1、,振動力學(xué),參考書目： 1. 王偉等振動力學(xué)與工程應(yīng)用,鄭州大學(xué)出版社, 2008 2. 胡少偉等結(jié)構(gòu)振動理論及其應(yīng)用, 中國建筑工業(yè)出版社, 2005,課程特點與學(xué)習(xí)方法,課程性質(zhì): 力學(xué)專業(yè)課 課程特點: 理論繁雜、工程應(yīng)用性強;與多門學(xué)科緊密相關(guān) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ): 微積分、微分方程、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、積分變換、計算方法、級數(shù)等; 力學(xué)基礎(chǔ): 理論力學(xué)、分析力學(xué)、材料力學(xué)、彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、有限元等。,第1章 導(dǎo) 論,振動的概念 振動研究的問題及其分類 振動分析的力學(xué)模型 振動問題的研究方法,1. 什么是振動 振動Vibration，就是物體在靜平衡位置附近所作的往復(fù)運動。 我們只研究物體在

2、靜平衡位置附近所作的往復(fù)微小彈性運動。,1.1 機械振動概述,2. 機械振動現(xiàn)象 機械振動是自然界非常普遍的運動現(xiàn)象，廣泛存在于工程技術(shù)和日常生活中。 如: 日常生活中，心臟的跳動、鐘擺的擺動、琴弦的振動、車箱的晃動、大海波濤橋等等; 工程技術(shù)領(lǐng)域，橋梁與建筑物的振動、飛行器與船舶的振動、機床與刀具的振動、各種動力機械的振動、以及地震、風(fēng)振、噪聲等等，都是屬于機械振動的范疇。,3.產(chǎn)生振動的原因 一是由外界干擾引起，二是結(jié)構(gòu)本身固有的原因引起。 4. 研究振動問題的目的 工程和日常生活中，振動現(xiàn)象和振動問題既有有用的一面也有不利的一面。 利用振動原理設(shè)計出很多常用的物品和機械結(jié)構(gòu)，如擺鐘、振動

3、篩、振動物料傳送帶、振動打樁機械等等。,而大多數(shù)情況下, 振動會產(chǎn)生不良、甚至嚴重、災(zāi)難性的后果。 由于振動, 降低了機器的動態(tài)精度和其它使用性能; 由于振動, 機器在使用過程中產(chǎn)生巨大的反復(fù)變動的荷載, 導(dǎo)致使用壽命的降低; 有時候振動甚至釀成災(zāi)難性事故, 如大橋因共振而倒塌, 煙囪因風(fēng)振而傾倒, 飛機因顫振而墜落等等。,5. 研究振動問題的總目標 研究振動產(chǎn)生的原因和它的運動規(guī)律; 尋求控制和消除振動的方法; 振動檢測，分析事故原因及控制環(huán)境噪聲; 振動技術(shù)的應(yīng)用,1. 振動問題中的名詞概念 振動系統(tǒng)：在振動問題中所研究的對象。如機器或結(jié)構(gòu)物等。 激勵或輸入：外界對振動系統(tǒng)的作用或引起機器

4、運動的力。 激勵或輸入是隨時間變化的，將引起振動的發(fā)生。,1.2 振動系統(tǒng)及參量1.3 振動系統(tǒng)的分類及研究方法,確定性激勵:可用時間的確定函數(shù)來描述的激勵; 隨機激勵:不能用時間的確定函數(shù)表示的激勵。隨機激勵具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，可以用隨機函數(shù)和隨機過程描述。 響應(yīng)或輸出：機器或結(jié)構(gòu)在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為。 確定性激勵下的響應(yīng)不一定是確定的，但隨機激勵下的響應(yīng)一定是隨機的。,2. 工程振動分析的類別 振動分析：研究振動系統(tǒng)、激勵(輸入)和響應(yīng)(輸出)三者之間的關(guān)系。,理論上講，只要知道兩者就可以確定第三者。這樣，工程振動分析所要解決的問題可以歸納為下面幾類。,（1）響應(yīng)分析 已知系統(tǒng)和輸

5、入?yún)?shù)，求系統(tǒng)響應(yīng)。包括位移、速度、加速度和力的響應(yīng)。這為計算和分析結(jié)構(gòu)的強度、剛度、允許的振動能量水平等提供了依據(jù)。,（2）系統(tǒng)設(shè)計 已知振動系統(tǒng)激勵(輸入)和所要滿足的動態(tài)響應(yīng)(輸出)的要求，設(shè)計合理的系統(tǒng)參數(shù)。對機器和結(jié)構(gòu)的設(shè)計而言，這類問題更為重要。 通常系統(tǒng)設(shè)計要依賴于響應(yīng)分析，所以在實際工作中，響應(yīng)分析和系統(tǒng)設(shè)計這兩個問題是交替進行的。,（3）系統(tǒng)識別 已知振動系統(tǒng)的激勵(輸入)和響應(yīng)(輸出)求系統(tǒng)參數(shù),以便了解系統(tǒng)的特性。 系統(tǒng)識別包括物理參數(shù)識別(確定系統(tǒng)的物理參數(shù):質(zhì)量、剛度、阻尼等)和模態(tài)參數(shù)識別(確定或估計系統(tǒng)的固有特性:固有頻率、振型等)。 （4）環(huán)境預(yù)測 在已知系統(tǒng)響

6、應(yīng)(輸出)和系統(tǒng)參數(shù)的情況下確定系統(tǒng)的輸入,以判別系統(tǒng)的環(huán)境特征。,對結(jié)構(gòu)進行振動分析，首先要把所研究的對象以及外界對它的作用和影響簡化為理想的力學(xué)模型。這種力學(xué)模型不但要簡單，而且在動態(tài)特性方面，應(yīng)盡可能地與原始結(jié)構(gòu)等效。 實際工程結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的建立, 是振動分析中很關(guān)鍵很難的一步。本課程只學(xué)習(xí)一些基本的概念。 振動系統(tǒng)的力學(xué)基本模型中包括三個基本“元件”：質(zhì)量、彈性和阻尼。,3.振動分析的力學(xué)模型,質(zhì)量:和理論力學(xué)的概念一樣，是物體慣性大小的度量。在振動模型中簡化為剛體; 彈簧:表示振動系統(tǒng)彈性的理想模型。簡化為無質(zhì)量的線彈性元件，即彈簧彈性力的大小與彈簧兩端點的相對位移成正比; 阻尼:任

7、何振動在沒有外界干擾(激勵)時都會逐漸消失，因此，系統(tǒng)存在一種阻礙振動持續(xù)進行的阻力，這種阻力稱為阻尼。簡化為無質(zhì)量的阻力元件。阻尼力的分析比彈簧力的分析要復(fù)雜得多。,彈簧表示力與位移的關(guān)系;阻尼表示力與速度的關(guān)系;質(zhì)量表示力與加速度的關(guān)系。 4.振動過程的機理分析 任何結(jié)構(gòu)，之所以能產(chǎn)生振動，是因為它本身具有質(zhì)量和彈性。 從能量關(guān)系看, 質(zhì)量可以儲存動能, 彈性可以儲存勢能。當外界對系統(tǒng)作功時, 質(zhì)量就吸收動能而具有運動速度，進而發(fā)生位移，使彈性元件儲存變形能, 因而就具有使質(zhì)量恢復(fù)原來狀態(tài)的能力。 這樣，能量不斷地變換就導(dǎo)致系統(tǒng)質(zhì)量的反復(fù)運動（振動）。,5. 振動系統(tǒng)的分類 （1）按產(chǎn)生振

8、動的輸入 (激勵) 特性分類 分為自由振動、強迫振動和自激振動。 自由振動:系統(tǒng)受到初始激勵作用后，僅靠其本身的彈性恢復(fù)力“自由地”振動，其振動的特性僅決定于系統(tǒng)本身的物理特性(質(zhì)量和剛度);（如擺鐘） 受迫振動或稱強迫振動:系統(tǒng)受到外界持續(xù)的激勵作用而“被迫地”進行振動，其振動特性除決定于系統(tǒng)本身的物理特性外，還決定于激勵的特性; 工程中的大部分振動都屬于此類振動(振動機械、轉(zhuǎn)子偏心引起的振動等)。,自激振動：在系統(tǒng)自身控制的激勵作用下發(fā)生的振動。在適當?shù)姆答佔饔孟?，系統(tǒng)會自動地激起定幅振動,一旦振動被激起,激勵也隨之消失。 例如：橋梁受風(fēng)載作用后激發(fā)的振動; 電線在風(fēng)載作用線的舞動等。 （

9、2）按振動的輸出特性分類 分為簡諧振動、非簡諧振動和隨機振動。 簡諧振動與非簡諧振動：是否可以用簡單的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表述其運動規(guī)律;,隨機振動:不能用簡單函數(shù)或簡單函數(shù)的組合來表述其運動規(guī)律，只能用統(tǒng)計的方法來研究其規(guī)律的非周期性振動。 （3）按振動系統(tǒng)的自由度數(shù)目分類 單自由度、多自由度和彈性體的振動。 （4）按振動微分方程或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)特性分類 線性振動:振動系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力分別與加速度、速度、位移成線牲關(guān)系，能夠用常系數(shù)線性微分方程表述的振動; 非線性振動:振動系統(tǒng)的阻尼力或彈性恢復(fù)力具有非線性性質(zhì),只能用非線性微分方程來表述。,（5）按振動的周期性分類 周期振動系

10、統(tǒng)、非周期振動(瞬態(tài)振動)系統(tǒng)。 簡諧振動屬于周期性振動, 非簡諧振動也可能是周期性振動。 6.振動問題的研究方法 解決振動問題的方法有理論分析、數(shù)值模擬與計算、實驗研究等。 本課程主要學(xué)習(xí)振動的基本理論與分析方法，為進一步解決實際振動問題和開展研究工作打下良好的基礎(chǔ)。,第2章 單自由度系統(tǒng)自由振動,單自由度系統(tǒng): 可以用一個獨立坐標來確定系統(tǒng)的位置及其運動規(guī)律的振動系統(tǒng); 單自由度線性系統(tǒng)的振動是最簡單的振動系統(tǒng); 許多實際問題可以足夠精確地簡化為單自由度振動系統(tǒng); 單自由度振動系統(tǒng)的一些概念、特征和研究方法，是研究復(fù)雜振動系統(tǒng)的基礎(chǔ)。,2.1 引 言,根據(jù)振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式的不同，建立振動微

11、分方程的方法也不同，主要采用牛頓定律、動力學(xué)基本定理（動量定理、動能定理、動量矩定理）以及拉格朗日方程等。,振動微分方程 (P6-20),2.2 自由振動系統(tǒng),2.2 自由振動系統(tǒng),m-k系統(tǒng)的自由振動 (P6) m-k系統(tǒng)雖然非常簡單，但卻是許多實際結(jié)構(gòu)振動問題的力學(xué)模型。 已知質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標原點, 當重物偏離 x 時,利用牛頓定律可得到運動微分方程：,2.2 自由振動系統(tǒng),扭轉(zhuǎn)振動 (P9) 圓盤在軸的彈性恢復(fù)力矩作用下在平衡位置附近作扭轉(zhuǎn)振動。設(shè)q為圓盤相對靜平衡位置轉(zhuǎn)過的角度, J為圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量, kt為使軸產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需施加的扭矩(即軸

12、的扭轉(zhuǎn)剛度)。則,2.2 自由振動系統(tǒng),復(fù)擺(P12) 設(shè)物體對懸掛點O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，利用定軸轉(zhuǎn)動微分方程可得到用轉(zhuǎn)角f表示的轉(zhuǎn)動微分方程:,2.2 自由振動系統(tǒng),純滾動圓盤(P15) 已知m、r、R，利用功率方程(動能定理)或拉格郎日方程可得到用角度f 表示的運動微分方程:,2.2 自由振動系統(tǒng),梁的橫向振動 質(zhì)量為m的重物放在簡支梁的中部，不計梁的質(zhì)量。設(shè)梁長為l，材料的彈性模量為E，截面慣性矩為I。則利用材料力學(xué)的概念可得到：,2.2 自由振動系統(tǒng),dst,振動微分方程的統(tǒng)一形式 比較前面幾種不同系統(tǒng)的振動微分方程,2.2 自由振動系統(tǒng),可以寫成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式,meq和keq分別稱為

13、等效質(zhì)量和等效剛度，x為廣義坐標。為方便起見，以后將等效質(zhì)量和等效剛度直接寫為m和k。則方程變?yōu)椋?因此只討論此方程的解即可。,2.2 自由振動系統(tǒng),1. 方程的解 設(shè),振動微分方程的解(P6),則方程變?yōu)?通解為,或,2.2 自由振動系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：t0時，xx0，,則可確定上述解中的常數(shù)為：,2.2 自由振動系統(tǒng),2. 概念與名詞(P6-7) 一階線性振動微分方程的解是時間 t 的簡諧函數(shù)，因此這種振動為簡諧振動。 方程的解中wn只決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)m和k，而與系統(tǒng)的初始條件無關(guān)，是系統(tǒng)本身所固有的特性，所以稱為固有頻率，或稱圓頻率或角頻率。 方程解中的A稱為振幅，是質(zhì)量偏離靜

14、平衡位置的最大距離; f 稱為初相位。,2.2 自由振動系統(tǒng),從方程的解中還可以看出，系統(tǒng)屬于周期振動，振動的周期為,周期是系統(tǒng)振動一次所需要的時間，單位為秒（s）。 周期的倒數(shù)稱為頻率，是系統(tǒng)每秒鐘振動的次數(shù),單位為1/秒(1/s)或赫茲(Hz)。記作 f,2.2 自由振動系統(tǒng),固有頻率wn和頻率 f 只相差常數(shù)2p，因此經(jīng)常通稱為固有頻率。是振動分析中極其重要的參數(shù)。 顯然,2.2 自由振動系統(tǒng),因此wn的物理意義是在2p時間內(nèi)振動的次數(shù)，單位為弧度/秒(rad/s)。 圓有頻率、振幅和初相位是簡諧振動的三個重要特征量。,1. 直接計算法 即直接利用固有頻率的公式進行計算。 求出振動系統(tǒng)微

15、分方程后，利用等效剛度和等效質(zhì)量，即可求出固有頻率：,固有頻率的計算,2.2 自由振動系統(tǒng),2. 靜位移方法(P7) m-k系統(tǒng)是所有一階線性微振動系統(tǒng)的模型，利用此模型得出的結(jié)論具有一般性。 質(zhì)量在靜平衡位置時彈簧的位移為,則固有頻率為,2.2 自由振動系統(tǒng),復(fù)擺系統(tǒng)的固有頻率 用轉(zhuǎn)角f表示的轉(zhuǎn)動微分方程:,mg,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),純滾動圓盤系統(tǒng) 用角度f 表示的運動微分方程:,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng) 轉(zhuǎn)動方程為,則固有頻率:,2.2 自由振動系統(tǒng),梁的橫向振動系統(tǒng) 利用振動方程,固有頻率:,或利用材料力學(xué)公式計算出靜位移:,固有頻率:,2.2 自

16、由振動系統(tǒng),dst,對無阻尼自由振動系統(tǒng)，能量（機械能）是守恒的。設(shè)系統(tǒng)的動能和勢能分別用 T 和 V 表示，則能量方程為 T+V常數(shù) 或,2.3 能量法,2.3 能量法,系統(tǒng)在靜平衡位置的速度最大，動能也最大，勢能取為0位置; 在質(zhì)量偏離靜平衡位置最大時，速度為0，動能也為0，而勢能達到最大，利用能量守恒關(guān)系得到 TmaxVmax 同時還有下面的關(guān)系 利用上面兩式可以直接求固有頻率。,2.3 能量法,例 利用能量法求純滾動圓盤系統(tǒng)作微幅振動的固有頻率。,2.3 能量法,一般不考慮彈性元件的質(zhì)量對振動系統(tǒng)的影響，當這些質(zhì)量不可忽略的時候，“瑞利法”的思想是：將這些彈性元件所具有的多個集中質(zhì)量或

17、分布質(zhì)量簡化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去，從而變成典型的單自由度振動系統(tǒng)。 遵循的原則是：簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等，但并不考慮重力勢能的影響。這種簡化只是一種近似方法，但誤差不大。,2.4 瑞利法,2.4 瑞利法,P17例2-4-1 質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，集中質(zhì)量為m，彈簧長度為l，剛度為k，質(zhì)量為m1，求考慮彈簧質(zhì)量影響時的固有頻率。,2.4 瑞利法,題2.13(a) 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。 （與P15例2-3-1對比）,舉 例,單 自 由 度 自 由 振 動 舉 例,用定軸轉(zhuǎn)動微分方程，能量法,題2.15 求圖示系統(tǒng)微幅振動的微分方程（m2視為均質(zhì)圓盤）。,作業(yè)：T2.1，4，13,舉 例,單

18、 自 由 度 自 由 振 動 舉 例,用能量法,無阻尼系統(tǒng)振動過程中能量守恒，振幅保持不變。而實際情況并非如此，必須考慮阻力對振動過程的影響。 實際阻力的形式很多，有滑動摩擦表面的阻力、空氣或流體阻力、彈性材料的內(nèi)摩擦阻力等，因此阻力的大小變化規(guī)律也各不相同。 阻力大小與速度成正比的阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼。這是最簡單的情況。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),1. 振動微分方程及其解（P21） 以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系，可得系統(tǒng)的運動微分方程,其中c為粘性阻尼的比例常數(shù)，稱為粘性阻尼系數(shù)。,mg,Fk,Fc,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),令阻尼比為,

19、則方程可寫為,令其解為,代入方程得到,此特征方程的兩個根是,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),不同的阻尼比x，對應(yīng)的解的形式不同，運動性質(zhì)也不同。 2. 解及運動形式的討論（P22-26） （1）x 1（大阻尼情況） 此時特征方程有兩個不同的實根，通解為,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),給出初始條件：t0時,則可確定系數(shù)B和D,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),這種情況對應(yīng)的運動是一種衰減運動，但不是我們所關(guān)心的振動形式。設(shè)x00，v00，則運動圖形大致如下。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（2）x1（臨界阻尼情況） 此時特征方程有重根，通解為,利用初始條件確定常數(shù)為,此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼

20、系數(shù)，記為cc,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),臨界阻尼情況也是一種非振動形式的衰減運動，按不同的初始條件其運動圖形如下。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（3）0 x 1（小阻尼情況） 此時特征方程有一對共軛復(fù)根，通解為,或?qū)憺?利用初始條件確定出常數(shù),2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),解中有兩個因子，一個是衰減的指數(shù)函數(shù) ,它將使振幅越來越小，直至振動最終消失;,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),另一個是正弦函數(shù) ， 它表示系統(tǒng)以相同的周期通過平衡位置。 因此系統(tǒng)呈現(xiàn)為一種衰減形式的等周期振動形式。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),單自由度粘性阻尼系統(tǒng)在小阻尼情況下的衰減振動是我們最為關(guān)心的振

21、動形式。這種衰減振動具有下列特性： （1）振幅衰減 由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以幾何級數(shù) 快速衰減; （2）等時性 系統(tǒng)仍以相同的周期通過平衡位置;,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),（3）振動頻率變小，周期變長 此時系統(tǒng)振動的頻率和周期為：,因此：衰減振動的固有頻率比無阻尼系統(tǒng)的固有頻率小，振動周期變大，但影響不大，特別是當阻尼很?。▁1）時，可以忽略阻尼對振動頻率和周期的影響。,2.5 具有黏性阻尼的振動系統(tǒng),振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅的比值來表示，稱為衰減率或減幅率或減縮率；也可以用衰減率的自然對數(shù)來表示，稱為對數(shù)衰減率。,2.6 對數(shù)衰減率,2.6 對數(shù)衰減率,利用前面

22、給出的解,可得到衰減率為,對數(shù)衰減率為,2.6 對數(shù)衰減率,若用X0表示系統(tǒng)最初的振幅，經(jīng)過n次循環(huán)后的振幅為Xn，則對數(shù)衰減率又可以表示為,證明：,相乘得,則,即,2.6 對數(shù)衰減率,1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率,題2-16 求圖示系統(tǒng)振動的微分方程和固有頻率（不計桿的質(zhì)量，c為黏性阻尼）。,1.4 衰減振動和對數(shù)衰減率,題2-18 圖示系統(tǒng)，在空氣中振動周期為T1，在液體中振動周期為T2。試證明液體的粘性阻尼系數(shù)為,作業(yè)：T2-8、17,小 結(jié),3. 無阻尼自由振動方程的解 方程,或,通解為,或,小 結(jié),1. 名詞與概念 固有頻率,振幅,周期,相位角；線性阻尼系數(shù),臨界阻尼系數(shù)，阻尼比；衰

23、減率與對數(shù)衰減率；等效質(zhì)量,等效剛度。 2. 建立振動微分方程的方法 牛頓定律、動能定理（功率方程、機械能守恒）、定軸轉(zhuǎn)動微分方程等。,本 章 小 結(jié),小 結(jié),（2）靜位移法,4. 固有頻率的確定 （1）按定義直接計算,（3）能量法 （無阻尼自由振動系統(tǒng)）,以及,小 結(jié),5. 考慮彈性元件質(zhì)量時的等效質(zhì)量 將這些彈性元件所具有的多個集中質(zhì)量或分布質(zhì)量簡化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去，簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等。,小 結(jié),或,小 結(jié),6. 黏滯阻尼自由振動系統(tǒng)的解 （1）方程,或,阻尼比,（2）小阻尼解,小 結(jié),（3）臨界阻尼系數(shù)（z1時）,（4）衰減振動頻率與周期,（5）對數(shù)衰減率,小 結(jié),教

24、材例題與習(xí)題： 例 2.2.12.2.3，2.3.12.3.2 2.4.12.4.2，2.5.2，2.5.3，2.6.1 2.6.2，2.6.4 習(xí)題 2-1，3，4，8，9，1113， 1518,第3章 單自由度系統(tǒng)強迫振動,系統(tǒng)在外部激勵作用下的振動稱為受迫振動或強迫振動。 自由振動只是系統(tǒng)對初始擾動(初始條件)的響應(yīng)。由于阻尼的存在,振動現(xiàn)象很快就會消失。 要使振動持續(xù)進行，必須有外界激勵輸入給系統(tǒng)以補充阻尼消耗的能量。,所謂諧和激勵就是正弦或余弦激勵。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,設(shè)激勵為F(t)=F0sinwt，這里w為激振

25、頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比x 可得到,齊次方程的通解上章已經(jīng)給出。設(shè)其特解為:,代入方程確定系數(shù)X0和f為：,其中：,為頻率比。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,3.1.1 非齊次方程的特解（P33-34）,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析(P34-39),1. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)xp=X0sin(wtf)的性質(zhì)(P34) （1）在諧和激振條件下,響應(yīng)也是諧和的,其頻率與激振頻率相同; （2）諧和激勵強迫振動的振幅X0和相位角決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小和頻率，與初始條件無關(guān);,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,2. 幅頻特性曲線（P35） 對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，定義動力放大系數(shù)R為響應(yīng)的振幅X

26、0與最大干擾力F0所引起的靜位移的比值：,以x為參數(shù)，畫出R-r 曲線即幅頻特性曲線，表明了阻尼和激振頻率對響應(yīng)幅值的影響。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,（3）強迫振動振幅X0的大小，在工程實際中具有重要的意義。如果振幅超過允許的限度，構(gòu)件就會產(chǎn)生過大的交變應(yīng)力而導(dǎo)致疲勞破壞，或影響機械加工或儀表的測量精度。因此在振動工程中必需控制振幅的大小。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,討論： r1時,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的慣性。這就是高速旋轉(zhuǎn)的機器正常工作時運轉(zhuǎn)非常平穩(wěn)的原因。,r1

27、（激振頻率接近固有頻率）時，R迅速增大，振幅很大，這種現(xiàn)象稱為共振;,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,阻尼比x的影響: 阻尼越小，共振越厲害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。 共振位置：將R對r求導(dǎo)數(shù),令其等于0得,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,而r1時,由此看出：當x很小時的R和Rmax相差很小，所以在工程中仍認為當wwn 時發(fā)生共振。,以x為參數(shù),畫出f-r曲線即相頻特性曲線,表明了阻尼和激振頻率對相位差的影響。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,3. 相頻特性曲線（P37）,4. 品質(zhì)因子（P36) 工程上通常把共振時的動力放大系數(shù)稱為品質(zhì)因子，記為

28、Q：,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,討論： 從圖中可以看出,無阻尼情況下的曲線是由f0和fp 的半直線段組成,在r1處發(fā)生間斷;,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,有阻尼時f為在0p之間變化的光滑曲線,并且不論f 取值多少,當r1時都有fp/2,即曲線都交于(1,p/2)這一點。這一現(xiàn)象可以用來測定系統(tǒng)的固有頻率; r 時, fp, 激振力與位移反相, 系統(tǒng)平穩(wěn)運行; r 0時, f0, 激振力與位移同相, 近似靜位移.,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,求出動力放大系數(shù)對應(yīng)于兩點q1、q2的兩個用x 表示的根。由,得,當x1時,略去x 2以上小量得,3.1

29、單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,則,則,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,級數(shù)展開后近似為,所以,利用上式可以估算系統(tǒng)的阻尼比x，當Q5或x0.1時其誤差不超過3。 通常把共振區(qū)取為,共振區(qū)內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線稱為共振峰。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,【例】總質(zhì)量為M的振動機支承在彈簧k和阻尼器c上,兩個偏心質(zhì)量m/2繞相反方向以等角速度w轉(zhuǎn)動。試討論振動機在其平衡位置附近的運動。,舉 例,解：用動量定理求振動方程。x方向的動量為,代入公式求得響應(yīng)為,利用動量定理得,舉 例,討論：r 時,則： MXml， sin(wtf)sinwt,舉 例,由于 sin(wtf)si

30、nwt, MXml， 則：xC0。 這表明：當r（即高速旋轉(zhuǎn)）時,振動機的質(zhì)心幾乎保持靜止。即機器運行非常平穩(wěn)。,舉 例,而振動機質(zhì)心的位移為,的全解為：,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,3.1.2 非齊次方程的通解 瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加(P39-40),方程,系數(shù)A1和A2由初始條件確定。設(shè)t0時,則：,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,所以線性阻尼振動系統(tǒng)在正弦激勵作用下的響應(yīng)（解）最終表示為:,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,上述解的第一部分代表由初始條件引起的自由振動;,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,第二部分,代表由干擾力引起的自由振

31、動。 這兩部分都是衰減振動，隨時間的推移而消失，稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)；,最后只剩下第三部分 ，代表與激振力同形式的等幅的強迫振動，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這才是我們最關(guān)心的。,若為余弦激勵, 則響應(yīng)（解）為：,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,系數(shù)X0和f為與正弦激勵相同。,無阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)（解）,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,余弦激勵,正弦激勵,的全解,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,諧和激勵作用下的共振響應(yīng)分析(P40),利用前面已經(jīng)得出的方程,共振時：r1，wnw，且,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,則共振響應(yīng)變?yōu)?3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下

32、的強迫振動,若為余弦激勵, 則共振響應(yīng)（解）為,對于無阻尼振動系統(tǒng)，根據(jù)前面得到的正弦激勵響應(yīng),3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,共振時后面項無意義，這時將sinwt在wn處進行級數(shù)展開，忽略高次項得,代入后面兩項,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,所以無阻尼系統(tǒng)正弦激勵下的共振響應(yīng)為,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,同理無阻尼系統(tǒng)余弦激勵下的共振響應(yīng)為,3.1.3 頻率域研究方法 頻率響應(yīng)函數(shù)和復(fù)參數(shù)（P42-45）,將振動方程寫為復(fù)數(shù)形式,其實部和虛部分別分別代表余弦和正弦激勵。令其特解為,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,代入方程得到,令,H(w

33、)稱為復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，是系統(tǒng)對頻率為w 的單位諧干擾力的復(fù)響應(yīng)的振幅。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,則,令,求得C和f為,比較系數(shù)得,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,由此得到,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,這里的X0與f和前面方法給出的結(jié)果一樣，即,分別取 z*式的實部和虛部就是對應(yīng)于余弦和正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,3.1 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動,題3.15 求圖示系統(tǒng)在位移激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)。,解：振動方程為,即：,代入公式即可求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng),舉 例,題3.16 圖示系統(tǒng)，假定缸體與活塞桿之間的阻尼系數(shù)為c，求缸體振幅與y的關(guān)系。,解：振動方程為

34、,即：,代公式即可求出振幅,舉 例,題3.20 求圖示系統(tǒng)質(zhì)量塊的振幅。,解：取靜平衡位置為坐標原點建立振動方程,則：,代公式即可求出振幅,而：,作業(yè)：T3-8,17,24,舉 例,假設(shè)F(t)是周期為T的函數(shù)，表示為 F(tnT)=F(t) ，n0,1,2, 設(shè)函數(shù)F(t)在一個周期內(nèi)分段光滑，則可以表示為傅里葉（Fourier）級數(shù):,3.2.1 傅里葉級數(shù)(P45-46),3.2 單自由度系統(tǒng)在周期激勵下的強迫振動,3.2 周期激勵下的強迫振動,其中各個系數(shù)計算分為兩種情況： 當F(t)定義在T/2, T/2上時,3.2 周期激勵下的強迫振動,若F(t)為奇函數(shù)則an0，若F(t)為偶函

35、數(shù)則bn0，且可分別寫為：,3.2 周期激勵下的強迫振動,當F(t)定義在0, T上時,3.2 周期激勵下的強迫振動,周期激勵下的振動方程,3.2.2 系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)(P47-50),變?yōu)?3.2 周期激勵下的強迫振動,無阻尼系統(tǒng)在周期激勵作用下的響應(yīng),其中,3.2 周期激勵下的強迫振動,利用上節(jié)簡諧激勵的響應(yīng)可得到,其中,3.2 周期激勵下的強迫振動,題3.27 求無阻尼系統(tǒng)在圖示周期激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,解：激振力函數(shù)為,3.2 周期激勵下的強迫振動,F為奇函數(shù)，可以只在半周期內(nèi)積分，也可以在0T積分，而an0。在0T積分時：,3.2 周期激勵下的強迫振動,在半周期內(nèi)積分時：,最終結(jié)果

36、均為：,作業(yè)：T3-26,代入公式即可得出響應(yīng)。,3.2 周期激勵下的強迫振動,任意激振力作用下的響應(yīng)利用數(shù)學(xué)的卷積分方法求解。其基本思想是將任意激振力表示為無限多個常力之和，通過積分計算響應(yīng)。,3.3 瞬態(tài)振動（任意激勵下的強迫振動）,3.3 任意激勵下的強迫振動,1.階躍函數(shù) 定義階躍函數(shù)或稱單位臺階函數(shù)為,3.3.1 沖擊響應(yīng),此函數(shù)無量剛，在t0處有跳躍。,3.3 任意激勵下的強迫振動,類似地，若在ta處有跳躍，函數(shù)可寫為H0(ta)。,3.3 任意激勵下的強迫振動,d-函數(shù)（Dirac函數(shù)）或稱單位脈沖函數(shù),數(shù)學(xué)定義為,2. d-函數(shù)(P52),3.3 任意激勵下的強迫振動,同樣可定

37、義ta時的單位脈沖函數(shù),3.3 任意激勵下的強迫振動,單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：,3.3 任意激勵下的強迫振動,單位脈沖激勵下系統(tǒng)的運動微分方程為,3. 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)(P52-53),設(shè)初始條件為0，在 Dte 內(nèi)對方程兩端積分得,3.3 任意激勵下的強迫振動,說明系統(tǒng)受到脈沖激勵后速度發(fā)生突變，而位置不變。即獲得了初始速度，然后作自由衰減振動。 利用上章的公式計算振幅和相位,3.3 任意激勵下的強迫振動,而,（動量的突變 ）,（時間極短，位移無變化）,因此,3.3 任意激勵下的強迫振動,于是得到系統(tǒng)對單位脈沖激勵的響應(yīng)為,顯然對tt處的單位脈沖激勵的響應(yīng)為,h(t)和h(tt)稱為單位脈沖

38、響應(yīng)函數(shù)，或簡稱脈沖響應(yīng)函數(shù)。,3.3 任意激勵下的強迫振動,無阻尼系統(tǒng)對單位脈沖激勵的響應(yīng)為,對tt處的單位脈沖激勵的響應(yīng)為,3.3 任意激勵下的強迫振動,設(shè)有圖示任意激勵F(t)，在時間區(qū)間0,t內(nèi)的作用可視為一系列脈沖 F(t)dt 連續(xù)作用疊加而成。,3.3.2 褶積積分（卷積積分） 任意激勵的響應(yīng)(P53-57),3.3 任意激勵下的強迫振動,在任意瞬時t=t處，大小為F(t)dt的脈沖可用d-函數(shù)表示為F(t)dtd(t-t)，相應(yīng)的響應(yīng)為dx= F(t)dt h(t-t)。因而系統(tǒng)對F(t)的總響應(yīng)為,這就是系統(tǒng)對任意激勵F(t)的零初值響應(yīng)。稱為杜哈美（Duhamel）積分。,

39、3.3 任意激勵下的強迫振動,1. 階躍激勵（例3-3-1）,幾種常見激勵的響應(yīng),利用杜哈美積分可求得,3.3 任意激勵下的強迫振動,特別地，若F01，則上式就成為單位臺階函數(shù)H0(t)的零初值響應(yīng),單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)和單位臺階函數(shù)的響應(yīng)g(t)之間有下面的關(guān)系,3.3 任意激勵下的強迫振動,2. 斜坡載荷激勵 F(t)at,3.3 任意激勵下的強迫振動,3. 指數(shù)衰減函數(shù)激勵 F(t)F0e-at,3.3 任意激勵下的強迫振動,無阻尼系統(tǒng)的任意激勵零初值響應(yīng),杜哈美積分,階躍激勵,斜坡激勵,指數(shù)激勵,3.3 任意激勵下的強迫振動,【題3.28】 圖示系統(tǒng)，質(zhì)量為m1的物體從高h處自由落

40、下，與懸掛在彈簧k下的質(zhì)量m2碰撞后一起作微幅振動，求振動的固有頻率和響應(yīng)。,3.3 任意激勵下的強迫振動,分析：碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后兩個質(zhì)量一起振動。 解：以靜平衡位置為坐標原點建立方程,而,則,固有頻率,3.3 任意激勵下的強迫振動,利用動量定理計算碰撞后的初始速度,即開始振動時的初始條件為,因此初始條件引起的響應(yīng)為,3.3 任意激勵下的強迫振動,利用杜哈美積分計算m1g引起的響應(yīng)（即階躍函數(shù)的響應(yīng)）,則總響應(yīng)為,3.3 任意激勵下的強迫振動,P81例4.6.1 求無阻尼振動系統(tǒng)在圖示矩形脈沖激勵作用的零初值響應(yīng)。 解：激振力函數(shù)為,直接利用杜哈美積分。 t 在0, T 內(nèi)就是階躍函數(shù)的

41、響應(yīng),3.3 任意激勵下的強迫振動,t 在T, )內(nèi)：,3.3 任意激勵下的強迫振動,因而響應(yīng)為：,3.3 任意激勵下的強迫振動,例 求無阻尼振動系統(tǒng)在圖示三角形波干擾力作用下的零初值響應(yīng)。,3.3 任意激勵下的強迫振動,解：激振力函數(shù)為,3.3 任意激勵下的強迫振動,直接利用杜哈美積分。,在0, t1內(nèi)：,3.3 任意激勵下的強迫振動,在t1 , t2內(nèi)：,3.3 任意激勵下的強迫振動,在 t2 以后：,作業(yè)：T3.34,3.3 任意激勵下的強迫振動,本章例題：全部 本章習(xí)題： 3-13-8，3-11，3-12，3-153-20 3-24，3-263-28，3-34，3-35，3-38,3.

42、3 任意激勵下的強迫振動,第4章 單自由度系統(tǒng)振動理論的應(yīng)用,這里等效剛度的概念，是指對具有多個彈性元件（彈簧或梁的組合）的振動系統(tǒng)，將這些彈性元件的總剛度等效為作用在集中質(zhì)量上的單個彈簧。 n個彈簧并聯(lián)時的總剛度為,等效剛度,n個彈簧串聯(lián)時的總剛度為,等效剛度(等效彈性系數(shù))(P65-69),題4.2 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。,等效剛度,方法1：直接計算靜位移求固有頻率； 方法2：利用牛頓定律建立振動方程； 方法3：利用機械能守恒建立振動方程。,題2.14 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。,等效剛度,方法1：直接計算靜位移求固有頻率； 方法2：利用牛頓定律建立振動方程； 方法3：利用機械能守恒建立振動方

43、程。,題2.19 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。,作業(yè)：T2-2,2-10,4-1,等效剛度,方法1:利用彈性元件的串并聯(lián)計算等效剛度; 方法2:直接計算靜位移求固有頻率; 方法2:利用牛頓定律建立振動方程; 方法3:利用機械能守恒建立振動方程。,設(shè)基礎(chǔ)的位移為x1，質(zhì)量的位移為x,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動(P75-81),基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,x1(t),則系統(tǒng)的振動微分方程為,若令相對位移u=xx1 ，則,用x表示的方程適用于基礎(chǔ)運動以位移形式給出;而用u表示的方程適用于基礎(chǔ)運動以速度或加速度形式給出，這時求出的是相對運動u。,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,例 求振動系統(tǒng)受y=Ysinwt 的基礎(chǔ)運動引

44、起的響應(yīng)。 解：方程為,直接代公式即可求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的總響應(yīng):,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,總振幅為,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,題3-10:車輛上裝一重為Q的物塊,某瞬時(t=0)車輪由水平路面進入曲線路面,并繼續(xù)以等速v行駛。該曲線路面按y=dsin(px/l) 的規(guī)律起伏。設(shè)彈簧的剛性系數(shù)為k。求: (1)車輪進入曲線路面時物塊的強迫振動方程;(2)輪的臨界速度。,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,解： （1）系統(tǒng)的振動微分方程為,振幅,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,相位f=0，所以,（2）不能發(fā)生共振 共振時 w=wn，即：,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,所以臨界速度為,題3-32:圖示

45、鋼梁,I=1.4610-5 m4,E210 GPa, A端支座有脈動力矩M1000sin0.9wnt Nm作用，物塊重量為60 kN，梁質(zhì)量不計，求物塊穩(wěn)態(tài)振動振幅。,題 3-10 圖,基礎(chǔ)運動引起的強迫振動,2.3 任意激勵下的受迫振動,解：利用材料力學(xué)撓度計算公式知,則,設(shè)梁中間位置相對靜平衡位置自由振動的位移為y1（向下） ，則：,2.3 任意激勵下的受迫振動,其中： l3 m，,代公式求得振幅：Y10.782 mm 因此總振幅為：Y Y1yMmax0.966 mm,即,作業(yè)：T3-22，3-31,基礎(chǔ)的運動不但對系統(tǒng)響應(yīng)有影響,而且系統(tǒng)也同樣將力通過彈簧和阻尼傳遞給基礎(chǔ)。,振動向基礎(chǔ)的

46、傳遞,振動向基礎(chǔ)的傳遞(P72-75),對諧和振動系統(tǒng)，傳遞到基礎(chǔ)上的力表示為,其最大值為,將其與激振力幅值的比值定義為力傳遞系數(shù)，或稱力傳遞率,振動向基礎(chǔ)的傳遞,畫出傳遞率與頻率比的關(guān)系圖,振動向基礎(chǔ)的傳遞,由關(guān)系圖和傳遞率的公式得知： （1）當r0即w0和r1.414時,傳遞率為1,與阻尼無關(guān),激振力全部傳遞給基礎(chǔ); （2）當r1時,為共振區(qū),力最大； （3）當r1.414時，傳遞率減小，傳遞的力小于激振力，且阻尼越小，效果越好，但若阻尼過小，經(jīng)過共振區(qū)時將產(chǎn)生過大的振動。,振動向基礎(chǔ)的傳遞,【例】汽車在5 m/周的簡諧波形道路上行駛，已知汽車空載質(zhì)量為250 kg，滿載質(zhì)量為1000 k

47、g，k=350 kN/m，滿載時阻尼比x10.5，車速v=100 km/h，求滿載和空載時汽車的振幅比。 解：基礎(chǔ)的激振頻率,振動向基礎(chǔ)的傳遞,阻尼系數(shù),振動向基礎(chǔ)的傳遞,則空載時的阻尼比為,頻率比,1.87（滿載）,0.93（空載）,振動向基礎(chǔ)的傳遞,振幅,（滿載）,（空載）,所以滿載和空載時車輛的振幅比為,P55例3-3-2 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)放在箱子中,箱子從高h處自由落下。求 （1）箱子下落過程中,質(zhì)量塊相對箱子的運動x; （2）箱子落地后傳到地面的最大壓力。,振動向基礎(chǔ)的傳遞,解：（1）設(shè)m的絕對運動為x1，箱子的運動為y，則x1x+y，運動方程為,即,利用杜哈美積分得響應(yīng)：,振動向基礎(chǔ)的

48、傳遞,（2）落地后x和x1相同，以剛接觸地面時m的運動為初始條件做自由振動。落地時間和箱子的速度為,此時m的運動情況：,振動向基礎(chǔ)的傳遞,因此落地后自由振動的振幅為,最大壓力：,振動向基礎(chǔ)的傳遞,題3-36 重量為3000 N的機器，以剛度系數(shù)600 N/cm及阻尼比x0.2的阻尼器支撐，若在機器上加以按正弦規(guī)律變換的干擾力，其頻率與機器轉(zhuǎn)速相同。求： （1）如果傳遞到基礎(chǔ)上的力大于干擾力力幅，機器轉(zhuǎn)速應(yīng)如何？ （2）若傳遞力的最大值小于干擾力力幅的20，機器的轉(zhuǎn)速應(yīng)如何。,振動向基礎(chǔ)的傳遞,提示 固有頻率為:,（1）力傳遞系數(shù)應(yīng)大于1，則：,解得：,（2）力傳遞系數(shù)應(yīng)小于20,即：,作業(yè)：3

49、-23,振動向基礎(chǔ)的傳遞,第5章 兩個自由度系統(tǒng)的振動,單自由度系統(tǒng)振動問題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標間存在相互“耦合”現(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程“解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況。,建立運動微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大。,5.2.1 運動微分方程（P104-106）,5.2 兩自由度系統(tǒng)的振動方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,5.2 振動方程,標準的m-k-c系

50、統(tǒng)，對每一質(zhì)量利用牛頓定律得：,坐標原點仍取在靜平衡位置,寫成矩陣形式,5.2 振動方程,式中：,5.2 振動方程,M稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激勵列陣。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對角線元素不為0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨立方程。,5.2 振動方程,5.2.2 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣,剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其kij的力學(xué)意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設(shè)j坐標處的位移為1，其它

51、各坐標的位移均為0。,5.2 振動方程,5.2.3 慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩陣,質(zhì)量矩陣M中的元素稱為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其mij的力學(xué)意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設(shè)j坐標處的加速度為1，其它各坐標的加速度均為0。,5.2 振動方程,例：用剛度影響系數(shù)和慣性影響系數(shù)求標準m-k-c系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。,5.2 振動方程,柔度影響系數(shù)Rij的力學(xué)意義是：在j坐標處作用單位廣義力，引起i坐標處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R。 由材料力學(xué)的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩陣是對稱的。,5.3 位移方程,5.3

52、兩自由度系統(tǒng)的位移方程柔度矩陣,5.3.2 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣(P114-117),例：用柔度影響系數(shù)求標準m-k-c系統(tǒng)的柔度矩陣。,5.2 振動方程,以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對標準m-k-c振動系統(tǒng)，質(zhì)量m1和m2上的靜位移可以表示為xst=RF，而系統(tǒng)的動位移為,這就是系統(tǒng)振動方程的位移形式。,5.3 位移方程,5.3.1 位移方程(P113-114),因為R為正定矩陣，于是位移方程又可寫為,與力形式的方程比較知 K=R1，R=K1 即對于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣。,5.3 位移方程,【例5-3-1】求系統(tǒng)的振動微分方程。已知梁的抗彎剛度為EI。,解：用影響系數(shù)法。由材料力

53、學(xué)撓度公式,5.3 位移方程,則,而,則方程為,5.3 位移方程,若寫為力方程形式,則方程為,下面用影響系數(shù)法直接求K:,5.3 位移方程,設(shè)x1=1,x2=0，則由材料力學(xué)公式有：,同理有,求出各個剛度系數(shù)即組成剛度矩陣K。 作業(yè)：5-2，6,5.3 位移方程,對于非標準的m-k-c多自由度振動系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動力學(xué)方法建立運動微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程為：,用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方程,拉格朗日方程,其中：T為系統(tǒng)的動能，V為勢能，Qi為非有勢力的廣義力，drk為與非有勢廣義力Fk對應(yīng)的廣義虛位移。 實際計算廣義力Qi時，通常假設(shè)與xi對應(yīng)

54、的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。,（i1，2）,拉格朗日方程,【例】用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動微分方程。,解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置。,拉格朗日方程,靜平衡位置：,則：,拉格朗日方程,拉格朗日方程,計算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移dx1，而dx20，則,同樣設(shè)m2產(chǎn)生虛位移dx2，而dx10，則,拉格朗日方程,代入拉格朗日方程,得,整理寫成矩陣形式即可。,拉格朗日方程,【T5-30】用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動微分方程。,解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置,而,則,拉格朗日方程,所以,拉格朗日方程,計算廣義力，設(shè)只有x1處產(chǎn)生虛位移dx1，則,同樣設(shè)x

55、2處產(chǎn)生虛位移dx2，則,代入拉格朗日方程即可。 作業(yè)：T5-29,拉格朗日方程,只給出公式，不作嚴格推導(dǎo)。 1. 質(zhì)量矩陣的形成 系統(tǒng)的動能可以表示為,能量法,用能量法確定振動系統(tǒng)的M、K、C,記,則,M即為所求的質(zhì)量矩陣，顯然為對稱陣。 2. 剛度矩陣的形成 勢能可寫為,K即為所求的剛度矩陣，也是對稱陣。,能量法,3. 阻尼矩陣的形成 線性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫為,C即為所求的阻尼矩陣，也是對稱陣。,能量法,【例5-2-3】求M和K。,解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置,則,能量法,將余弦函數(shù)用級數(shù)展開，表示為,則,所以,作業(yè)：5-4,能量法,無阻尼自由振動系統(tǒng)的運動方程為,5

56、.4.15.4.3 固有頻率與固有振型(P117-120),5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,假設(shè)方程解的形式為,這里：X1、X2為振動幅值，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動方程可得：,這是廣義的特征值問題，K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零。若M為對角陣，K為對稱陣，則有,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,上式稱為頻率方程或特征方程。由此可求出w2的兩個正實根。且規(guī)定w1 = w2 。 將這兩個根代入廣義特征值問題(Kw2M) X=0可得到相應(yīng)的振幅比值,式中X(i)表示對應(yīng)于第i個固有頻率的振幅(i=1, 2)。由數(shù)學(xué)概念知道

57、，只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵和初始條件無關(guān)，這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性。因此把wi稱為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，ui稱為系統(tǒng)的固有振型或主振型。 將振幅寫成矩陣形式,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,稱為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱為振型矩陣。,式中的X1可以取任意值。顯然兩個主振動的疊加也是方程的解，即,5.4.4 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)(P121-128),由前面的分析可得到系統(tǒng)的兩組特解為,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質(zhì)量按相

58、同的頻率和相位角作簡諧運動，這種運動稱為固有振動或主振動。 每一個主振動稱為一個模態(tài)，wi和對應(yīng)的ui組成第i 階模態(tài)參數(shù)。 系統(tǒng)在主振動中，各質(zhì)點同時達到平衡位置或最大位移，而在整個振動過程中，各質(zhì)點位移的比值將始終保持不變，也就是說，在主振動中，系統(tǒng)振動的形式保持不變，這就是振型的物理意義。,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,式中的各個X、a和C均為任意常數(shù)，由初始條件確定。,或?qū)憺橄旅娴男问?5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,將初始條件代入可得,設(shè)初始條件為t0時,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,綜上所述，系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)求解步驟為： （1）建立運動微分方程，求出質(zhì)量矩陣M和剛度矩

59、陣K; （2）確定固有頻率wi 和振幅比ui ; （3）利用初始條件求響應(yīng)。,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,【T5-21】求系統(tǒng)的頻率方程。,解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置,則,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,將余弦函數(shù)表示為,則,所以,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,【T5-26】求系統(tǒng)的固有頻率。,解：用牛頓定律,而,解得,則方程為,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,頻率方程為,即,展開得,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,頻率方程為,解得,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,【T5-35】質(zhì)量為m2的物塊從高h處自由落下，然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動，已知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系統(tǒng)的振動響應(yīng)。,解:（1）用牛頓定律建立方程,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動,（2）頻率方程為,解得,（3）求振型。利用,則,同理,5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振