1、專題09 函數(shù)模型及其應(yīng)用1了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用。熱點(diǎn)題型一 一次函數(shù)或二次函數(shù)模型例1、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)。當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)。研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流

2、密度x的一次函數(shù)。(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式。(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值。(精確到1輛/小時(shí))?！咎岱置丶恳淮魏瘮?shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型。解決此類問題應(yīng)注意三點(diǎn)：二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)； 確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題。(2)以分段函數(shù)的形式考查。解決此類問題應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：實(shí)際問題

3、中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏；分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。提醒：(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域。(2)對(duì)構(gòu)造的較復(fù)雜的函數(shù)模型，要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題求解?！九e一反三】 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元。一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A10元 B20元C30元

4、D.元【答案】A熱點(diǎn)題型二 函數(shù)yx模型的應(yīng)用例2、某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？【解析】設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m，則后側(cè)邊長(zhǎng)為 m。蔬菜種植面積y(x4)8082(4x400)。x280，y808280648。當(dāng)且僅當(dāng)x，即x40時(shí)取等號(hào)，此時(shí)20，y最大值648(m2)。即當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為40 m,20 m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大面積是648 m2?！咎岱置丶?應(yīng)用函數(shù)yx模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例

5、函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的。(2)解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立f(x)ax的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)ax的形式。(3)利用模型f(x)ax求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件。 【舉一反三】 為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。(

6、1)求k的值及f(x)的表達(dá)式。(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。熱點(diǎn)題型三 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型例3某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線。 (1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效。求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)？【解析】(1)設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4。由1a4得a3。則y(2)由y0.25得或解得t5。因此，服藥一次后治療有效的時(shí)間是5小時(shí)。【提分秘籍】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型

7、應(yīng)注意的問題(1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類型。常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決。(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵。關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型。(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解。【舉一反三】 里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：MlgAlgA0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅。假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_倍。

8、【答案】610 000 【2017江蘇，14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 .【答案】8【解析】由于，則需考慮的情況，【2016高考北京文數(shù)】已知，若點(diǎn)在線段上，則的最大值為（ ）A.1 B.3 C.7 D.8 【答案】C【解析】由題意得，AB：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為7，故選C. 【2016高考北京文數(shù)】函數(shù)的最大值為_.【答案】2【解析】，即最大值為2.【2016高考四川文科】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過

9、200萬元的年份是( )(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年【答案】B【2015高考上海，文21】（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分.如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說

10、明理由.【答案】（1），千米；（2）超過了3千米.【解析】（1），設(shè)此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則千米，所以千米.【2015高考四川，文8】某食品的保鮮時(shí)間(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)).若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是( )(A)16小時(shí) (B)20小時(shí) (C)24小時(shí) (D)21小時(shí)【答案】C【解析】由題意，得，于是當(dāng)x33時(shí)，ye33kb(e11k)3eb19224(小時(shí)) （2014北京卷）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系

11、pat2btc(a，b，c是常數(shù))，圖12記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()圖12A3.50分鐘 B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘【答案】B（2014陜西卷）如圖12所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為()圖12Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x【答案】A【解析】由題意可知，該三次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，則其常數(shù)項(xiàng)為0，不妨設(shè)其解析式為yf(x)ax3bx2cx，則f(x)3ax22bxc，f(0)1，f(2)3，可得c1，3ab1.又ya

12、x3bx2cx過點(diǎn)(2，0)，4a2b1，a，b，c1，yf(x)x3x2x.1抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)剩下的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽(參考數(shù)據(jù)：lg20.301 0，lg30.477 1)()A 15次B14次C9次 D8次【答案】D2某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A略有盈利B略有虧損C沒有盈利也沒有虧損D無法判斷盈虧情況【答案】B【解析】設(shè)該股民購(gòu)進(jìn)股票的資金為a，則交易結(jié)束后，所剩資金為：a(110%)n(110

13、%)na(10.01)na0.09n10(其中n是任課教師所在班級(jí)學(xué)生的該任課教師所教學(xué)科的平均成績(jī)與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師，甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分，而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分，則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多()A600元B900元C1 600元D1 700元【答案】D11一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，若經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一【答案】16【解析】

14、當(dāng)t0時(shí)，ya；當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaebta.ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.12如圖為某質(zhì)點(diǎn)在4秒鐘內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度函數(shù)vv(t)的圖象，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程s等于_【答案】11 cm【解析】該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程等于下圖中陰影部分的面積，s(13)2231211 cm. 13某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)收費(fèi))；超過3 km但不超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2. 85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元現(xiàn)某人

15、乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了_ km. 【答案】914為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)()ta(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題： (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不高于0.25毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過_小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室【答案】(1)y(2)0.615為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家

16、科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償(1)當(dāng)x200,300時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？若獲利，求出最大利潤(rùn)；若不獲利，則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？解：(1)當(dāng)x200,300時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則S200x(x2200x80 000)x2400x80 000(x400)2，所以當(dāng)x200,300時(shí)，S0，因此該單位不會(huì)獲利當(dāng)x300時(shí)，S取得最大值5 000，所以國(guó)家每月至少補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為：16隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫(kù)，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫(kù)的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖(1)按規(guī)定，地下停車庫(kù)坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)圖1所示數(shù)據(jù)計(jì)算