1、專題一 數(shù)列及其綜合應(yīng)用【高考考點再現(xiàn)】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位在高考考查中解答題17題一般是數(shù)列和三角函數(shù)交替出現(xiàn)故數(shù)列在高考考查中一般有兩種情形：其一，兩道選擇題或一道選擇題和一道填空題，共2道小題，分值為10分；其二，一道選擇或填空題和一道解答題，共2道題，分值為17分高考對數(shù)列這一部分的考查以基礎(chǔ)題、中檔題為主，但解題方法靈活多樣，技巧性較強些，講究解題的通性通法，側(cè)重考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、特殊性質(zhì)及基本量的運算；突出考查等差、等比數(shù)列有關(guān)的通項公式、前n項和公式、以及數(shù)列求和的常用方法等；重點考查數(shù)列與的關(guān)系的應(yīng)用等

2、而學(xué)生在平時的復(fù)習(xí)中，往往對定義、概念理解不透，對公式、性質(zhì)等應(yīng)用不熟練導(dǎo)致錯誤下面對學(xué)生存在的主要問題進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法 【典型考點分析】【考點分析】數(shù)列是函數(shù)的延展，近年來的新課標(biāo)高考都把數(shù)列作為必考內(nèi)容來加以考查，了解高考中數(shù)列問題的命題規(guī)律，掌握高考中關(guān)于數(shù)列問題的熱點題型的解法，針對性地開展數(shù)列知識的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練，對于學(xué)生成績和能力提升都具有十分重要的意義.高考對數(shù)列的考查，從命題的思路看主要有：兩類特殊數(shù)列基本量的求法，同時考查了”函數(shù)與方程思想”；兩類特殊數(shù)列的定義及通項的求法，同時考查了“分類討論與化歸思想”；數(shù)列求和方法1.兩類數(shù)列基本量的求法【例1】（2017課標(biāo)

3、1，文17）記Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知（）求的通項公式；（）求，并判斷是否成等差數(shù)列?！窘馕觥浚海ǎ┰O(shè)的公比為由題設(shè)可得 ，解得，故的通項公式為（）由（1）可得由于，故，成等差數(shù)列【名師點評】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.2.兩類數(shù)列的定義及通項的求法【例2】等差數(shù)列的首項為24且從第10項起才開始為負(fù)，求其公差的取值范圍.【解析】：易知公差，由得.【名師點評】部分學(xué)生

4、由條件得，解得。錯因是沒有正確理解題意，從第10項起才開始為負(fù)，隱含條件是前面的項應(yīng)該為非負(fù)數(shù)，易知其公差是小于零的，即為遞減數(shù)列，由相鄰項組成不等式組的解才是正確的解【例3】（2015高考北京，文16）已知等差數(shù)列滿足，（）求的通項公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項相等？ （）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為，所以，.所以.由，得.所以與數(shù)列的第項相等.【名師點評】本題主要考查的是等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，通過求等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量，利用通項公式求解解本題需要掌握的知識點是等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，即等差數(shù)列的通項公式：，等比數(shù)列的通項公式：3.數(shù)列求和方

5、法【例4】（2016年全國卷理17）為等差數(shù)列的前項和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如（1）求；（2）求數(shù)列前1000項和【解析】【名師點評】通過數(shù)列中的計算以及對數(shù)的計算提高學(xué)生的運算能力，通過對數(shù)列前1000項的值的確定考查分類討論思想本題出題角度新穎，融合了對數(shù)知識，對于考場上理智冷靜的學(xué)生不難得全分，但不排除易因理解能力不到位、考場焦慮而做不出【例5】（2015高考福建，文17）等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求的值【解析】：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得且解得所以（）由（I）可得所以【名師點評】求數(shù)列前n項和常用的方法有四種：（1）裂項相消法（通過將通項公式裂成兩項的

6、差或和，在前n項相加的過程中相互抵消）；（2）錯位相減法（適合于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列型）；（3）分組求和法(根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，將其分解為等差數(shù)列求和以及等比數(shù)列求和)；（4）奇偶項分析法（適合于整個數(shù)列特征不明顯，但是奇數(shù)項之間以及偶數(shù)項之間有明顯的等差數(shù)列特征或等比數(shù)列特征）4.公式及裂項求和法的應(yīng)用【例5】設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，則_【解析】：由已知得，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以【名師點評】近幾年的全國卷中與的問題在填空題經(jīng)常出現(xiàn)，應(yīng)引起大家的重視.這種題目的一般方法是用“退位相減法”消去（或者），得到數(shù)列的遞推公式（或者是數(shù)列的遞推公式），進(jìn)而求

7、出（或者）與n的關(guān)系.【例6】已知數(shù)列的前項和為.（）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，其中，求.【解析】: 當(dāng)時，當(dāng)時，也符合上式，.解法一：解法二 【名師點評】全國I卷高考文科卷，對于數(shù)列解答題的第二問，除了?？煎e位相減法以外，還?？剂秧椣嘞ㄇ髷?shù)列的和對于數(shù)列求和，一定要讓學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識，當(dāng)分子可以看作是分母兩個因式的差的時候，可以用裂項相消法，而不是，只記一些常見的形式【典型考點過關(guān)練習(xí)】1數(shù)列的前項和為，若，則的值為（ ）A. 2 B. 3 C. 2018 D. 3033【答案】A 點睛：這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一

8、般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用.2已知等比數(shù)列中，則（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】A【解析】數(shù)列是等比數(shù)列，（與同號），從而故選A3已知數(shù)列的前項和為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C 4設(shè)為等比數(shù)列的前項和，則（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根據(jù)題意，在等比數(shù)列中有解得，則故選C5已知數(shù)列滿足，且，則（ ）A. -3 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】，數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為2，.選A 6記為正項等比數(shù)列的前項和，若，則的最小值為_.【答案】8【解析】在等比數(shù)列中，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得構(gòu)成等比

9、數(shù)列，所以，所以，因為，即，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號是成立的，所以的最小值為點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，解答中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和題設(shè)條件得到，再利用基本不等式求解最值是解答的關(guān)鍵，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的基礎(chǔ)，著重考查了學(xué)生的推理運算能力，及分析問題和解答問題的能力7已知數(shù)列的前項和為,且,時,則的通項公式_【答案】.【解析】由得又，又，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時，又滿足上式，.答案：8已知是等差數(shù)列，是其數(shù)列的前項和，且，則_【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，故則9已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，且，則_【答案】18【解析】 解得，即，則

10、 10已知是等比數(shù)列,若，,且,則_.【答案】 11在等比數(shù)列中，首項，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，又設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】() ；()詳見解析【解析】試題分析：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求的，即可得到數(shù)列的通項公式（）由（）得，易知為等差數(shù)列，得，得，利用裂項法，即可求解數(shù)列的和 試題解析：（）由和得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q， ， ， 解得 （舍去）， 即 （）由（）得，易知為等差數(shù)列，,則， ，12已知在等差數(shù)列中，其前項和為.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，公比為.若，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）

11、；（2）.【解析】試題分析：(1)由已知條件計算出和的值，從而得到通項公式運用錯位相減法求得前項和解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，.，.整理得，解得或（舍去）.，.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，由，得，上述兩式相減，得 .數(shù)列的前項和為.13已知是等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列.（）求數(shù)列的通項公式；（）若，求數(shù)列前項的和.【答案】（）.（）.【解析】試題分析：（）設(shè)數(shù)列公比為，根據(jù)題設(shè)條件，求得，即可可得數(shù)列的通項公式；（）由（1）得，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：（）設(shè)數(shù)列公比為，則，因為成等差數(shù)列，所以，即，整理得，因為，所以，所以，（）因為，所以 14已知數(shù)列的前n項和為

12、，且對任意正整數(shù)n都有.（1）求證：為等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，利用，得到，即可得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，若，得，可化簡得，利用裂項法即可求數(shù)列的前項和.試題解析： 15已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目中條件得到，公差為4，進(jìn)而得到，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)第一問得到，錯位相減即可.解析：（1）為等差數(shù)列，由，由（常數(shù)）為等比數(shù)列（2）由（1）的（1）（2）由可得：.16若數(shù)列的前項和滿足（，）（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（2）若，（），求數(shù)列的前項和【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由公式可求得數(shù)列的通項公式。由于數(shù)列的奇偶分類數(shù)列，所以求和，需要分奇偶因為項數(shù)的數(shù)目不同，同時分類求和。