),條件收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,23,定理7

8、. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .,證: 設,根據(jù)比較判別法,顯然,收斂,收斂,也收斂,且,收斂 ,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,24,例7. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :,證: (1),而,收斂 ,收斂,因此,絕對收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,(2) 令,因此,收斂,絕對收斂.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,26,解：,時,27,時，級數(shù)收斂。,時，原級數(shù)即為幾何級數(shù),顯然收斂。,綜上所述，原級數(shù)收斂。,28,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 利用正項級數(shù)判別法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值判別法,根值判別法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較判別法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,29,3. 任意項級數(shù)判別法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法:,則交錯級數(shù),收斂,概念:,絕對收斂,條件收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,30,思考題,1. 判別級數(shù)的斂散性:,解: (1),發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .,不是